物理—振动与波动

1、第四章物体在一定的位置附近作来回往复的运动。物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动：机械振动：振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化周期性的变化。波动：波动：振动状态在空间的传播。振动状态在空间的传播。1、 物体的来回往物体的来回往复运动（弹簧振子、复运动（弹簧振子、单摆等）单摆等）2、电流、电压的、电流、电压的周期性变化周期性变化机械振动的原因：机械振动的原因： 物体所受的物体所受的回复力回复力和物体所具有的和物体所具有的惯性惯性 可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为

2、简谐振动简谐振动。一般机械振动（曲线）一般机械振动（曲线） 分解分解 直线振动直线振动 付里叶级数展开付里叶级数展开 简谐振动简谐振动4-1-1 简谐运动的基本特征 位移与时间的关系位移与时间的关系： 凡质点的运动遵从余弦（或正弦）凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其规律时，其运动形式为运动形式为简谐振动简谐振动。)cos(tAy动力学描述动力学描述 物体（质点）在弹性力（符合虎克定律物体（质点）在弹性力（符合虎克定律F = - kx）或准弹性力（与弹性力性质相似的力）的作用下的振动。或准弹性力（与弹性力性质相似的力）的作用下的振动。即力的大小总是与质点位移成正比，方向与位移相反。即力的

3、大小总是与质点位移成正比，方向与位移相反。makxfxmka运动学描述运动学描述 物体的加速度的大小总是与位移成正比，方向物体的加速度的大小总是与位移成正比，方向与位移相反。（总是指向平衡位置）与位移相反。（总是指向平衡位置）运动方程及解运动方程及解kxxm 0 xmkx mk202xx 令：令：简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程微分方程的解：微分方程的解： A、 为积分常数，由初始条件确定。为积分常数，由初始条件确定。tAxcosxo1. 弹簧振子：弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统。振动系统。Fx根据胡可定律：根据胡可定律：（k为为劲劲度系

4、数）度系数）xkF（1 1） 在弹性限度内，弹性力在弹性限度内，弹性力F 和位移和位移x 成正比。成正比。（2 2） 弹性力弹性力F F和位移和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终指向平衡位置。由牛顿第一定律：由牛顿第一定律：xkdtxdmF22xmkdtxd22得:令mkxdtxd222 （1）弹簧振子的振动为弹簧振子的振动为简谐振动简谐振动 。 （2）周期：周期：角频率：角频率：（3）弹簧振子的振动频率和周期仅与振子弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（本身的性质（k和和m）有关，而与其它因素无）有关，而与其它因素无关。关。固有频率：固有频率： 振动频率只取决于谐振系统本身

5、的振动频率只取决于谐振系统本身的各个参量，而与其它因素无关。各个参量，而与其它因素无关。Ol mgT22ddsintsmmgls 很小又22ddsintmlmg2 2、单摆、单摆 sinlgt22dd 单摆的振动是单摆的振动是简谐振动简谐振动 。lgglT20dd22lgttcos00（1） 为振动角位移，不是相位。为振动角位移，不是相位。 为振幅。为振幅。（2） 、T与与m无关，但无关，但T与与l成正比、与成正比、与g成反比。成反比。tAxcos简谐运动表达式：简谐运动表达式：简谐运动：简谐运动：物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。xkFxdtxd222tAx

6、cos简谐运动的三项基本特征：简谐运动的三项基本特征： 归纳简谐运动的速度：简谐运动的速度：简谐运动的加速度：简谐运动的加速度：)cos()cos(2tatAdtdvamOTAtxax,vAAavOA24-1-2 描述简谐运动的物理量 tAxcosA ：振幅振幅 ，（最大位移，（最大位移，x =A ） 变量变量 x离离平衡位置的最平衡位置的最大位移量的绝大位移量的绝对值。对值。 周期周期 T：完成一次全振动所经历的时间完成一次全振动所经历的时间。 ：角频率角频率 ， （圆频率）（圆频率）2频率频率 ：单位时间内完成全振动的次数单位时间内完成全振动的次数。T2TtAtAcoscosTttcosc

7、os2,2TT余弦函数的周期为余弦函数的周期为21T2弹簧振子的频率弹簧振子的频率: mk21弹簧振子的周期弹簧振子的周期: kmT22结论：结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（质（k 和和 m）有关，而与其它因素无关。）有关，而与其它因素无关。 由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为期称为固有频率固有频率和和固有周期固有周期。 ：振动的：振动的“初相位初相位 ”。（ t + ) ：振动的：振动的“相位相位 ”。决定了谐振动的运动状态决定了谐振动的运动状态 t = 0时的相位时的相位 称为称为

8、速度幅速度幅。 速度相位比位移相位超前速度相位比位移相位超前 /2/2。Avm)cos()cos(2tatAdtdvam 称为称为加速度幅加速度幅。 加速度与位移反相位。加速度与位移反相位。Aam2比较：比较：tAacos2tAxcos结论结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒作简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反成正比，而方向相反。 xa2即xdtxd2224-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法 旋转矢量旋转矢量A在在 x 轴上轴上的投影点的投影点 M 的运动规律：的运动规律：)cos(tAx结论：结论： 投影点投影点M的运的运动为简谐振动。动为简谐振动。yxotAPM 旋转矢

9、量旋转矢量A旋转一周，旋转一周，M点完成一次全振动。点完成一次全振动。 旋转矢量的模旋转矢量的模A：振幅振幅 旋转矢量旋转矢量A的角速度的角速度 ：角频率角频率 t = 0 时，时， A与与x 轴轴的夹角的夹角 ：初相位初相位。 旋转矢量旋转矢量A与与 x 轴轴的的夹角夹角( t+ )： 相位相位2T周期：周期：必须是逆时必须是逆时针方向旋转针方向旋转（1）曲线反映的是质）曲线反映的是质点的振动情况。一个点的振动情况。一个质点的运动方向（速质点的运动方向（速度方向）如图。峰值度方向）如图。峰值v = 0，其余点看后。，其余点看后。（2）图上反映出周期）图上反映出周期T、振幅、振幅A、初位相、初

10、位相、位相。位相。（3）时间与位移的关系：）时间与位移的关系：tAxcos如质点从平衡点如质点从平衡点到峰值点所需时间到峰值点所需时间t；位相差与时间的关系：位相差与时间的关系：t以上的讨论在单位圆上较为方便。以上的讨论在单位圆上较为方便。x（4）质点的受力方向及加速度的方向）质点的受力方向及加速度的方向f = - kx 质点受力质点受力f方向与位移方向相反；加速度方向与位移方向相反；加速度a的方向与的方向与f 相同。相同。（5）质点的动能及势能的最大点和最小点位置。）质点的动能及势能的最大点和最小点位置。动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能

11、的最大点在峰值位置，最小点在平衡位置。大点在峰值位置，最小点在平衡位置。x解题方法由初始条件求解振幅和初相位：设 t = 0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo2020vxAcosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxooooxvtg 不唯一不唯一具体分析：具体分析：0, 000vx在第四象限0, 000vx在第一象限0, 000vx0, 000vx在第三象限cosAxosinAvoy或者直接从矢量图上分析。或者直接从矢量图上分析。 定后，定后，可能处在二个象限可能处在二个象限之之一，再利用一，再利用 的方

12、向的方向0 x0v0, 000vv还是最后定出的最后定出的 象限。象限。tAxcoscosAkA coskkAx 0（2）若已知）若已知t = 0时，时，k为常数，则再已知质点的为常数，则再已知质点的运动方向即可得运动方向即可得有二个值，从矢量图上，利用有二个值，从矢量图上，利用v的方向可定出的方向可定出 。总之，不管怎样，只要知道初始条件，即可利用方程（一总之，不管怎样，只要知道初始条件，即可利用方程（一般为位移方程和速度方程）来求得积分常数般为位移方程和速度方程）来求得积分常数A、 。ttvy ,AvmaxAa2max（3）有时，已知的不是）有时，已知的不是t = 0时的时的x、v，同样可

13、以利用位移，同样可以利用位移方程，速度方程、加速度方程求方程，速度方程、加速度方程求A， 。如已知。如已知t时刻的时刻的 等。特别要注意利用等。特别要注意利用 、 一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为，周期为2s。当。当t = 0时时, , 位移为位移为6 cm，且向，且向x 轴正方向运动。求轴正方向运动。求1 1、振动方程。振动方程。2 2、t = 0.5 s时，质点的位置、速度和加速度。时，质点的位置、速度和加速度。3 3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向，且向 x 轴负方向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要

14、的时间。运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐振动表达式为设简谐振动表达式为已知：已知：A =12 cm , T = 2 s ，12sT初始条件：初始条件：t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0)(costAxtxcos12. 00.06 =0.12 cos 3cos210sin0Av0sin3振动方程： )3cos(12.0txyx3315 . 05 . 05 . 0189. 0)3sin(12. 0smtdtdxvttt25 . 025 . 05 . 0103. 0)3cos(12. 0smtdtdvattt设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m)3(

15、cos12. 006. 01t代入振动方程：21)3(cos1t343231或tstt132311x3234stt61123322sttt651611126565653223tt用用旋旋转转矢矢量量解解x322/3例例2 2 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点当质点1 1在在 x1= A/2 处，处，且向左运动时，另一个质点且向左运动时，另一个质点2在在 x 2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位处，且向右运动。求这两个质点的相位差。差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin1t0)(sin11tAv3

16、1tA-AoA/2/2- -A/2/2322t)cos(22tAA0)(sin22tAv322t)()(21tt)32(3A-AoA/2/2- -A/2/20sintx用旋转矢量解用旋转矢量解例例3 3 一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到长到 x0 = 0.04 m 处释放，试求：处释放，试求：1 1、 简谐振动方程；简谐振动方程；2 2、 物体从初始位置运动到第一次经过物体从初始位置运动到第一次经过A/2A/2处时的速度。处时的速度。svmx0.6

17、,0,04.000mxvxA04.00202020振幅：mtx)0.6(cos04.0得：000 xvarctg解：AxttAxarccos)cos()3(sin0.604.0sintAv)35(321arccos2arccos或AAt3,2:tAxAx按题意1208.0sm先求位相先求位相3t)3(sin0 . 604. 0sintAv1208. 0sm用用矢矢量量圆圆解解2:AxAx按题意51226523cos403cos42T例例4：一简谐振动曲线如图所示，则振动周期一简谐振动曲线如图所示，则振动周期x（m）t（s）421（A）2.62 s（B）2.40 s（C）0.42 s（D）0.3

18、82 sKey：B质量为质量为m的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已的液体中。已知比重计圆管的直径为知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：解：取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0 Fmg浮力：浮力： VgF其中其中V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积0mgF2222dtxdmgxdVmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgVgmg0 xxmgd2gmdT42例题例题6 6 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为证明图示系统的振

19、动为简谐振动。其频率为mkkkk21212121212121111kkkkfkfkffffxxx21212121212122kkkkmTkkmkkmkkkkkkmkkkk212121是否为简谐振动，振动周期怎样计算是否为简谐振动，振动周期怎样计算mXFO例例7 7：如图有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数如图有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k k=24N/m=24N/m，重物，重物的质量的质量m m= 6 kg= 6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F F=10 N=10 N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运向左作用于物体（不计摩擦），

20、使之由平衡位置向左运动了动了0.05m0.05m，此时撤去力，此时撤去力F F。当重物运动到左方最远位置时开始。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。计时，求物体的运动方程。)(204. 02405. 01022212121222mkFSAkAkSmvFS解：AyttAy0)cos(12624smk)(). 2cos(204. 0SIty 例例8. 一劲度系数为一劲度系数为 k 的轻弹簧，在水平面作振幅为的轻弹簧，在水平面作振幅为 A 的谐振动时，有一粘土（质量为的谐振动时，有一粘土（质量为 m ，从高度，从高度 h 自自由下落），正好落在弹簧所系的质量为由下落），正好落在弹簧

21、所系的质量为 M 的物体上，的物体上，求（求（1）振动周期有何变化？（）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？）振幅有何变化？设（设（a）粘土是在物体通过平衡位置时落在其上的；）粘土是在物体通过平衡位置时落在其上的；（b）粘土是当物体在最大位移处落在其上的。）粘土是当物体在最大位移处落在其上的。kMmh解：解：（1）下落前下落前kMT22下落后下落后TkmMT22（2 2）（）（a a）在平衡位置落下）在平衡位置落下下落前：下落前：A，v222121vMkA 下落后：下落后：v，A222121vmMAk由机械能守恒：由机械能守恒：水平方向动量守恒：水平方向动量守恒：vvmMM得得AAmMMA（

22、b）在最大位移处落下）在最大位移处落下下落前：下落前：A，v = 0下落后：下落后：0v，A所以振幅不变：所以振幅不变：AA4-1-4 简谐运动的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xxovtxEkEtpEOO谐振系统的总机械能：pkEEE)(costAxtAmEk222sin21tkAEp22cos21km22222212121mmvAmkAE（1 1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2 2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。率的两倍。（3 3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）成正比。（适合于任何谐振系统）结论结论： 位移最大，势能最大，但动能最小。在振位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲线的峰值。动曲线的峰值。 位移为位移为0 0，势能为，势能为0 0，但动能最大。在振动，但动能最大。在振动曲线的平衡位置曲线的平衡位置。kEEpExOpEAA2p21kxE 弹性势能弹性势能pkEEE平均值的计