推理与证明解读

1、推理与证明推理与证明永康一中永康一中姚波浪姚波浪“推理与证明推理与证明”讲什么？为什么要讲“推理与证明推理与证明”？如何讲“推理与证明推理与证明”？三个问题生活的需要生活的需要一、为什么要讲一、为什么要讲“推理与证推理与证明明”？科学研究的需要科学研究的需要数学自身的需要数学自身的需要“长头发长头发”进男厕所进男厕所为什么要讲“推理与证明推理与证明”？守株待兔、刻舟求剑守株待兔、刻舟求剑我是否要我是否要“炒股炒股”“守株待兔守株待兔”者者的的推理过程推理过程 前天有一只野兔撞死在这棵树上； 昨天又有一只野兔撞死在这棵树上； 今天也会有一只野兔撞死在这棵树上。生活中充满着“推理与证明推理与证明”

2、 “总结经验教训”， 抗菌素的滥用现象 在生活中常说的“可能是（猜测）”、“可以想象（联想）”、“综上所述（归纳）”、“可见”、“可以断言”等话语，都包含着合情推理与证明的成分。火星上是否存在生命？火星上是否存在生命？为什么要讲“推理与证明推理与证明”？锯齿的发明锯齿的发明数学探究数学探究 表示任意一个自然数至少要用多少个平方数？任一自然数都可以表示成一个、两个、三任一自然数都可以表示成一个、两个、三个或四个平方数的和？个或四个平方数的和？ 由实际计算可以得出： 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=4 5=4+1 6=4+1+1 7=4+1+1+1 8=4+4 9=9 10=9+1 11=

3、9+1+1 12=8+4 100=81+16+1+1+1 100=81+9+9+1 100=64+36解读一 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理演绎推理，证明通常包括演绎证明和实，证明通常包括演绎证明和实验、实践的证明。验、实践的证明。“标准标准”将将“推理与推理与证明证明”专设一章，这在我国高中数学课专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次。通过本章的教学，不仅程中还是首次。通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证

4、可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法方法。解读一 教科书的编写意图是把过去渗教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法，以集中的、显性的形的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，既教猜想，又教证明。式呈现出来，既教猜想，又教证明。使学生更加明确这些方法，并能在使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，今后的学习中有意识地使用它们，养成言之有理、论证有据的习惯。养成言之有理、论证有据的习惯。二、二、“推理与证明推理与证明”讲什么？ 推理与证明贯穿于高中数

5、学的整个推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。归纳，并对后继学习起到引领的作用。内容结构 推理与证明推理与证明 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理 归纳归纳 类比类比 直接证明直接证明 间接证明间接证明 综合法综合法 分析法分析法 数学归纳法数学归纳法 反证法反证法 课标要求（1）合情推理与演绎推理）合情推理与演绎推理 了解合情推理的含义，能利用归纳和了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合类比等进行简单的推

6、理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用情推理在数学发现中的作用. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理简单的推理. 了解合情推理与演绎推理的之间的联了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别系与差别. （2）直接证明与间接证明）直接证明与间接证明 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。了解分析法与综合法的思考过程与特点。 了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反反证法；了解反证法

7、的思考过程与特点。证法的思考过程与特点。（3）数学归纳法）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。单的数学命题。（4）数学文化）数学文化 通过对实例的介绍（如欧几里得通过对实例的介绍（如欧几里得几何原本几何原本、马克、马克思思资本论资本论、杰弗逊、杰弗逊独立宣言独立宣言、牛顿三定律），、牛顿三定律），体会公理化思想。体会公理化思想。 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。基本基本要求要求1了解合情推理的含义、结构、和基本本类型。了解合情推理的含义、结构、和基本本类型。

8、2结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。合情推理在数学发现中的作用。3结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；些简单推理；4通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。差异。发展要

9、求1、了解不完全归纳法，并根据不完全归纳法猜想一些结论、了解不完全归纳法，并根据不完全归纳法猜想一些结论2、了解一般意义下的类比、了解一般意义下的类比说 明类比推理注意避免类比推理注意避免“机械类比机械类比”，即仅从表面相似或偶然相，即仅从表面相似或偶然相似的情况进行类比。导致错误。似的情况进行类比。导致错误。省教学指导意见解读省教学指导意见解读合情推理与演绎推理基基本本要要求求1了解直接证明的两种基了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思了解分析法与综合法的思考过程与特点。考过程与特点。2了解间接证明的一种基了解间接证明的一种基本方法本方法反

10、证法；了解反证法；了解反证法的思考过程与特点反证法的思考过程与特点。发发展展要要求求了解比较法、放缩法。了解比较法、放缩法。说说 明明直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2 23 3数学归纳法数学归纳法基本基本要求要求1了解数学归纳法的原理，了解数学归纳法的原理，2能用数学归纳法证明一些简单的能用数学归纳法证明一些简单的数学命题数学命题发展发展要求要求1了解其它数学归纳法的原理了解其它数学归纳法的原理2灵活掌握数学归纳法在解决较复灵活掌握数学归纳法在解决较复杂的与自然数杂的与自然数n有关命题中的应用。有关命题中的应用。说说 明明 教学定位：教学定位：通过对已学知识的回顾，通过对已学知识的回顾

11、，进一步体会合情推理、演绎推理以进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及生活中的作受逻辑证明在数学以及生活中的作用，养成严谨习惯。用，养成严谨习惯。三、如何讲三、如何讲“推理与证明推理与证明”？1、课时分配（、课时分配（理科理科8课时、课时、文科文科13课时）课时）2.1.1 合情推理合情

12、推理1课时（课时（2）2.1.2 演绎推理演绎推理2课时（课时（3）2.2.11综合法综合法1课时（课时（2）2.2.12分析法分析法1课时（课时（1）2.2.2 反证法反证法1课时（课时（2）2.2.3 数学归纳法数学归纳法1课时（课时（0）小结小结1课时（课时（3）2、重难点确立2.1节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论三段论”进行简单的推理。进行简单的推理。 难点是用归纳和类比难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。进行推理

13、，作出猜想，用三段论作出简单的推理。2.2节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法明的两种基本方法综合法、分析法，了解间接证综合法、分析法，了解间接证明的一种方法明的一种方法反证法；了解综合法、分析法和反反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把各种证明方法结合使用。当的证明方法或把各种证明方法结合使用。归纳推理 归纳推理是针对一类事物归纳推理是针对

14、一类事物S而言的，而言的，如图所示：如图所示： S 的部分事物的部分事物A和和B共同具共同具有的某种特性，是否可以推广到整个有的某种特性，是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的推理过程。这就是一个从局部到整体的推理过程。3 3、概念关系认识、概念关系认识类比推理 类比推理是针对的两类事物，如类比推理是针对的两类事物，如图所示，在图所示，在A和和B两类事物中，两类事物中，A类中类中有性质有性质P成立，成立，B类中也有性质类中也有性质P成立，成立，A类中还有性质类中还有性质Q成立，那么成立，那么B类中是类中是否也具有性质否也具有性质Q成立呢？通过两类事成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的

15、性质有更深刻物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。 合情推理合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。用的思维方法。 演绎推理演绎推理 演绎推理是根据已有的事实和正确演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），的结论（包括定义、公理、定

16、理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。过程。例例 大前提大前提:马有四条腿马有四条腿;小前提小前提:白马是马白马是马;结论结论:白马有四条腿白马有四条腿.它是从一般到特殊的推理它是从一般到特殊的推理.演绎推理的主要形式就演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理. 合情推理具有猜测和发现新结论、合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作结论，整理和建构知识体系的作用，

17、是公理体系中的基本推理方用，是公理体系中的基本推理方法。法。合情推理与演绎推理的作用合情推理与演绎推理的作用 合情推理和演绎推理之间联系紧密、合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。用推理规则得出结论。合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系类比的风险类比的风险直接证明综合法所证结论所证结论直接证明分析法在已知条件下新结果是否成立直接证明

18、数学归纳法 要证明的结论要证明的结论否定要证明的结论否定要证明的结论把把“否定要证明的结论否定要证明的结论”作为条件作为条件结合相关公理、定理或已得的结论结合相关公理、定理或已得的结论得出新的结论得出新的结论结束结束是否与已知条件、是否与已知条件、公理、定理矛盾公理、定理矛盾否是间接证明反证法 4 4、整体把握、整体把握l演绎推理与合情推理并重演绎推理与合情推理并重l以实际问题与已学问题为主以实际问题与已学问题为主要素材开展教学要素材开展教学l长期渗透、控制难度长期渗透、控制难度在在“合情推理合情推理”和和“演绎推理演绎推理”教学中，要通过具体实例理解合情教学中，要通过具体实例理解合情推理与演

19、绎推理，不追求对概念的推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。抽象表述。补充的实例也应以补充的实例也应以“已经学过已经学过的数学实例和生活中的实例的数学实例和生活中的实例”为准，为准，对证明的问题的难度也要加以控制。对证明的问题的难度也要加以控制。 一点说明 本章的教学属于思想方法的教学范畴，对于思想方法的教学，一般都应采取先让学生自己独立思考、实践，再讨论、归纳、概括的方式进行，这是因为思想方法不能靠讲解、灌输、记忆而学会，只能通过在实践基础上的领悟而掌握。 重视过程、理清思路犹为重要。四、关于复数四、关于复数 与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x210在实

20、数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义 对复数教学的二个建议 1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用 2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系 发展要求：发展要求：总结一些重要的数学方法在解决数学问题中的流程。 说明：说明：本节学习要紧扣增强学生应用流程图解决实际问题的能力来安排。 发展要求：发展要求：选择必修各册教材中的某些数知识（如不等式、函数、解析几何、立体几何等），运用结构图按数学知识

21、体系进行梳理，并与他人做交流，体会各知识块的内涵与外延。 说明：说明：本节学习要紧扣增强学生应用结构图解决实际问题的能力来安排，并注意揭示其与流程图的联系与区别。 ：（共6课时） 4.1流程图 约3课时 4.2结构图 约2课时 小结 约1课时框图教学建议框图教学建议： 4.1的重点和难点都是构造流程图的方法。 4.1流程图的教学可分为两步实现： 一是通过读图，认识流程图; 二是结合简单的具体问题学会绘制流程图， 同时，渗透流程图作用及优越性的体验。框图教学建议框图教学建议： 第一课时，认识流程图。 对例1的教学要把握两点：一是联系必修3算法，回忆已经学过的框图知识，二是由此引出流程图的概念。接

22、着的“图书借阅流程图”和“诊病流程图”意在让学生读图，并体会流程图的优越性，揭示流程图的特征。本节课教学目标应该是：让学生读懂流程图，体会流程图的优越性，初步认识其特征。框图教学建议框图教学建议： 第二节课，学习绘制流程图。 要在复习的基础上引出例2，由此出发，学习用流程图表示解决问题的过程，例2后的思考要安排较充分的时间，让学生尝试运用流程图解决问题，并组织交流，促进学生通过思维活动认识流程图的绘制方法。例3既是学习绘制流程图的过程，也是运用流程图的过程，因此，例3后的思考，也要加以重视，这里安排的思考既可以体会流程图的作用，也可以概括出流程图的特征，同时，在思考的小结中，还可以联系前面例题

23、表明绘制流程图的重要方法“先粗后细”。框图教学建议框图教学建议： 第三节课，可以由本节的探究开始，设计学生活动的情境，继续学习流程图的绘制，体会流程图的作用。 这里“儿童之家”活动设计的探究问题，相比前面流程图的设计有所不同，它有两条主线，需要学生在原有经验基础之上，经过思维活动，动手尝试才能解决，而解决后对理解流程图的绘制会大有帮助。 探究问题的小结中，又引入了综合法和分析法的解题过程的流程图，由此突出一个观点“数学问题是不胜枚举的，解决问题的方法也千差万别，但解决问题的过程是类似的”，并用流程图做了直观的表示，教学中，要突出流程图运用的作用，突出以上观点。框图教学建议框图教学建议： 4.2的重点和难点都是构造结构图的方法。 4.2结构图的教学也可分两步完成， 一是通过读图认