刚体转动及角动量守恒

1、关于刚体转动及角动量守恒现在学习的是第一页，共58页刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）平 动 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。定轴转动 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动 刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动 复杂的运动与平动的混合。现在学习的是第二页，共58页定轴转动参量刚体转轴1. 角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2. 角位移3. 角速度常

2、量静止匀角速变角速4. 角加速度变角加速常量 匀角加速匀角速用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 现在学习的是第三页，共58页转动方程求导例题单位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动现在学习的是第四页，共58页积分求转动方程任意时刻的恒量且 t = 0 时 得得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程现在学习的是第五页，共58页线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时角

3、加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小 瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量线量与角量角量的基本关系现在学习的是第六页，共58页公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动现在学习的是第七页，共58页刚体转动定律引言质 点的运动定律或刚体平动F = m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？若刚体作定轴转动，服从怎样

4、的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量现在学习的是第八页，共58页合外力矩 外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M = r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r F222M = r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向现在学习的是第九页，共58页转动定律某质元fi受内力受外力FiFi+ f =aii

5、其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=现在学习的是第十页，共58页转动惯量某质元fi受内力受外力FiFi+ f =aii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬时角速度角加速度

6、瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用 表示称为 转动惯量转动惯量I刚体的转动定律即刚体所获得的角加速度 的大小与刚体受到的 合外力矩 的大小成正比，与刚体的转动惯量 成反比。现在学习的是第十一页，共58页转动惯量的计算Mb b=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量 是刚体转动惯性的量度II 与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求I 为体积元 处的密度II的单位为现在学习的是

7、第十二页，共58页分立质点的算例可视为分立质点结构的刚体转轴 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴0.75现在学习的是第十三页，共58页直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行移轴定理平行移轴定理对对新轴新轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端现在学习的是第十四页，共58页圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元现在学习的是第十五页，共58页球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距

8、 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中现在学习的是第十六页，共58页常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I =m R123I =m L1转轴通过端点与棒垂直现在学习的是第十七页，共58页其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I = (a + b ) 22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I = m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I =2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I = (R1 + R2 ) 22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI = R + 22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I =2m R3现在学习的是第十八页，共58

9、页转动定律例题一合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。与时刻对应，何时何时则何时 ，则何时恒定恒定。 匀直细杆一端为轴水平静止释放现在学习的是第十九页，共58页转动定律例题二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib b a = Rb bI = m R 22转动平动线-角联立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g +

10、 a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为( T2 T1 ) R Mr= Ib b再联立求解。现在学习的是第二十页，共58页转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度 b b细绳线加速度 a（A）（B）现在学习的是第二十一页，共58页转动定律例题四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2b baa对对m1m2m分别应用分别应用和和质点运动和刚体转动定律质点运动和刚体转动定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib b

11、及 a = Rb bI = mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程现在学习的是第二十二页，共58页转动定律例题五q qq q 从等倾角 处静止释放两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比两者瞬时角加速度之比213q q1q q1321根据短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关现在学习的是第二十三页，共58页转动动能刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得得

12、现在学习的是第二十四页，共58页力矩的功力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率现在学习的是第二十五页，共58页力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩 是各微环带摩擦元力矩 的积分环带面积环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功得粗 糙 水 平 面转轴平放一圆盘现在学习的是第二十六页，共58页刚体的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩

13、的功转动动能的增量转动动能的增量称为现在学习的是第二十七页，共58页动能定理例题一匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴圆盘下摆 时质点 的角速度、切向、法向加速度的大小对系统外力矩的功系统转动动能增量其中得由转动定律得则现在学习的是第二十八页，共58页动能定理例题二外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴现在学习的是第二十九页，共58页动能定理例题三段，外力矩作正功段，外力矩作负功合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移 代入得摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放现在学习的是

14、第三十页，共58页含平动的转动问题机械外力非保守内力矩力力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势现在学习的是第三十一页，共58页质点的角动量质点的动量质点对参考点O 的角动量大小位矢惯性系中某给定参考点取小于的转向方向垂直于所决定的平面， 指向右螺旋 叉乘的旋进方向。角动量 又称 动量矩现在学习的是第三十二页，共58页引例角动量大小质点 对参考点 的地球上的单摆大小会变变太阳系中的行星大小未必会变。靠什么判断？变变变现在学习的是第三十三页，共58页质点的角动量定理导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？思路： 分析

15、与什么有关？由则两平行矢量的叉乘积为零得角动量的时间变化率质点 对参考点 的位置矢量所受的合外力等于叉乘现在学习的是第三十四页，共58页续4是力矩的矢量表达：而即力矩大小方向垂直于所决定的平面，由右螺旋法则定指向。得质点 对给定参考点 的角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的 角动量定理 的微分形式 如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。现在学习的是第三十五页，共58页例题大小 若忽略其它天体的作用力，太阳系中某一行星所受的合外力总是指向太阳。若以太阳为参考点，则合外力矩大小角动量的大小不随时间变化张力 通过 点 力矩为零重力 的力矩大小为等于合

16、外力矩 除了在通过平衡位置（ ）的一瞬间，角动量的时间变化率为零外，其它位置均不为零。现在学习的是第三十六页，共58页定理的积分形式由质点的角动量定理也可用积分形式表达称为 冲量矩角动量的增量这就是质点的 角动量定理 的积分形式例如， 单摆的角动量大小为 L = = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r = =0； 时刻 t 下摆至铅垂位置， 角动量大小为 L = = m v r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v r = = m r 2gr 。现在学习的是第三十七页，共58页质点的角动量守恒定律根据质点的 角动

17、量定理 若则即常矢量当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为零，即质点对该点的角动量 守恒。称为 若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。现在学习的是第三十八页，共58页开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积现在学习的是第三十九页，共58页定律的证明 时刻 m 对 O 的角动量大小为即因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。瞬间位矢扫过的微面积则常量（称为掠面速率）故，位矢在相同时间内扫过的面积相等现

18、在学习的是第四十页，共58页质点系的角动量惯性系中某给定参考点现在学习的是第四十一页，共58页质点系的角动量定理将对时间求导 内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和称为微分形式现在学习的是第四十二页，共58页续12将对时间求导 内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和称为微分形式外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和的微分形式质点系所受的质点系的冲量矩角动量增量的积分形式 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时

19、针为正向，用代数和代替矢量和。现在学习的是第四十三页，共58页质点系的角动量守恒定律外由若则或恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱，两人等速上升。若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。现在学习的是第四十四页，共58页刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体现在学习的是第四十五

20、页，共58页刚体的角动量定理合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）现在学习的是第四十六页，共58页刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量系统： 轻绳（忽略质量）总合外力矩对O的角动量对O的角动量由得同向而解得例如例如静止释放求角加速度现在学习的是第四十七页，共58页主要公式归纳（微分形式）（积分形式）是矢量式与质点平动对

21、比现在学习的是第四十八页，共58页刚体的角动量守恒定律由刚体所受合外力矩若则即 当刚体所受的合外力矩 等于零时， 刚体的角动量 保持不变。现在学习的是第四十九页，共58页回转仪定向原理万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒恒矢量恒矢量回转仪定向原理回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度 高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基 座回转体 （转动惯量 ）现在学习的是第五十页，共58页角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小现在学习的是第五十一页，共58页花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先