数列复习总结(通项公式、求和方法)

1、数列复习总结、根底知识:数列:1. 数列、项的概念:按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列，其中的每一个数叫 做数列的项2. 数列的项的性质:有序性：确定性：可重复性.3. 数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置 序号，因此数列的一般形式可以写成 ai, a2, as,，an，简记作 an.其 中an是该数列的第 卫项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公 式法通项公式、涕推公式、求和公式都是表示数列的方法.4. 数列的一般性质:单调性;周期性.5. 数列的分类： 按项的数量分： 有穷数列、无穷数列; 按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列、

2、常数列、摆动数列、其他; 按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他： 按项的变化范围分：有界数列、无界数列.6 .数列的通项公式：如果数列an的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用 一个公式 an=fnnM或其有限子集1 , 2, 3,，n来表示，那么这个 公式叫做这个数列的 通项公式数列的项是指数列中一个确定的数， 是函数值， 而序号是指数列中项的位置，是自变量的值.由通项公式可知数列的图象是 散点 生，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值不是所有的数列都有通 项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一.7 .数列的递推公式：如果数列an的第一项或前几项，且任一项an与它的前一项an

3、-1或前几项an-1, an-2，间关系可以用一个公式_an=fan1n=2, 3,或 an=fan 1,an 2(n=3, 4, 5,)，来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式8. 数列的求和公式：设S表示数列an和前n项和，即S=ai+a2+an，如果S与项数n之间的函数关系可以用一个公式S= fnn =1, 2, 3,来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式.9. 通项公式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式S的关系可表示为：anS(n 1)Si & 1 (n 2)等差数列与等比数列:等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的差是同一个常数

4、，那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差 数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每 一项与它的前一项的比是同一个常数， 那么这个数列就叫等比数列，这个常数 叫等比数列的公比。符号定义an 1and也 q(q 0)an分 类递增数列：d 0递减数列：d 0常数数列：d 0递增数列：耳0,q1或印0,q 1递减数列：a0,q1或a10,0q 1摆动数列：q 0常数数列：q 1通 项an q (n 1)d pn q am (n m)d其中p d,q a dn in m佔q oanaiqa刖Snn(ai an)n(n 1)d2napnqnai(iq )(q i)n2 2项 和甘十dd其中p-

5、,qai-22inq(q i)中 项a,b,c成等差的充要条件：2b a ca,b,c成等比的必要不充分条件：b2 ac等和性：等差数列an等积性：等比数列3n假设m n p q那么假设mn p q那么amanapaqamanapaq主要推论：假设 m n 2p 那么推论：假设m n 2p 贝y性2质為an 2a paman (ap)an kan k2anan k an k(an)2aiana2an 1a3an 2aiana2 an ia3 an 2即:首尾颠倒相加，那么和相等即:首尾颠倒相乘，那么积相等I、等比数列中连续项的和，组成的新数1、等差数列中连续m项的和，组成的新列是等比数列。即：

6、数列是等差数列。即：為,S2m Sm, S3mS2m,等比，公比为qm。sm,S2m Sm , S3mS2m,等差，么差为2、从等比数列中抽取等距离的项组成其/、2 md 那么有 S3m 3(S?m Sm)的数列是一个等比数列。2、从等差数列中抽取等距离的项组成的如:3 , a4 , a7 , ai0 ,下标成等差数列数列是一个等差数列。如:3、an , bn等比,那么a2n ， a2n i ， kanai,a4,a7,aio,下标成等差数列也等比。其中k 03、an , bn 等迸，那么a2n，a2n 1，4、等比数列的通项公式类似于 函数，n的指数kan b , pan qd 也等差。即：

7、an cqn，其中c 仝q4、等差数列aIn的通项公式是n的一次它等比数列的前n项和公式是一个平移函数，即：andn c( d 0)加振幅的n的指数函数，即：Sn cqn c(q 1)等差数列an的前n项和公式;是一个没有常数项的n的一次函数，5、等比数列中连续相同项数的积组成的 新数列是等比数列。即：SnAn2Bn (d 0)5、项数为奇数2n 1的等差数列有：s奇nS奇S偶ana中S禺n 1性S2n i(2n1)an项数为偶数2n的等差数列有:跆anS 禺 ndS偶an 1S2nn(Onan 1)6、anm,amn 那么 am n 0质5sm 那么 smn 0(n m)Sn m,Sm n

8、那么 Sm n(m n)证明一个数列为等差数列的方法:证证明一个数列为等比数列的方法:明1、定义法：an1 an d(常数)1、定义法：an 1 q常数方法2、中项法：an1 an 12an(n2)an3. 、通项公式：an kn bk,b为常数4、 前n项和：Sn An2 Bn A, B为常数2、中项法：an 1 an 1 (an)2(n 2耳 0)设元技巧二数等差：a d,a,a d四数等差：a 3d,a d,a d,a 3d三数等比： ,a,aq或a, aq, aq2 q四数等比： a,aq,aq2,aq3联 系1、假设数列an是等差数列，那么数列 Can是等比数列，公比为Cd，其中C是

9、常 数，d是an的公差。2、 假设数列an是等比数列，且an 0 ,那么数列logaan是等差数列，公差为loga q， 其中a是常数且a 0, a 1， q是an的公比。二.考点分析数列是高考热点内容，考查主要为等差，等比数列的根本性质、数列的通项公式的 求法、数列前n项和的求法，其中数列的通项公式的求法根底，在复习过程中注意等 差、等比数列定义及性质要复习扎实，常用的通项公式的求法是重点，难点。在复习 过程中一定要学生注意课后稳固。等差与等比数列例1：等差数列an 中, a4=10,且a3，a6，a p成等比数列.求数列an前20项的和 岂.练习：1.等差数歹 a n 中，a3a71684

10、 36 0求an的前门项和.2. a n为等差数列，a3+a8=22,a6=7,求85；3. 等差数列a n的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和4. 等差数列an、b的前n项和分别是Sn、Tn,且 空求玉Tn3n 2b6等差数列前n项和的最值问题:1、假设等差数列an的首项a1 0 ,公差d0,那么前n项和Sn有最大值。i假设通项an，那么Sn最大an0an 10ii假设Snpn2 qn,那么当n取最靠近2qp的非零自然数时最大;2、假设等差数列an的首项a1 0 ,公差d0,那么前n项和Sn有最小值i假设通项an，那么Sn最小an0an 10ii假设Snpn2 qn,那么

11、当n取最靠近2qp的非零自然数时最小;例2.在等差数列an中，a1=20,前n项和为Sn,且可0=可5,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。作差、商法：Sn 即a1 a2anf (n)丨求an，用作差法：anS1,(n1)Sn51 1 , (n 2)f(1),(n 1)口 a1 *a2一*4f(n)求 an，用作商法：anf(n) (n 2)。f(n 1)，(n 2)条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an ;有时也可直接求an 累1 加法假设an 1anf(n)求an用累加法an(anan 1 )(an 1an 2

12、)2 aja1 (n2)。累乘法an 1anf(n)求 an，用累乘法:ananan 1an 1an 2a?(n 2)。a1构造法递推关系求an ,用构造法构造等差、等比数列特别地，1形如an kan 1 b、an kan 1 bn k, b为常数的递推数列都 可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an ；形如an kan 1 kn的 递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求耳o2形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项kan 1 b3形如an 1 ank的递推数列都可以用对数法求通项。7理科数学归纳法。8当遇到am am d或也 q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段

13、an 1形式。数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式中“同类项先 合并在一起，再运用公式法求和。3倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和这也是等差数 列前n和公式的推导方法.4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项 相乘构成，那么常选用错位相减法这也是等比数列前n和公式的推导方法5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差 关联，那么常选用裂项相消法求和的形式，且相邻项分裂后相.常用裂项形式有:

14、1)n(nk)1k2 * * 11(k 1)k1(k n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)(n 1)!1 ；(n 1)!；2、.n，丁1、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法等差数列an是递增数列, 数列an的通项公式2前n项和为Sn，且a1，a5 a9成等比数列，S5 a5 .求解：设数列an公差为dd 02a1, a3, a9 成等比数列，二 a3 a1a95a1d佝 4d)2a1由得：(n1)注：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差公比 后再写出通项。2、前n项和，求通项公式例1.数列an的前n项和为Sn 2n解：n 1 时，a1 2

15、1 5，二 a1 14 1 1 3n，求数列aj的通项公式解:1当 n=1 时，a1S1,2当 n 2 时，anSnSi1 4n 5a11,适合 an4n 5, an4n5注：一般的利用公式anSnS, n 1& 1, n 2求an，特别要注意a1是否适宜anSnSn 1,(n 2)an的前n项和Sn -(an 1)2，求数列a.的通项公式a14数列an 的前n项和为Sn,且满足2Sn Sn-1 0(n 2)(1) 求证：是等差数列;a21尹 an1 2n 1 52求an的表达式.3、求差商法1 1 1如：an满足2a1 22a2 2an 2门512n14 (n 1)2n 1 (n 2)练习5

16、数列an满足 Sm 3% 1，ai4，求 an(注意到an 1 Sn 1 Sn代入得:Sn 1Sn又S14,二Sn是等比数列，Sn 4nn 2时，an Sn Sn 13 4n 14、累乘法例如：数列an中，a13,亚1 ，求anan n 1解:a2a1a3a2an 123an1a1n3又a13，ann f(n) f(n)累乘法是反复利用递推关系得到 n 1注：假设数列满足an，且可求和，个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n 1项的积，要注意求积的 技巧.5、累加法由an an 1 f(n)，aa，求a.，用迭加法n 2时，a2 a1f(2)a3a?f(3)两边相加，得:an

17、an 1 f(n)an ai f(2) f(3)f(n)anaof(2)f(3)f(n)练习数列 an , a11, an 3n 1 an 1 n 2，求 an求形如an an 1f(n)f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列的数列通项，注：可用累加法，即令n=2, 3，n 1得到n 1个式子累加求得通项，累加法是反复利 用递推关系得到n 1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n 1项的和，要注意求和的技巧.6、等比型递推公式例:数列an满足a1=1，且an+1 = 3an +2，求an解：设an 1t3(ant)，那么an 13an 2tt 1，an 113(an1)an

18、1为等比数列，an 1佝1)3n 12 3n1，%2 3n 11练习数列 an 满足a1 9，3an 1 a. 4，求a.n 14(an 831)求递推式如an 1 Pan q p、q为常数的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟 注：知的数列求解，相当如换元法。求递推式形如an 1 Pan qp、q为常数的数列通项，可用迭1 =p(an+ p 1 )来求得也可用“归纳一猜测一证明法来求,qq代法或待定系数法构造新数列an+1+ p这也是近年高考考得很多的一种题型.例：数列an满足耳1, 3n解：将an 3 2an 1两边同除3n，得2an 1 (n 2). 求 Oi. 幕12 an 1annn

19、3，变形为31 2勒3 3n 13bn1bn3(bn 13)得t3 .条件可化成3,bn3是以b 13a13 8数列33为首项,23为公差的等比数列.anbn 38 (2)n 133因bn3n，所以anbn3n=3n(3)得 an=3n2n2a22设b 扌，那么bn 1 3bn1 .令bn t 3(bn1 t),即 bnan 1 n 1n 1mpan q P、为常数时，可同除q ，得q罟1 bq q，令q得数列an 1 an是以 a2 a1 1为首项13为公差的等比数列,an 1 an从而化归为K1 PKqp、q为常数型.2 1数列an满足1,a22, an 23an 13求 an例：解：设

20、an 2 S4 1t(an 1san).展开后，得an 2(t s) an1 tsan.2 s t, st1s 1,t1由33，解得3 ,点评：递推式为an 11条件可以化为an2 an13(an1 an)an 7-( 1)n1an 2 sq 1 t(an 1 sq)，其待题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得4 4 3注：递推式为寺2 Pan 1 P、q为常数时，可以设定常数S、t由s t p, stq求出，从而化归为上述题型.7、倒数法例如：a12an+1,a-1 丁，求a由得:1 an 2an 12an2 an1 1 1 an 2an 1为等差数列,1,ana11公差为-2an- a