同济第六版高数课件

1、0)()(sincos)(. 1221 xykxykxckxcxy满满足足方方程程?)(02xyyky，如如何何解解出出反反过过来来，由由方方程程 的的值值使使式式子子成成立立的的的的解解代代数数方方程程xxf:0)( 求求曲曲线线方方程程点点且且过过的的斜斜率率上上各各点点曲曲线线.)2 , 1(,2),()(. 2xkyxxyy )(,)()(. 32tstskmgtsm求求受受阻阻落落体体运运动动 )(,)()(. 4tiEtRidttdiLLR求求电电路路的的电电流流 ),(0. 5yxuuuyyxx的的函函数数求求满满足足 )(现现未知函数的导数必须出未知函数的导数必须出变量之间的方

2、程式变量之间的方程式未知函数及其导数与自未知函数及其导数与自定义定义阶阶 方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数四四阶阶三三阶阶xyyyyyxyxyxyx2sin51210434)4(223 二阶及二阶以上的微分方程称为二阶及二阶以上的微分方程称为高高 阶阶微分方程微分方程), ,(0), ,()1()()( nnnyyyxfyyyyxF显显式式形形式式一一般般形形式式只讨论显式形式的常微分方程只讨论显式形式的常微分方程,且且 f 连续的情况连续的情况0),(),( dyyxNdxyxM一一阶阶方方程程的的微微分分形形式式n阶常微分方程的形式阶常微分方程的形式

3、常微分方程常微分方程:一元一元+导数导数 偏偏 微分方程微分方程:多元多元+偏导数偏导数 微分方程的解微分方程的解 代入方程使成为代入方程使成为恒等式恒等式的的函数函数上上的的解解为为微微分分方方程程在在区区间间则则称称上上阶阶连连续续导导数数，若若在在区区间间有有设设IxxxxxFInxyn)(0)(,),( ),(,)()( 通解通解 含有任意常数的解含有任意常数的解,且且常数的个数常数的个数=阶数阶数 特解特解 通解中满足问题所给的特定条件的解通解中满足问题所给的特定条件的解的的通通解解是是微微分分方方程程0sincos221 ykykxckxcy的的特特解解的的满满足足是是方方程程 k

4、yyykykxy)0(0)0(0sin2 1) 除了极个别情况除了极个别情况, 通解包含所有的解通解包含所有的解2) 几何上几何上, ,通解表示平面曲线族通解表示平面曲线族, 特解为曲线族中的一条曲线特解为曲线族中的一条曲线 的的通通解解是是不不微微分分方方程程0sin2cos21 ykykxkxcy 100000)(,)() ,()(),(yxyyxyyyxfyyxyyxfy二二阶阶一一阶阶初值问题初值问题 求微分方程特解的问题求微分方程特解的问题 1) 只介绍某些类型的常微分方程的求解方法只介绍某些类型的常微分方程的求解方法 不讨论相关的理论问题不讨论相关的理论问题(存在性存在性 唯一性唯

5、一性 稳定性稳定性)2) 解法具有针对性解法具有针对性,不同类型方程用不同的解法不同类型方程用不同的解法.100000)()()(:yxyyxyyxy 二二阶阶一一阶阶初初始始条条件件的的给给法法初始条件初始条件 特解中的特定条件特解中的特定条件阶阶数数任任意意常常数数的的个个数数初初始始条条件件的的个个数数 初始条件要适当给定初始条件要适当给定: 称为称为适定适定 特特解解确确定定常常数数初初始始条条件件通通解解 解方程解方程 回代常数回代常数 无无法法求求积积分分含含有有未未知知函函数数若若两两端端积积分分,)(2,2dxxxyy CxyCxy 2211两两端端积积分分)(/ )(),(y

6、gxhyxfy 可可即即是是方方程程的的隐隐式式通通解解函函数数隐隐式式确确定定的的两两边边积积分分方方程程写写成成)()()()()()()()(xyCdxxhdyygdxxhdyyg 解法解法的的通通解解求求微微分分方方程程22xyy 例例1 1解解满满足足方方程程故故)(xy证证),(/ )()()(,)()()()1(ygxhydxxhdyygxy 即即式式两两边边求求微微分分式式确确定定的的隐隐函函数数是是由由设设失失根根增增根根防防止止xdxydy22 方方程程写写成成 Cdxxhdyygxxhxyxygxyy)()(,)()( )()()2(左端换元有左端换元有积分积分对对是方程

7、的解，是方程的解，设设式式确确定定的的函函数数故故方方程程的的解解必必为为)( 可正可负即可可正可负即可而常数而常数写成写成可正可负可正可负若若1,lnln,cyyy12lnln,2,0)1cxyxdxydyy 时时当当为为任任意意常常数数，显显然然是是解解。cceyyx20)2 可可正正可可负负c22211,xxxceecyecy 01 c的的通通解解求求xyy2 0)()(22 dyyxydxxyx解解方方程程cxydxxxdyyyln)1ln()1ln(,112222 )0()1(122 cxcy例例2 2解解例例3 3解解)2(2)47( 1212，作业作业 ex)(,tv下下落落速速

8、度度时时速速度度为为零零，求求降降落落伞伞离离塔塔正正比比所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度成成设设降降落落伞伞下下落落ktkckvg ln)ln(积积分分0)0(,)()( vvmkmgtvm且且由由牛牛二二定定律律ktktcekgvkcekvg 通通解解kgcv 0)0()1()(ktekgtv 特特解解dtkvgdv )(分分离离变变量量).(,)0(.0tMMMMM 铀铀含含量量求求已已知知成成正正比比变变的的铀铀含含量量放放射射铀铀衰衰变变速速度度与与未未衰衰）（衰衰变变常常数数由由题题意意0 kkMdtdMvkdtMdM 分离变量分离变量tkceMktcM 1ln积积分分kteM

9、MMcMM 000)0(故故代代入入得得初初始始条条件件例例5 5解解例例4 4解解Rhorhdhh ,内内设设在在时时间间段段ttt dhhRhdhrdVt)2(, 022 当当dtghSdhhRh262. 0)2(2 )(程程微微元元分分析析法法建建立立微微分分方方dhghhdt262. 0)200(3 )()310107(265. 45335thhhhgt Chhgt )340052(262. 035100)0( h)(107265. 4, 05sgth 流流尽尽时时可分离变量可分离变量和和流流尽尽所所需需时时间间。求求液液面面高高度度流流出出小小孔孔水水从从底底部部半半球球形形容容器器

10、盛盛满满水水高高)(,1,12thcmSm ghSdtdVQ262. 0, 流流量量根根据据水水力力学学定定律律例例6 6解解hrVhhh 2,则则降降至至水水面面由由隐隐)(),(xyFyxfy 可可解法解法)(uFuxuuxuy 代代入入得得有有 xdxuuFduxdxuuFdu)(,)(积积分分分分离离变变量量)()()(xxuxyxu 解解出出可可分分离离齐齐次次),(),(00tytxfyxftn 次次齐齐次次函函数数xxyxu)()( 令令22xxyydxdy 解解方方程程齐齐次次右右1)(2 xyxyxyuceyceux 故故cxuuxdxduuulnlnln,1 积积分分得得分

11、分离离变变量量1122 uuuuuudxdux代代入入原原方方程程得得例例1 1解解xyu 令令xyu 令令的的特特解解满满足足求求方方程程6)1(tan yxyxyy例例2 2uuxuxuytan, 代代入入原原方方程程得得解解xcucxuxdxudu sin.lnlnsinln,tan积积分分分分离离2sin216)1(.sinxxyCyCxxy 特特解解通通解解xyu 令令00)(1111 cccybxacbyaxFy或或解法解法 进行变换进行变换,化为齐次或可分离变量方程化为齐次或可分离变量方程可可分分离离齐齐次次则则且且，令令当当)(000)1(1111111YbXabYaXFdXd

12、YdxdyckbhacbkahkYyhXxbaab XYu 令令0)14()1( dyxydxyx解方程解方程例例3 3齐齐次次有有令令1)(4141 XYXYXYXYdXdYYyXx 0101401141khkhkhxyyxdxdy得得解解解解XdXduuuuudXduXuuXY 14141412有有再再令令cXuu ln22arctan)14ln(2cxyxyxyu 12arctan)1(4ln122得得回回代代cuXuX 2arctan)4ln(222byaxubbaa 令令时时当当,)2(11为为可可分分离离变变量量方方程程则则)(1cucubFau 解解yxu 令令211uuuy 有

13、有由由CxyxCxu )arctan(arctan即即解解得得xyu 令令解解 )()()(|ln)()()(ufuguduugCxufuguduugxdx通通解解0)()()( duugdxxuuguf则则有有解解xyz 令令zdxdzdxdyxydxdz2sin1 得得由由则则CxxyxyCxzz 4)2sin(242sin2即即解解得得的的通通解解求求2)(yxy 例例4 4.0)()(通解通解求求 xdyxygydxxyf例例5 5通解通解求求xyxyxdxdy )(sin12例例6 6)2(2)36( 1312，作业作业 ex 齐次齐次非齐次非齐次00)()(xQyxPy齐次方程的通

14、解齐次方程的通解非齐次方程的通解非齐次方程的通解 常数变易法常数变易法为待定函数为待定函数设有解设有解)(,)()()(xcexcxydxxP dxxPcexy)()(dxxPydy)( 代代入入原原非非齐齐次次方方程程和和将将)()(xyxy )()()()()()( )()()(xQexcxPexPxcexcdxxPdxxPdxxP CdxexQxcexQxcdxxPdxxP )()()()(,)()( 积积分分即即)()()( dxexQCeydxxPdxxPcdxxPyln)(ln dxexQeCexydxxPdxxPdxxP )()()()()(=齐通齐通+特解特解1)2(,sin

15、yxyxy求求解解初初值值问问题题例例1 1解解)cos2(121)2(xxyCy 得得初初始始条条件件)cos(1)sin()(xCxdxexxCexyxdxxdx 2033,xyyyxydxx 求求导导依依题题解解663)3(22 xxCedxexCeyxdxdx通通解解60)0( Cy得得由由6)22(32 xxeyx)(.)(, 0,3xfSxfxx求求如如图图 例例2 2xyox3xy )(xfy S0)2(22 dyyxyxdxy解解方方程程例例3 3线线性性对对)(1)21()(2yxxyyyx ) 1()()(11122222121 yyyceyeceydyecexdyyydy

16、yy解解)34(7),1(2)238( 1412，作业作业 exny解法解法)()1 ()()1 ()1 (11xQnyxPnyynnn )()(1xyxzn 令令)1 , 0()()( nxQyxPy1 nB方方程程通通解解求求12 xyyy例例5 5)4(4222 dxxecezxzzxx解解得得有有12)4(2222 xcedxxeceyxxx解解)2(2222Cxxzyxzxdxdz 解解得得有有解解通通解解求求yxyxdxdy24 例例6 621 nB方方程程)1(1 yz令令yz 令令02)6(2 yyxy解解方方程程例例4 4)21()2(23333yCydyeyCexyxyxd

17、yydyy 得得解解)()()()(xQyfxPyyf 定义定义与与路路径径无无关关之之隐隐函函数数故故通通解解使使CyxuCyxuyxduQdyPdxyxuQPxy ),(.),(0),(),(解法解法xyQPQPdyyxQdxyxP 偏偏导导连连续续且且,0),(),(00),( dxdyQPdxdyuuxCyxuyx即即求求导导对对.0成成立立故故 QdyPdx xxyyyyxxdxyxPdyyxQdyyxQdxyxPyxu0000),(),(),(),(),()100或或)234( 1512 ex作业作业2) 直接凑直接凑全微分全微分)(ln )(lnxydyxxdyydxyxdyxx

18、dyydx )(arctan)(212222yxdyxxdyydxyxdydyxdx )()()(22xydxydxxdyyxdyxdyydxxydydxxdy 0)()(2 dyyxdxyx解解方方程程例例1 1方方程程为为全全微微分分方方程程 1xyQP解解确确定定的的隐隐函函数数是是方方程程的的由由cyxyx 2323解解1 123)(),(23002yxyxdyyxdxxyxuyx 0)23(232323 xyyxddxyydxd0)(2 xdyydxydydxx解解2 2成成为为全全微微分分使使一一般般若若0, 0),(, QdyPdxyxQPxy),(yx 有有时时可可观观察察得得

19、到到一一般般不不易易求求出出确确定定要要由由.,)()(xyQP 0 xdyydx解解方方程程例例2 2解解cxyxxdyydxcyxyxdyydx 0;022或或cyxxyxdyydxyxdxyyx ln0)(ln1),(0)2()2(22 dyyxxdxxyy解解方方程程0)()(2222 dyxdxyxydcyxxyyxdxyd 2222ln10)ln(ln)1(例例3 3解解 221yx0)22()(22 ydyxdxxyxdyydx个个任任意意常常数数的的表表达达式式含含有有次次。逐逐次次积积分分nyncxcdxdxxfycdxxfynn21)2(1)1()()( )()(xfyn

20、一一解法解法的的函函数数右右端端仅仅是是x), ,()1()( nnyyyxfy显显式式形形式式xxy sin)3(解解方方程程例例1122coscxxy 2136sincxcxxy 32214224coscxcxcxxy 解解 逐次积分逐次积分例例20)0(, 0)0(),1()( xxktAtx解解初初值值问问题题12)2()(ctktAtx 解解232)62()(ckttAtx 01 c)62()(32kttAtx 02 c的的特特解解求求3)0(, 1)0(, 2)1(2 yyxyyx例例3解解)0(122 PPxxPPy代代入入得得)1()1(lnln2121xcyxcP 即即积积分

21、分231)3(cxxcy 再再积积分分得得1, 321 cc代代初初始始条条件件得得1)3(33 xxy，令令Py 解解),() 4(xPy 令令PPx 代入原方程代入原方程xCyP1)4(120 解方程解方程542332514CxCxCxCxCy 次次得得再再积积分分.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy例例4),( 1cxyP 设设其其通通解解y右右端端不不含含为为一一阶阶方方程程代代入入方方程程得得),(PxfP 21),(cdxcxy )(yx,fy 二二解法解法)(xPy 令令的的微微分分方方程程为为代代入入方方程程)(),(yPPyfdydPP 进进而而有有设设其其解解为

22、为),(1cydxdyP 21),(cxcydy )(yy,fy 三三解法解法)()( xyPxyy 令令xyyydydPPyyxyPxy662333,3131323223 x右右端端不不含含dydPPdxdPy 有有中中间间变变量量作作为为将将)(xy)0(0122 yyyy的的通通解解求求例例5解解)()(xyyP 令令21211111cxcycxcy 进进而而有有212)1(12 ycdxdyPydyPdPP得得有有的的通通解解求求微微分分方方程程02 yyy例例6解解1)( yyP 令令2PdydPyP 有有xcecyycyPydyPdPP121., 0 进进而而有有得得有有当当20c

23、yP ，有有当当为任意为任意12,1cecyxc 通解通解ycyyydxdyyyyy1222, 0)(,1 故故两端同乘两端同乘解解2)25(2)10, 8 , 5( 1612，作业作业 ex 非非齐齐次次齐齐次次00)()()()1(1)(xfyxPyxPynnn的的函函数数均均是是和和自自由由项项系系数数函函数数均均是是一一次次的的关关于于特特征征xxfxPyyyin)()()2(, ,)1()(有很多实际问题中的方程是高阶线性微分方程有很多实际问题中的方程是高阶线性微分方程)2()1()(0)()( xfyxQyxPy二阶二阶 0)(,01 xykknniiii使使个个常常数数的的不不全

24、全为为0)(,01 xykkniiii才才使使时时全全为为只只有有有有定定义义在在设设函函数数组组Ixyxyxyn)(,),(),(21线性相关线性相关线性无关线性无关定义定义线性相关线性相关xx22cos,sin, 132, 1xxx线线性性无无关关齐次方程齐次方程的的通通解解是是方方程程则则线线性性无无关关和和若若的的解解也也是是则则的的解解是是和和设设)1()(,)()(.)1()(,)1()()(21221121xYxyxyyCyCxYxyxy 非齐次方程非齐次方程 yYxy非非齐齐特特解解对对应应齐齐通通通通解解)(通解。通解。为为包含两个任意常数包含两个任意常数相加相加为非次特解为

25、非次特解为齐次通解为齐次通解)2()()()()(,)()()(0)()(* yYyxfyYQyYxPyYxfyxQyxPyyYxQYxPYY证证非非齐齐次次方方程程 2xyy2sincos22212* xxcxcyxy通通解解验验证证例例1解解的的通通解解是是方方程程0sincos21 yyxcxcY riiirixykxyrnixy)()(,1),(使使线线性性相相关关的的情情形形关关注注2 n线性线性微分方程的微分方程的迭加原理迭加原理的解的解是是则则的解的解是是的解的解是是设设)()()()(,)()()(,)()()(21212211xfxfyxQyxPyyyxfyxQyxPyyxf

26、yxQyxPyy 的的解解是是方方程程的的两两特特解解之之差差方方程程)1()2(21 yy的的通通解解，求求方方程程的的一一特特解解已已知知齐齐次次方方程程)2()()1(1xy例例2 2解解为所求为所求3322311)()(yyyCyyC 的的通通解解求求的的解解线线性性无无关关且且都都是是方方程程设设)2(,)2()(),(),(321xyxyxyp299)()()(1xyxuxy 设设代入方程代入方程(2)()()()(2(111111xfuyxQyxPyuyxPyuy 待待定定)(xu6712 ex作业作业111)()(2yxfuxPyyu )(1)(12)(21 dxexfyCey

27、vdxxPdxxP解解得得,uv 令令dxvdxeyCCxudxxP *)(21211)(再再积积分分方程方程(2)通解通解dxvydxeyyCyCydxxP *1)(2112111的的通通解解求求非非齐齐次次方方程程xeyyyx 2例例3 3xeueuueuuuexxxx )(2)2(代代入入方方程程得得令令齐齐次次方方程程有有特特解解),(.xueyexx xxexececyxxxln21 通解通解xxxccuxuln,.121 积积分分两两次次得得即即解解齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解另一无关的齐解另一无关的齐解已知对应齐次方程通解已知对应齐次方程通解)()()(2211xyCxyCx

28、Y 设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为)()()()(2211xyxcxyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 0)()()()(2211 xcxyxcxy令令22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc (5)()()(,)()()(1221xwxfyxcxwxfyxc 解解得得(4),(5)联立方程组联立方程组 0)()()()()(,122121 xyxyxyxyxwyy线线性性无无

29、关关)()()()()(2211xfxcxyxcxy 有有.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy例例4解解为为齐齐次次方方程程的的解解和和xdxeeeedxxxxxx 121.21xeCxCY 相相应应齐齐次次方方程程通通解解xexcxxcy)()(21 设原方程的通解设原方程的通解应应满满足足方方程程组组代代入入原原方方程程得得)(),()(21xcxcxy 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx xxexcxc)(1)(21解解得得xexCxcxCxc )1()()(2211，xxeexCxxCy)1()(21 故故方方程程通通解解 dxxwxfyCxc)()

30、()(211 dxxwxfyCxc)()()(122方程通解为方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy积分得积分得0)(,2 qprreeyrxrx代代入入可可得得是是方方程程的的解解设设 0rxe02 qprr特征方程特征方程0 qyypy)4(210. 122, 1qppr 有有两两个个不不相相等等的的特特征征根根xrxreyey2121, 两两线线性性无无关关特特解解通解通解xrxreCeCy2121 cxuyyyeyxr )(,.12211设设另另一一特特解解有有一一特特解解代代入入方方程程并并化化简简，将将xrexuy1)(2 , 0)

31、()2(1211 uuqprrupru通解通解xrexCCy1)(21 xxu )(取取20. 221prr 有有两两个个相相等等的的特特征征根根线线性性无无关关xeyxeyxx sin,cos21通解通解)sincos(21xCxCeyx 是是方方程程的的解解)sin(cos)(2,1xixeeexxixr 也也是是方方程程的的解解)(21),(21212121xrxrxrxreeiyeey ir 2, 10. 3有有一一对对共共轭轭复复特特征征根根的的通通解解求求032 yyy例例1 1xxececyrrrr3212123, 1032 通通解解特特征征方方程程解解的的通通解解求求0222

32、yyyxexccyrrrr221212)(20222 通通解解特特征征方方程程例例2 2解解的的通通解解求求032 yyy)2sin2cos(,2121xcxceyirx 特特征征根根例例3 3解解)36(2)2458( 1812，作业作业 ex的的解解法法二二01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0)()()()(22 tsrrqprrbraraxkkkexCxCCar)()(1110 对对应应的的通通解解项项为为的的共共轭轭复复根根是是其其中中tsrri 2每个特征根都对应着通解中一项每个特征根都对应着通解中一项, 带有一个任意常数带有一个任意常数.通通解解求求052

33、)4( yyyirrrrr21, 0, 0)52(4,32, 122 特特征征根根特特征征方方程程的通解的通解求求022)3()4()5( yyyyyy1),(, 0) 1() 1(522 rirrr二二重重特特征征根根特特征征方方程程xecxxccxxccy 54321sin)(cos)(通通解解例例4 4解解例例5 5解解)2sin2cos()(4321xcxcexccyx 通通解解sin)(cos)()(111011102xxDxDDxxCxCCetsrrkkkkxk 对对应应项项为为)(xfqyypy ，通通解解求求一一特特解解 y*yYy )(,(次次多多项项式式实实数数mxPm 特

34、特解解时时可可以以用用待待定定系系数数法法求求和和当当)()(sin)(cos)()(xPexfxxPxxPexfmxnlx xnexQy )(*设设?,)( nxQnn系数待定系数待定次多项式次多项式)()(*xQxQeynnx )()(2)(2*xQxQxQeynnnx 型型一一)()(xPexfmx xmexfxPxf )()()(和和特特殊殊情情形形）（3)()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQmnnn0)12 qp)()(,xQxQmnmn 必必xmexQy )(*有有得得代代入入方方程程约约去去将将xeyyy , ,*)()(1)3(xxQxQmnmn 有有由由02)3

35、2 pqp02 , 0)22 pqp)()(2)3(2xQxxQmnmn 有有由由xmexQxy )(2*有有:综综合合)2 , 1 , 0()(* kkexQxyxmk重特征根重特征根是是xmexQxy )(*有有通通解解的的步步骤骤求求xmexPqpyy )()4*2,)(. 4)(), 1 , 0(,. 3)()()()( )2()()()(. 2. 1yYyexQxyxQmibxPxQqpxQpxQxQxxQYxmkmimmk 通通解解特特解解得得求求出出比比较较同同次次幂幂的的系系数数代代入入设设写写出出齐齐次次解解通通求求相相应应齐齐次次方方程程特特征征根根*21yxyy的的一一个

36、个特特解解求求 22122byxbby 12 xy1, 1, 0021 bbb比比较较对对应应项项系系数数0, 1)(2 xxPm不不是是根根而而特特征征根根特特征征方方程程0. 0, 012 irr12222102 xxbxbbb代代入入方方程程得得例例1 1解解2210 xbxbby 设设的通解的通解求求xxeyyy223 2)( xxPm)(2, 1023212单根单根特征根特征根特征方程特征方程 rrrr例例2 2解解xexxy22*)2( 1,2101 bb比比较较系系数数得得11022bQxbbQ xxbbb )2(2)3(101式得，式得，代入代入xxxexxececy22221

37、)2( 通通解解xxexQebxbxy2201)()( 设设xxeyyy42 求求例例3xxbbxbbxQbxxbxQ462)3(62)(32)( 1010120 得得，代代入入32010 bb比比较较系系数数得得32)(321xxexexccy 故故通通解解323*xexy 14)( xxPm解解xxexQexbbxy)()(102 设设)(1, 0122, 12二重根二重根特征根特征根特征方程特征方程 rrr特特解解形形式式 是是特特征征根根不不是是特特征征根根iik10,max nlm sin)(cos)(*xxRxxQexymmxk 型型二二sin)(cos)()(xxPxxPexfn

38、lx 0, 0sin)()()21, 0sincos)()1 lnnlPxxPxfPPxxxf：特特殊殊情情形形的的一一个个特特解解xeyyyxcos23 例例4sin2cos2sin)(cos)(00*0000*xbxdeyxbdxbdeyxx 2, 121 rr特特征征根根)sincos(00*xdxbeyx 设设解解 212101000000dbbdbdxxbdxbdcossin)(cos)(0000 代入方程得代入方程得)sincos(2*xxeyx 0)(, 1)(1 xPxPiinl的的通通解解求求xxyysin4 例例5代代入入原原方方程程)4()22(sin)4()22(cos

39、sin)2(cos)2(22*22*dxxcbadxbxxadcbxyxbxxadcxdxxcbay iiPxxPln 0,4)(irr 特特征征根根特特征征方方程程012sin)(cos)(*xdxcxbxaxy 令令解解xxbxadxxdxcbsin44)(2sincos4)(2 010044)(204)(2adbcbdxbxaddxcb再再比比较较比比较较xxxxysincos2* xxxxxcxcysincossincos221 通通解解的的通通解解求求1sin42 xxxyy例例6xxxxyxxyycossinsin4, 52*2 有有特特解解由由例例xxxxxxcxcycossin

40、1sincos2221 通通解解的的特特解解是是故故1sin4cossin1222*2*1* xxxyyxxxxxyyy11, 12*12 xyxyy有有特特解解由由例例解解6)10,148( 1912，作业作业 ex特特解解的的形形式式写写出出xexyyxsin3)4( 例例7irrrr 4,32,124, 00 特特征征根根特特征征方方程程)(2*1BAxxy xCey *2)sincos()(2*xExDxCeBAxxyx 解解)sincos(*3xExDxy 齐次方程齐次方程).(xyFdxdy 可分离可分离令令 xyu可化为齐次可化为齐次齐次齐次令令 kYyhXx)(/ )(ygxh

41、y dxxhdyyg)()(可分离变量可分离变量线性方程线性方程伯努利方程伯努利方程线线性性令令 nyz1)()(xQyxPdxdy )()()( dxexQceydxxPdxxPnyxQyxPdxdy)()( 111cybxacbyaxdxdy 0),( QdyPdxyxdu全微分方程全微分方程Cyxu ),(例例1.1cossin2sin) 1(sin222化化为为可可分分离离变变量量方方程程将将 xxxyxyy解解222)1sin(coscos)1(sin)1(sin2 xyxyxxyxyy21sinuuuxy 可可得得令令解解1例例2例例3解解的的通通解解。求求xyxyy2 齐次方程或

42、齐次方程或B方程方程xcxyxxcdxexcezxdxxdx 通通解解)1(22xxzzyz12, 令令xcuxdxuuduxyulnln)1ln(.2, 积积分分令令)()(sincossincosxcedxeeceyxxdxxxdx 的的通通解解求求xexyysincos 一阶线性方程一阶线性方程解解2的的特特解解，求求0)1(0)2( ydyyxedxeyy例例5)1 ()()2(22yeycedyeeycexyyyyy 解解1yyexx 21)0( x一阶线性方程一阶线性方程解解20)(22 yxedydyxdedxeyyy全微分方程全微分方程解解例例4B方程方程例例61)()(23

43、xyxxyxy解解B方程方程解解)()(313 cdxexeuxyxxuuxx1)( xyu令令23)()()(xyxxyxxy 的通解的通解求求)(sincossin2yxxxyy xCxCxdxxxy2222cscsin32)sincos2(csc xxyycos2cot)(2)(22 例例8的通解的通解求求yxxy 2解解22uuxy 有有uuuxu )(22方方程程化化为为Cyxxyx 23)(332通解通解22 xux222d232)2(uCudueCexuduuu xyxu 2令令例例7解解的通解的通解求求yxyyyysin2sincoscos yyxyx2sintan)( )co

44、s2(cos)2sin(coslncoslnyCydyyeCexyy x(y)一阶线性方程一阶线性方程)(, 2)0(),()()(,xffyfexfeyxfyxxy求求且且有有 例例9解解)0()(fexfx )()(1lim)()(lim)(00hhfexfhehxfhxfxfxhhh )2()(cxexfx 0)0( fxexcexfxxsin)sin()( 得得xexfxfQPxxycos)()( 即即解解.)()(cos)(. 0)0(,),()(路径无关路径无关使使求求且且导数连续导数连续在在设设 Lxdyxfdxxyfxyexffxf例例10例例11解解求曲线满足的微分方程求曲线

45、满足的微分方程的横坐标的横坐标截距等于切点截距等于切点其上各点切线在轴上的其上各点切线在轴上的曲线过曲线过.),1 , 1(1)1(, 1.)(),( yxyyxxyyxyyYyxXyyYyx初初始始条条件件故故有有依依题题意意有有轴轴上上截截距距切切线线方方程程设设曲曲线线上上动动点点升升求求容容器器内内所所含含盐盐量量出出盐盐水水管管抽抽分分从从升升同同时时以以管管放放入入净净水水分分从从升升现现以以升升升升盐盐水水含含盐盐)(./2,/3.10100txBA例例13AB)(,)(3)(400 xfdttfxdtttfxxx求求有有对对 例例12)( )(2,)(3)(0 xxfxfdtt

46、fxxfx 再再求求导导求求导导解解212)(lnln)(ln2)()(xcxfcxxfxdxxfxdf 积积分分252)100(10)100(100)(2ttcxttxdtdx 得得ttxNtNtxttt)23(100)()(2, 而而时时段段解解10)0( x0sec)1 (tan3. 12 ydyeydxexx二二3)1(tanlntanln)1ln(3 xxeyccye解解可分离变量可分离变量yxyxdydxln dyyuuuduuyx1ln 有有令令)1(ln)1(lnln)1ln(lnln yxcucycuy即即解解齐次方程齐次方程1212 xyyx解解) 1()()(121122

47、11222 yyydyyydyyyceyeceydyecex一阶线性方程一阶线性方程dyyydxeexxtansec132 0)ln(ln. 2 ydxdyyxx0)2(. 322 yyyxyx0)1(. 4 xdyydxxy21yyxdxdy )2(1)(1)(1211xcxxdxcxdxecezydxxdxx 11,1 zxdxdzyz令令解解1B方程方程02022 yxdxdyxdyydxxdx解解2yxyydydx1ln1 )ln21(ln1)ln(ln12ycydyyycy 解解)1(ln1ln1dyeycexdyyydyyy 一阶线性方程一阶线性方程0)ln(ln. 5 dyyxy

48、dxy齐齐次次方方程程可可分分离离变变量量线线性性方方程程贝贝努努利利方方程程齐齐次次方方程程全全微微分分方方程程0)32( . 60ln33. 50)2( . 40. 30)()( . 20)()(. 1222422222222 ydyxdxxyxxxyyxyyyyyxdxxyydxxdydyeedxeedyyxyxxdxyxyxyyyxxyx一一 判别类型判别类型0)ln(ln. 50)1(. 40)2(. 30)ln(ln. 20sec)1(tan3. 1222 dyyxydxyxdyydxxyyyyxyxydxdyyxxydyeydxexx二二 解方程解方程特特解解形形式式)(.3xP

49、eqpyymx )2 , 1 , 0()(* kkexQxyxmk重特征根重特征根是是,max nlm 特特解解形形式式sin)(cos)(. 4xxPxxPeqpyynlx 2211ycycY *yYy 02 qprr特特征征方方程程0. 2 qyypy)sincos()(212121121xCxCeYexCCYeCeCYxxrxrxr irrrrr2,12121特特征征根根通解通解)()()(0)()(. 1xfyxQyxPyyxQyxPy )1 , 0( kki重特征根重特征根是是通解通解sin)(cos)(*xxRxxQexymmxk xxxxxxxxexxfxeeyxfyyyrrrr

50、eyeyyeyyyeeyyy)21()()(2 020)2)(1(2,22,2*122221*3*222*3*11 代代入入有有为为其其特特解解。且且方方程程即即特特征征方方程程为为相相应应齐齐次次二二无无关关解解为为齐齐次次的的解解048 5 204852)2)(2()1()4(2342 yyyyyrrrririrr所所求求齐齐次次线线性性方方程程irxyxy22sin,2cos24,343 知知，由由特特解解)(1,2,121二二重重根根知知由由特特解解 rxeyeyxx为为解解的的二二阶阶方方程程。求求以以xxxxxxexeexeexe ,2例例2解解解解性性齐齐次次微微分分方方程程。为

51、为特特解解的的四四阶阶常常系系数数线线例例1xyxyxeyeyxx2sin,2cos2,4321 确确定定以以212323cecxxxyx xxxecxxcdxexePy 121222)(令令xeccY 12齐齐次次通通解解2131 CBA，代代入入原原方方程程得得)(102*CBxAxxyr 重重特特征征根根，设设是是例例4的的通通解解。求求2xyy 解解1解解2，求求其其满满足足的的微微分分方方程程已已知知函函数数221xcxcy 例例3解解对对应应方方程程为为二二阶阶2212 ,2cyxccy , 2 21212xyyxcycyc 为为所所求求022 2 yxyyx2 21) (xyxx

52、yyy 代代入入通通解解表表达达式式可可得得：xeCeCyxx2cos51121 xBxAyi2sin2cos.202*2 设设不不是是特特征征根根）（1.01*1*1 yDy设设不不是是特特征征根根）（. 1, 012,12 rr特特征征根根为为特特征征方方程程5/2cos, 0512cos*2xyBAxyy ，得得代代入入例例5xyy2sin2 求求解解解解)()(2cos121xfxfx 例例6 6的的通通解解求求xeyyxcos 解解xCxCYsincos21 齐齐次次通通解解xxyeyxsin21,2*2*1 非非齐齐特特解解xxexCxCyxsin212sincos21 )(yPy

53、 令令yCPyPdydPP122121 解得解得2111121CxyCCyCdxdy 通解通解.)(),(2和和方方程程通通解解，求求方方程程有有一一特特解解xfxpx例例7 7，对应齐次，对应齐次有一特解有一特解设设xxfyxpy1)()( .x方程不显含方程不显含21.2yyy 求求通通解解例例8解解解解 得得33)(xxf 331xyxy 11,422221取取由由降降阶阶法法 CdxexxCyxyxdx.1221xxCCy 通通解解)()(1223xfxpxx 0)(22 xxpxxp1)( ，为为齐齐次次两两无无关关解解xyx1, 1*2 2212PxPxPPy 有有令令2112xu

54、xuPu 有有令令2112221)1(1xxccdxxxxuP xccxxcccdxxcxy 121212212ln2解解例例9的的通通解解。求求yxyyx 222y不不显显含含)(,)()(sin)(,)(0 xfdttftxxxfxfx求求满足满足连续连续 例例10解解dttfxxfx 0)(cos)(求导，求导，xxfxfsin)()( 再再求求导导， 1)0(0)0(ff且且有有xxxcxcxfcos21sincos)(21 通通解解121) 0(, 0) 0(21 cfcfxxxxfcos21sin21)( 023 rffrff rrfuuuzzyyxx)(),(3232ff rrz

55、rfuff rryrfuzzyy )(32ff rrxrfuxx rfxrxrfux )(222121221),()(,)(zyxcczyxurccrfrcrf ),(,)(, 0)(),(222zyxurfzyxruuurfzyxuzzyyxx求求二二阶阶导导数数连连续续其其中中满满足足已已知知 例例11解解)()(,2)0(0)0(),(2)(),()(xgxfgfxfexgxgxfx求求设设 例例12解解xxexcxcxfxfexgxf sincos)()(2)()(21xexxxfff sincos)(2)0(, 0)0(又又xexxxg sincos)(的的和和函函数数求求! )3(

56、)230nxnn 例例13解解(02考研考研)xnneyyynxxy 满满足足方方程程验验证证函函数数! )3()()130 xxxexCxCeyyyeyyy31)23sin23cos(0)0(, 1)0()2212 通通解解解解)(3123cos32! )3(203 xexenxxxnn0,32,21 CC代代入入初初始始条条件件xnnenx 0! 03013023! )3(! )13(! )23()1nnnnnnnxnxnxyyyxxyy2coscos. 3 xxcos213cos21 xxbxaxbxa3cos21sin3cos3sin93cos9 解解xcxcYirrsincos01212 xyab3cos161161,