数分高代定理大全

1、数分高代定理大全?高等代数?第一章带余除法 对于PX中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x) 0，一定有Px 中的多项式 q(x),r(x)存在，使 f (x) q(x)g(x) r(x)成立，其中(r (x)(g(x)或者r(x) 0，并且这样的q(x), r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f (x),g(x)，其中g(x) 0,g(x) | f (x)的 充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零.定理2对于Px中任意两个多项式f (x)，g(x)，在Px中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f (x)，g(x)的一个组合，即有Px中多项式u(x

2、),v(x) 使 d(x) u(x) f (x) v(x)g(x).定理3 Px中两个多项式f (x)，g(x)互素的充分必要条件是有Px中的多项式u(x),v(x)使 u(x)f(x) v(x)g(x) 1 .定理 4 如果(f (x), g(x)1，且 f (x) |g(x)h(x)，那么 f (x) | h(x).定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f (x),g(x)，由P(x)| f (x)g(x) 一定推出 p(x) | f (x)或者 p(x) |g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式f (x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的

3、乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f (x) P1(X)P2(X)Ps(x)q(x)q2(x)qt(x),那么必有s t，并且适当排列因式的次序后有Pi(x) Ciqi(x),i 1,2,s,其中Ci(i 1,2,s)是一些非零常数.定理6如果不可约多项式p(x)是f (x)的k重因式(k 1),那么它是微商f (x)的k 1重因式.定理7余数定理用一次多项式x去除多项式f(x)，所得的余式是一个 常数，这个常数等于函数值f().定理8 Px中n次多项式(n 0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数 计算定理9如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n 1个不同的数1,

4、2，ni 有相同的值，即 f ( i) g( i),i1,2,n 1,那么 f(x) g(x).代数根本定理每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根复系数多项式因式分解定理每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积实系数多项式因式分解定理每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积定理10高斯Gauss引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项 式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积定理12设f (x) anXn an 1Xn 1ao是一个整系数多

5、项式，而 -是它的有理s根，其中r,s互素，那么必有s|an,r|a°.特别地，如果f (x)的首项系数an 1，那么f(x)的有理根是整根，而且是ao的因子定理13 艾森斯坦Eisenstein丨判别法设f (x) a“xn an 1xn 1ao是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得1. p I an ；2.Plan 1,an 2,，ao ；3. p2 | ao那么f(x)在有理数域上是不可约的第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个n级排列与排列12n都可以经过一系列对换互变，并且所作 对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.如 耳23fn定理3设da21氐 a2n，Aj

6、表示元素aj的代数余子式，那么以下公式成anian 2ann立：akiAiak2Ai2aknAind,当 k i,0,当 k i.CiAja2l A2 janl Anjd,当 1j,0,当 ij.定理4克拉默法那么如果线性方程组aiixia12x2ainXnbi,a?i Xia?2 X2' a2nXnb2,an1X1an2X2-' amnXnbnaiiai2的系数矩阵Aa2i-a22-anian2的行列式d A0，那么该线性方程组有解,aina2nann并且解是唯一的，解可以通过系数表为Xid1,X2念,Xn 4,其中dj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项d ddbib,bn

7、所成的行列式，即aii兀i b| ai,j i叭dja21 a2,j 1 t>2 a2,j 1 a2n.,j1,2，n.定理5如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式A0,那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有A 0.定理6拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了 k(1 k n 1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.a11a12a1nS 5b1n定理7 两个n级行列式D1a21a22a2n4+和d221b22b2n « 卜an1an2ann01%bnn的C22C1nC2n乘积等于一个n级行列式C，其中Cij是D1的第i行

8、元素分别与Cn2CnnD2的第j列的对应元素乘积之和:Cjai1bl jai2b2 j' ' ainbnj .a1 X*12X2CnXn0,a?1 Xa?2 X2a2nXn0,an1 X1an2X2annXn0第三章定理1在齐次线性方程组a1 x*12X2*1nXn0,a?1 xa?2 X2*2nXn0,an1 X1an2X2"*nnXn0中，如果s、n,那么它必有非零解定理2设S口2片与儿2r是两个向量组，如果1向量组讥12凸可以经几门2厂',"线性表出，2r?s.那么向量组7化2凸必线性相关.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定

9、理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5 n V n矩阵aiia12T 3a1n.a21a22T £32nA-an1an2ann的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n .定理6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,时所有r +1级子式全为零.定理7线 性方程 组有解 判别 定理线性方程组a1 xa12x2Ta1nXn821X1822X2r .-a2nxn»有解的充分必要条件为丁它的系数矩阵an1 X1an2X2rannXnbna11厲2Ta1na11耳2a1n b.a21Aa22*a2n与增广矩阵Aa21»a22a2nP有相同的秩。as1as2r

10、asnas1T s2asn Q定理8在齐次线性万程组有非零解的情况卜，它有根底解糸，并且根底解系所含解的个数等于nr，这里r表示系数矩阵的秩.an X1a2 X2CnXnb,定理9如果r0 是方程组821X1822X2''a2nXnb2的一个特解，那么该方an1X1an2X2-'annXnbn程组的任一个解r都可以表成r -° +讣，其中是导出组a1 X312X2CnXn0,a?1 X*22 X2a2nXn0,的一个解.因此，对于方程组的任一个特解r0，当取an1 X1an2X2annXn0遍 它的导出组的全部解时，r r° I对就给出本方程组的全部

11、解第四章定理1设A,B是数域P上的两个nxn矩阵，那么AB A|B ,即矩阵的乘 积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理2设A是数域P上nx：m矩阵，b是数域P上mr矩阵，于是 秩(AB < min秩(A),秩(B)，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理3矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而A 1 - (d - A 0).定理4 a是一个sn矩阵，如果p是ss可逆矩阵，q是n?；n可逆矩阵， 那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).定理5任意一个SX n矩阵A都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵 A的标 准形，主对角线上1的个数等于A的秩1的个数可以是零.定理6 n级矩阵A为可逆的充分必

12、要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：A Q1Q2 Qm第五章定理1 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和苹2际久*.定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理3任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成标 准形，且标准形是唯一的。定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成 标准形，且标准形是唯一的。定理5 1任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵；,其中，对角线上i的个数r等于a的秩.2任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：，其中对角线上1的个数P及-1的个数r P r是A的秩都是唯一确定的，分别称

13、为a的正、负惯性指数它们的差2p- r称为A的符号差定理6 n元实二次型,召)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理7实二次型n nf(Xix2,Xn) - 力刀 ajXjXj -XAXi1 j 1是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.定理8对于实二次型f(x,xn) xax其中a是实对称的，以下条件等价：1f(x,x)是半正定的，2它的正惯性指数与秩相等，3有可逆实矩阵C ,使did2C AC一dn其中，d Oi 1,2;,r)4有实矩阵C使A CC，5A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量1, 2厂n，且V中任一向量 都可

14、以用它们线性表出，那么V是n维的，而1, 2厂n就是V的一组基.定理2 如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的，那么W就 是一个子空间.定理31两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2H 1, 2,r)的维数等于向量组1, 2厂r的秩.定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，1，2厂m是W的一 组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基 .也就是说，在V中必定可以找到n m个向量ml，m2,，n，使得1，2，'"' n是V的一组基.定理5如果UM是线性空间V的两个子空间，那么它们的交VZ 也是V的子空间定理6如果u,v2是

15、V的子空间，那么它们的和V, v2也是V的子空间.定理7 维数公式如果vm是线性空间V的两个子空间，那么维Vi+维V=维V V2+维ViAV2.定理8和Vi V2是直和的充分必要条件是等式1 2 0,i Vi(i 1,2)只有在i全为零向量时才成立.定理9设V1,V2是V的子空间，令w V1 V2，那么w V V2的充分必要条件为维W=维v+维V2.定理10设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间 W使V U W.定理11 V1，V2,Vs是V的一些子空间，下面这些条件是等价的：1 WVi是直和；2零向量的表法唯一；3Vi n Vj0 (i 1,2, ,s)；j i4维w=维(V)

16、定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.第七章定理1设1, 2,，n是线性空间V的一组基，1, 2，n是V中任意n个向量.存在定理2设！，2,，n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个n n矩阵.这个对应具有以下的性质：1线性变换的和对应于矩阵的和；2线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵 .定理3设线性变换 在基仆2,，n下的矩阵是A，向量 在基1, 2,，n下的坐标是人必，人，那么 在基！，2,，n下的坐标 , 丫2 ,， 可以按公式yi洛y2

17、 a x2计算ynXn定理4 设线性空间V中线性变换 在两组基1 , 2,，nI 61,2, n7下的矩阵分别为A和B，从基6到基7的过渡矩阵是X，于是B X 1AX. 定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相 似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵定理6相似的矩阵有相同的特征多项式.哈密尔顿一凯莱Hamilton-Caylay丨定理 设A是数域P上一个n n矩阵,f E A是A的特征多项式，那么 f(A) An (an a22 ann)An 1 (1)n AE O.定理7设 是n维线性空间V的一个线性变换， 的矩阵可以在某一组基下为对 角矩阵的充

18、分必要条件是，有n个线性无关的特征向量.定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理9如果1,，k是线性变换 的不同的特征值，而i1，片是属于特征值i的 线性无关的特征向量，i 1,k，那么向量组11,，鸡，k1,，krk也线性无关.定理10设 是n维线性空间V的线性变换，！，2,，n是V的一组基，在这组基 下的矩阵是A，贝U1 的值域 V是由基像组生成的子空间，即V L( 1,2,:n).2 的秩A的秩.定理11设 是n维线性空间V的线性变换，那么 V的一组基的原像及1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有的秩 的零度n .定理12设线性变换 的特征多项式为f()，它可分解成一次因

19、式的乘积f( ) (1)2)""s)rS.那么V可分解成不变子空间的直和V U V2 - Vs ，其中 Vi1( i )r 0, V .定理13设 是复数域上线性空间V的一个线性变换，那么在V中必定存在一组基, 使 在这组基下的矩阵是假设尔当形矩阵.定理14每个n级复矩阵A都与一个假设尔当形矩阵相似.定理15数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为 A的最小多项式 是P上互素的一次因式的乘积.第八章定理1 一个n n的-矩阵AP)是可逆的充分必要条件为行列式 AG)是一个非 零的数.定理2 任意一个非零的SX n的-矩阵A0)都等价于以下形式的矩阵其中r?1d(M(

20、二1,2,r)是首相系数为1的多项式，且d")ld_a，(i=1,2,r-1).定理3等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.定理4-矩阵的标准形是唯一的.定理5两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它 们有相同的不变因子定理6矩阵A0是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.定理7设A,B是数域P上的两个n X. n矩阵.A与b相似的充分必要条件是它们的 特征矩阵XE A和入E B等价.定理8两个同级复数矩阵B相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子定理9首先用初等变换化特征矩阵AE A为对角形式，然后将主对角线上的元 素分解成互不相同的一次

21、因式方幕的乘积， 那么所有这些一次因式的方幕相同的 按出现的次数计算就是A的全部初等因子.定理10每个n级矩阵的复数矩阵A都与一个假设尔当形矩阵相似，这个假设尔 当形矩阵除去其中假设尔当块的排列次序外是被矩阵 A唯一决定的，它称为A的 假设尔当标准形定理11设是复数域上线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使在 这组基下的矩阵是假设尔当形，并且这个假设尔当形矩阵除去其中假设尔当块的 排列次序外是被唯一决定的.定理12复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.定理13复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重 根.定理14 数域p上nxn方阵A在

22、p上相似于唯一的一个有理标准形，称为 a的 有理标准形.定理15设 是数域P上n维线性空间的线性变换，那么在V中存在一组基，使 在 该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 唯一决定，称为 的有理 标准形.第九章定理1 n维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基定理2对于n维欧式空间中任意一组基1, 2,，n，都可以找到一组标准正交基定理3两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同 定理4设 是n维欧式空间v的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的：1 是正交变换；2 保持向量的长度不变，即对于-心；3如果1, 2,，n是标准正交基，那么'i，-'2

23、,'n也是标准正交基；4 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定理5如果子空间Vi,V2,Vs两两正交，那么和V1丨V2 一乂是直和.定理6 n维欧式空间v的每一个子空间Vi都有唯一的正交补.定理7 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵t，使T At T 1AT成对角形.n n定理8任意一个实二次型aijxixj,aj =科i =1 j =1都可以经过正交的线性替换变成平方和人yf入22丨 入yj，其中平方项的系数 入血入 就是矩阵A的特征多项式全部的根.第十章定理1设V是P上一个n维线性空间，1, 2，n是V的一组基，a1甩耳是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数

24、f使谄)a,i 1,2,n.定理2 L(V ,P)的维数等于V的维数，而且f1,f2,fn是L(V ,P)的一组基.定理3 设1, 2,，n及1, 2，n是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1,f2,fn及9l,g2 ,gn .如果由1, 2/", n到1, 2,，n的过渡矩阵为A，那么由f1,f2/",fn到01滋,g的过渡矩阵为(A) 1.定理4 V是一个线性空间，v*是V的对偶空间的对偶空间.V到V*的映射是一个同构映射.XTx定理5设V 是P上n维线性空间，f(、J)是V上对称双线性函数，那么存在V的一组基1, 2,，n，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵?数学

25、分析?第一、二章定理1.1确界原理设S为非空数集假设S有上界，那么S必有上确界；假设S 有下界，那么S必有下确界.定理2.1数列an收敛于a的充要条件是：an a为无穷小数列.收敛数列的性质：定理2.2唯一性假设数列an收敛，那么它只有一个极限.定理2.3有界性假设数列an收敛，那么an为有界数列，即存在正数 M ，使得对一切正整数n有an| M .定理2.4保号性假设lim an a 0或 0，那么对任何a (0,a)或a (a,0)，存在正数N，使得当n N有an a 或an a.定理2.5保不等式性设an与bn均为收敛数列.存在正数N。，使n N°时有 an bn，那么 lim

26、 an lim .nn定理2.6迫敛性设收敛数列an ， bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N。，当n N0时有an Cn bn，那么数列Cn收敛，且lim Cn a.n定理2.7四那么运算法那么假设an与bn收敛，那么数列an bn， an bn，an bn也都是收敛数列，且有lim( an bn) lim an lim bnnnnlim(an bn) lim an lim bn特别当bn为常数C时有Iim(an c) lim an c, lim can climan.nnnn假设在假设bn 0及lim bn 0 ,那么色也是收敛数列，且有lim lim lim bn . nbnn g

27、 n / n定理2.8数列an收敛的充要条件是：an的任何非平凡子列都收敛.定理2.9单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理2.10柯西收敛法那么数列an收敛的充要条件是：对任何给定的0 ,存在正整数N，使得当n,m N时有a. am.第三章定理 3.1 lim f(x) A lim f(x) lim f(x) A.X Xox X)x Xo函数极限的性质：定理3.2唯一性假设极限lim f(x)存在，那么此极限是唯一的.x x)定理3.3局部有界性假设lim f (x)存在，那么f在X。的某空心邻域U0(x0)内有X X0界.定理3.4局部保号性假设lim f (x) A 0或0

28、，那么存在任何正数r A或X X0r A丨存在U。(冷)，使得对一切x U °(x°)有f (x) r 0或 f (x) r 0 丨.定理3.5(保不等式性)设lim f (x)与lim g(x)都存在，且在某邻域x U°(x°)有xxx X0f(x) g(x),那么 lim f(x) lim g(x).x x0X x0定理3.6迫敛性设lim f (x) lim g(x) A，且在某x U 0(x0;)内有X X0X X0f (x) h(x) g(x)，那么有 lim h(x) A .X x0定理3.7四那么运算法那么假设极限lim f(x)与lim

29、g(x)都存在，贝U函数f g，xx)x X)f g当XX。时极限也存在，且1Xinnj f(x) g(x)lim f (x)X X0Xing(x);2rlim f(x)g(x) lim f (x) lim g(x)；x x0x xoXX。且有又假设lim g(x) 0 ,贝U f g当xx°存在，X xlimx Xof(x)g(x)limX xof(xXinog(x)Xo定理3.8归结原那么设f在x U 0(x0;)内有定义.lim f (x)存在的充要条件X xo是：对任何含于x UO(Xo；)内且以Xo为极限的数列Xn，极限lim f (Xn)都存在且相等.X X定理3.9设函

30、数f在点Xo的某空心右邻域U °(xo)有定义.lim f (x) A的充要X X)条件是：对任何以Xo为极限的递减数列XnU o(Xo)，有lim f(xn) A.定理3.io设f为定义在U o(x。)上的单调有界函数，那么右极限lim f(x)存在.X xo定理3.11柯西准那么设函数f在Uo(xo；)内有定义.lim f(x)存在的充要条X Xo件是：任给 o，存在正数 ，使得对任何x，x U o(Xo；)有 I f(X) f(X )|.定理3.12设函数f,g,h在Uo(x)内有定义，且有f(x)g(x)(xXo).i 丨假设 lim f (x) h(x) A，那么 lim

31、g(x)h(x) A ；XX)XX)ii 丨假设 lim h(x) b ,贝q limB .x xo f (x)x 冷 g(x)定理3.13i丨设f在Uo(Xo)内有定义且不等于0.假设f为xxo时的无穷小量，那么1为xXo时的无穷大量.1ii假设g为xXo时的无穷大量，贝U 为xXo时的无穷小量.g第四章定理4.1函数f在点X。连续的充要条件是：f在点X。既是右联系，又是左联系.连续函数的性质：定理4.2局部有界性假设函数f在点xo连续，那么f在某U(x。)内有界.定理4.3局部保号性假设函数f在点X。连续，那么f(x。)0或0，那么对任何正数r f (xo)或rf(xo)，存在某U(x。)

32、，使得对一切x U (x。)有 f (x ) r或 f (x ) r 丨.定理4.4四那么运算假设函数f和g在点xo连续，那么f g，f g，仃g g(xo) 0 也都在点X。连续.定理4.5假设函数f在点Xo连续，g在点Uo连续，Uof (Xo)，那么复合函数g“ f在点Xo连续.定理4.6最大、最小值定理假设函数f在闭区间a,b上连续，那么f在a,b上 有最大值和最小值.定理4.7介值性定理设函数f在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b).假设u为介于f (a)与f(b)之间的任何实数f(a) u f (b)或 f(a) u f(b)，那么至少存在一点 Xo a,b，使得 f(x。)u.

33、定理4.8假设函数f在a,b上严格单调并连续，那么反函数f 1在其定义域f(a), f (b)或 f(b), f(a)上连续.定理4.9一致连续性定理 设函数f在闭区间a,b上连续那么f在a,b上一致 连续.定理4.10设a 0，为任意实数，那么有a a a ,(a ) a .定理4.12 切根本初等函数都是其定义域上的连续函数 定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数第五章定理5.1假设函数f在点X。可导，那么f在点X。连续.定理5.2假设函数y f (x )在点x。的某邻域内有定义，那么f(X。)存在的充要条件是 f(X。)与 f(X。)都存在，且 f (x。) f (Xo).

34、定理5.3费马定理设函数f在点X。的某邻域内有定义，且在点X。可导.假设点X。为f的极值点，那么必有f (x。)Q .定理5.4达布定理假设函数f在a,b上可导，且f (a) f (b)，k为介于f (a)，f (b)之间任一实数，那么至少存在一点a,b，使得f ( ) k.定理5.5假设函数u(x )和v(x )在点x。可导，那么函数f (x) u(x) v(x )在点x。可导，且f(X。) u(x。)v(x。).定理5.6假设函数u(x )和v(x )在点X。可导，那么函数f(x) u(x) v(x )在点x。可导，且 f(X。)U(Xo)V(X。)U(Xo)V(X。).定理5.7假设函数

35、u(x )和v(x )在点X。可导，且v(x。)Q，那么f (x)丛幻在点X。 v(x)可导，且f(X。)u (XMx。) U(Xo)v(X。)vx。2定理5.8设y f (x)为x (y)的反函数，假设 (y)在点y。的某邻域内连续，严格单调且(y。)。，那么f(x)在点x。x。(y。)可导，且f x。1(y。)定理5.10函数f在点Xo可微的充要条件是函数f在点Xo可导，而且y A x ( x)中的 A等于 f(X。).第六章定理6.1罗尔中值定理假设函数f满足如下条件:if在闭区间a,b上连续；iif在开区间a,b内可导； iii f(a) f(b)，那么在a,b内至少存在一点 ，使得f

36、 ( ) o.定理6.2拉格朗日中值定理假设函数f满足如下条件:if在闭区间a,b上连续；iif在开区间a,b内可导;那么在a,b内至少存在一点，使得f()f(b) f(a)b a定理6.3设f(x)在区间I上可导，那么f(x)在区间I上递增减的充要条件是f (x) o o定理6.4假设函数f在a,b内可导，那么f在a,b内严格递增递减的充要条件是：i对一切 x a,b，有 f (x) o f (x) o；ii在a,b内的任何子区间上f (x)不恒为o.i丨在a,b上都连续;ii在a,b内都可导;iii f (x)和g (x)不同时为零；IVg(a) g(b),f(b) f(a).g(b) g

37、(a)'(xo)内两者都可导，且g (x)0 ;那么存在a,b，使得課定理6.6假设函数f和g满足:ilim f (x) lim g(x) 0 ；XX。X 冷ii在点xo的某空心邻域Uiii lim丄凶 A A可为实数，也可为 或，x 冷 g (x)那么 |im |im3 A.x xo g(x) x xo g (x)定理6.7假设函数f和g满足：ilim f (x) lim g(x) ；X X。x xoii :在X。的某右邻域U 0(x。)内两者都可导，且g(x) 0 ；iii lim丄凶 A A可为实数，也可为 或，x xo g (x)那么Hm 3 lim丄血a.x xo g(x)

38、x xo g (x)定理6.8假设函数f在点X。存在直至n阶导数，那么f (x) Tn(x)(x xo f)，即f (x) f(X0) f(X0)(X X0)f(X0)2!(xX0)2严(X X0)n(x X°)n)n!定理6.9泰勒定理假设函数f在a,b上存在直至n阶的连续导函数，在a,ba,b，使得f (Xo)/2f()(Xo)n f ( ) /n 1f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)-(XXo)- (XXo)(XX。)2!n!(n 1)!定理6.10极值的第一充分条件设f在点Xo连续，在某邻域U o(Xo；)内可导.i假设当 X (Xo,Xo)时 f(x) 0,当 X (X

39、o,Xo)时 f (x) o，那么f在点Xo取得极小值.ii假设当 X (Xo,Xo)时 f(x) o，当 X (Xo,Xo)时 f(x) o，那么f在点Xo取得极大值.定理6.11极值的第二充分条件设f在Xo的某邻域U(Xo；)内存在一阶可导，在X Xo处二阶可导，且f (x) o，f (x) o.i丨假设f (x) o ,那么f在点Xo取得极大值.ii :假设f (X) o，那么f在点Xo取得极小值.定理6.12 :极值的第三充分条件设f在Xo的某邻域内存在直到n 1阶导函数，在 Xo 处 n 阶可导，且 fg(xo) o(k 1,2,，n 1)， f(n)(x°) o 那么i丨

40、当n为偶数时，f在点xo取得极值，且当f(X。)o时取得极大值，宀(心o时取得极小值.ii当n为奇数时，f在点xo处不取得极值.定理6.13设f为区间I上的可导函数，那么下述判断互相等价：1 f为I上的凸函数；2 f为I上的增函数；3 对 I 上的任意两点 X1,X2，有 f(X2) f(xj f (xJ(X2 xj.定理6.14设f为区间I上的二阶可导函数，那么在I上f为凸凹函数的充要条件是 f (x) o : f (x) o :, x I .定理6.15假设f在xo二阶可导，那么(Xo, f(x。)为曲线y f(x)的拐点的必要条 件是f (x)0.定理6.16设f在X。可导，在某邻域U(

41、x。)内二阶可导.假设在U(X。)和U(X。)上 f (x)的符号相反，那么(xo,f(x。)为曲线y f(x)的拐点.第七章定理7.1区间套定理假设an,bn是一个区间套，那么在实数系中存在唯一的一点，使得an,bn ， n 1,2,，即 anbn， n 1,2,，定理7.2魏尔斯特拉斯聚点定理实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚 占八、定理7.3海涅-博雷尔有限覆盖定理设H为闭区间a,b的一个无限开覆 盖，那么从H中可选出有限个开区间来覆盖a,b .有界性定理 假设函数f在闭区间a,b上连续，那么f在a,b上有界.最大、最小值定理 假设函数f在区间a,b上连续，那么f在a,b上有最大值和

42、 最小值.介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b).假设u介于f (a)与f(b)之间的任意实数f(a) u f(b)或f(a) u f(b):，那么存在 x。a,b，使得 f(x。)u.一致连续性定理 假设函数f在区间a,b上连续，那么f在区间a,b上一致连续.第八章定理8.1假设函数f在区间I上的连续，那么f在I上存在原函数F ,F (x) f(x),x I .定理8.2设F是f在区间I上的一个原函数，贝Ui F C 也是 f 在 I 上的原函数，其中 C 为任意常量函数；ii f 在 I 上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数 .定理8.3假设函数f与g在区间I上

43、都存在原函数，Ok?为两个任意常数，那么k1 f k2g在 I 上 也 存 在 原 函 数 ， 且k1 f(x) k2g(x)dx k1 f ( x)dx k2 g(x)dx.定理8.4换元积分法设g(u)在,上有定义，u (x)在a,b上可导，且(x)， x a,b ，并记 f(x) g( (x) (x).i丨假设g(u)在 , 存在原函数G(u)，那么f (x)在a,b也存在原函数 F(x)， F(x) G( (x) C即 f(x)dx g( (x) (x)dx g(u)du G(u) C G( (x) C .ii :又假设(x)0，x a,b，那么上述命题i丨可逆，即当f(x)在a,b 存在原函数 F(x)时，g(u)在 ,也存在原函数 G(u)，且G(u) F( 1(u) C ，即 g(u)du g( (x) (x)dx f(x)dx F(x) C F( 1(u) C.定理8.5 分部积分法假设u(x)与v(x)可导，不定积分 u(x)v(x)dx存在，那么u(x)v(x)dx 存在，并有 u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx.第九章定理9.1假设函数f在a,b上连续，且存在原函数F ,即F (x) f(x) , x a,b，