概率论与数理统计JA(48,49-50)

1、第八章第八章 假设检验假设检验基本概念基本概念正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题这类问题称作假设检验问题 .总体分布已知，总体分布已知，检验关于未知参数检验关于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问题假设检验问题 在本章中，我们将讨论不同于参数估计的另在本章中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题一类重要的统计推断问题. 这就是这就是根据样本的信根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确息检验关于总体的

2、某个假设是否正确.第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念让我们先看一个例子让我们先看一个例子.这一讲我们讨论对参数的假设检验这一讲我们讨论对参数的假设检验 .第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念 生产流水线上罐装可乐不生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运断地封装，然后装箱外运. 怎怎么知道这批罐装可乐的容量是么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯把每一罐都打开倒入量杯, 看看看容量是否合于标准看容量是否合于标准. 这样做显然不这样做显然不行！行！罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之

3、间.第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念 每隔一定时间，抽查若干罐每隔一定时间，抽查若干罐 . 如每隔如每隔1小时，抽小时，抽查查n罐，得容量为罐，得容量为n的样本值的样本值x1，xn，根据这，根据这些值来判断生产是否正常些值来判断生产是否正常. 如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量样，以此监督生产，保证质量. 在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在每罐

4、可乐的容量应在355毫升上下波动毫升上下波动. 这些因素这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据中因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查.第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为原假设（或零假设）；为原假设（或零假设）；称称H1为备选假设（或对立假设）为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往在实际工作中，往往把不轻易否定的往把不轻易否定的命题作为原假设命题作为原假设. 0 H0：（ = 3

5、55）0 H1：0 这样，我们可以认为这样，我们可以认为 X1 , Xn 是取自正态总体是取自正态总体 的样本，的样本，),(2 N是一个常数是一个常数. 2 当生产比较稳定时，当生产比较稳定时，现在要检验的假设是：现在要检验的假设是：第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念那么，如何判断原假设那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？是否成立呢？较小时，可以认为较小时，可以认为H0是成立的；是成立的；当当当当较大时，应认为较大时，应认为H0不成立，即生产已不正常不成立，即生产已不正常.第八章第八章 假设检验假设检验kX 0 是小概率事件，是小概率事件，在在H0为真时，为真时，由于由于

6、是正态分布的期望值，它的无偏估计量是是正态分布的期望值，它的无偏估计量是样本均值样本均值 ，因此可以根据，因此可以根据 与与 的差距的差距XX 0 来判断来判断H0 是否成立是否成立.0 X0 X0 X1 基本概念基本概念则当样本值落在区域则当样本值落在区域 kxxxWn 01| ),( 时，小概率事件发生了，根据实际推断原理，这与时，小概率事件发生了，根据实际推断原理，这与H0的假设矛盾，因此，应该作出拒绝的假设矛盾，因此，应该作出拒绝H0的结论。的结论。第八章第八章 假设检验假设检验 kxxxWn 01| ),( 称称为拒绝域。为拒绝域。记记 ).10( ,0 kXP1 基本概念基本概念

7、在假设检验中，我们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水显著性水平平，用，用 表示表示. 常取常取 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。 .05. 0,01. 0, 1 . 0 现在回到我们前面罐装可乐的例中：现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设在提出原假设H0后，如何作出接受或拒绝后，如何作出接受或拒绝H0的结的结论呢？即如何确定论呢？即如何确定k. kXP0 ,/0 nknXPnXU 0 N(0,1)由于由于所以所以,/2/ unk 即拒绝域为即拒绝域为 2/01/),( unxxxWn第八章第八章 假设检验假设检验检验统计量检验统计量1 基本概念基

8、本概念假设检验会不会犯错误呢？假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述由于作出结论的依据是下述实际推断原理实际推断原理小概率事件在一次试验中小概率事件在一次试验中基本上基本上不会发生不会发生 .不是一定不发生不是一定不发生第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念 如果如果H0成立成立，但统计量，但统计量的实测值落入拒绝域，从的实测值落入拒绝域，从而作出而作出否定否定H0的结论，那就犯了的结论，那就犯了“弃真弃真”的错误的错误 .如果如果H0不成立不成立，但统计量的实测值未落入否定域，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定从而没有作出否定H0的结论，即的结论，即接受了接

9、受了H0，那就犯，那就犯了了“取伪取伪”的错误的错误 .我们把上面犯的两个错误分别称为我们把上面犯的两个错误分别称为第一类错误第一类错误和和第二类错误第二类错误 P拒绝拒绝H0|H0为真为真= , 犯第一类错误的概率犯第一类错误的概率: 第一类错误的概率第一类错误的概率 为检验的为检验的显著性水平显著性水平. 犯第二类错误的概率犯第二类错误的概率: P接受接受H0|H0不真不真= .第八章第八章 假设检验假设检验1 基本概念基本概念两类错误的关系两类错误的关系两类错误是互相关联的，两类错误是互相关联的， 当样本容量当样本容量固定固定时，一时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加类错误概率

10、的减少导致另一类错误概率的增加. 要同时降低两类错误的概率要同时降低两类错误的概率 ，或者要在，或者要在 不不变的条件下降低变的条件下降低 ，需要增加样本容量，需要增加样本容量. , 第八章第八章 假设检验假设检验在给定样本量的情况下，一般来说，我们总是控在给定样本量的情况下，一般来说，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它不大于制犯第一类错误的概率，使它不大于 。 1 基本概念基本概念假设检验的步骤：假设检验的步骤：1) 根据问题提出原假设根据问题提出原假设;10HH 和备择假设和备择假设2) 确定检验统计量确定检验统计量),(1nXXT并根据原假设和备择假设并根据原假设和备择假设确定拒绝域的

11、确定拒绝域的W的形式的形式的的分分布布是是已已知知的的）为为真真时时，（在在TH03) 对给定的显著性水平，利用关系式对给定的显著性水平，利用关系式 第八章第八章 假设检验假设检验 ,2/2/1 tTtTP ,1 tTP , tTP中的某一个，求出水平为中的某一个，求出水平为 的拒绝域的拒绝域. 4) 根据样本观察值算出根据样本观察值算出T 的观察值，并据此作出接受还的观察值，并据此作出接受还是拒绝是拒绝 的判断的判断.0H1 基本概念基本概念第八章第八章 假设检验假设检验2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验一、一个正态总体的均值的假设检验一、一个正态总体的均值的假设检

12、验.,),(,21未未知知的的一一个个样样本本为为总总体体设设 NXXXnnXU/00 即即统统计计量量).1 , 0( N)/,(20nNXH 为真时，为真时，在在的的检检验验，均均值值）设设已已知知方方差差 2021 0100:,:1 HH）（ ,2/ uUP对给定的水平对给定的水平.2/的值的值得得 u)2/1)(2/ u第八章第八章 假设检验假设检验计算样本值计算样本值,/00nxu ,/2/00 unx 若若.,00HH就接受就接受否则否则则拒绝则拒绝即拒绝域为即拒绝域为 2/001/),( unxxxWn2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验第八章第八章 假设

13、检验假设检验0100:,:2 HH）（kX 0 是小概率事件，是小概率事件，在在H0为真时，为真时，故拒绝域为故拒绝域为 kxxxWn 01| ),( ,/,00 unXP对给定的水平对给定的水平.的值的值得得 u,/00 unx 若若.,00HH就接受就接受否则否则则拒绝则拒绝即拒绝域为即拒绝域为 unxxxWn/),(0012 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验第八章第八章 假设检验假设检验0100:,:3 HH）（拒绝域为拒绝域为 1001/),(unxxxWn的的检检验验未未知知时时，均均值值）方方差差 220100:,:1 HH）（nSXT/0 取取统统计计量量

14、).1( nt为真时，为真时，在在0H ,)1(,2/ ntTP对给定的水平对给定的水平.)1(2/的值的值得得 nt 2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验第八章第八章 假设检验假设检验计算样本值计算样本值,/0nsxt ),1(/2/0 ntnsx 若若.,00HH就接受就接受否则否则则拒绝则拒绝即拒绝域为即拒绝域为 )1(/),(2/01ntnsxxxWn 2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验第八章第八章 假设检验假设检验0100:,:2 HH）（拒绝域为拒绝域为 )1(/),(01ntnsxxxWn )1(/),(101ntnsxxxWn

15、0100:,:3 HH）（拒绝域为拒绝域为2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验 例例1 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米毫米. 实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布假定服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件件, 得尺寸得尺寸数据如下数据如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?第八章第八章 假设检验假设检验5 .32:, 5 .32:10 HH)5(

16、65 .32tSXT 解解: : 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 = =0.01，查表确定临界值，查表确定临界值0322. 4)5()5(005. 02 tt )01. 0( 2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 T 的值的值, ,| T |=2.9972.33，即认为即认为新生产织物比过去的织物强力有提高新生产织物比过去的织物强力有提高.2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值的检验正态总体均值的检验原假设原假设检验统计量检验统计量备择假设备择假设拒绝域拒绝域0 已知）已知）（2 nXU

17、/0 nSXT/0 uU 0H0 0 0 0 0 uU 2/| uU 0 未知）未知）（2 0 0 0 0 0 )1( ntT )1( ntT )1(|2/ ntT 1H 21),(222已知已知 ),(2221未知未知 nmYXU2221 nmSYXTw11 21122212 nmSnSmSw其中其中正态总体均值的检验正态总体均值的检验原假设原假设检验统计量检验统计量备择假设备择假设拒绝域拒绝域0H1H 21 21 uU uU 2/| uU 21 21 21 21 21 21 21 21 21)2( nmtT )2( nmtT )2(|2/ nmtT 原假设原假设检验统计量检验统计量备择假设

18、备择假设拒绝域拒绝域)( 未未知知 正态总体方差的检验正态总体方差的检验0H1H202 2022)1( Sn )1(22 n 202 202 202 202 202 )1(212 n 或或)1(22/2 n )1(22/12 n ),(21未未知知 2221 2221SSF )1, 1(21 nnFF 2221 2221 2221 2221 2221 )1, 1(211 nnFF 或或)1, 1(212/ nnFF )1, 1(212/1 nnFF 原假设原假设检验统计量检验统计量备择假设备择假设拒绝域拒绝域)(成成对对数数据据正态总体方差的检验正态总体方差的检验0H1H00 nSDTD/0

19、)1( ntT )1(1 ntT )1(|2/ ntT 00 00 00 00 00 第八章第八章 假设检验假设检验2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验例例3 3 假设有假设有A,BA,B两种药两种药, ,试验者欲比较它们在服试验者欲比较它们在服用用2 2小时后血液中的含量是否一样小时后血液中的含量是否一样. .对药品对药品A,A,随随机抽取了机抽取了8 8个病人个病人, ,测得他们服药测得他们服药2 2小时后血液小时后血液中药的浓度为中药的浓度为1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.对药品对药品B,B,随机抽取了

20、随机抽取了6 6个病人个病人, ,测得他们服药测得他们服药2 2小小时后血液中药的浓度为时后血液中药的浓度为1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.假定这两组观测值是具有相同方差的正态分布假定这两组观测值是具有相同方差的正态分布, ,试在显著水平试在显著水平 下下, ,检验病人血液中这两种检验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不同药的浓度是否有显著不同? ?10. 0 第八章第八章 假设检验假设检验2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验0:, 0:211210 HH取统计量取统计量78. 1)12()2(05. 02 tnmt 查表得查表得拒

21、绝域为拒绝域为 W：由样本值可计算得由样本值可计算得由于由于 | T |= 1.541.78， 故接受故接受H0 ,解解: : )2(110 nmtnmSYXTw 21122212 nmSnSmSw其中其中)2(|2/ nmtT ,034. 0,03. 0,66. 1,51. 12221 SSYX18. 0 WST= -1.54即认为即认为血液中这两种药的浓度没有显著不同血液中这两种药的浓度没有显著不同. .第八章第八章 假设检验假设检验2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验例例4 4 有两台光谱仪，用来测量材料中某种金属有两台光谱仪，用来测量材料中某种金属的含量，为鉴定

22、他们的测量结果有无显著的差的含量，为鉴定他们的测量结果有无显著的差异，制备了异，制备了9 9件试块（它们的成份、金属含量、件试块（它们的成份、金属含量、均匀性等均各不相同），现在分别用这两台仪均匀性等均各不相同），现在分别用这两台仪器对每一试件测量一次，得到器对每一试件测量一次，得到9 9对观察值如下：对观察值如下：x% 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00y% 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89d=x% -y% 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？）问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？）（取（取01. 0 第八章第八章 假设检验假设检验2 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验0:, 0:0100 HH取统计量取统计量3554. 3)8()1(005. 02 tnt 查表得查表得拒绝域为拒绝域为 W：由样本值计算得由样本值计算得: :由于由于 | T | = 1.467 3.3554， 故