排列组合的解题常用策略

1、解解排列组合排列组合的问题一般的思考过程如下：的问题一般的思考过程如下：元素放进位置元素放进位置(1)(1)弄清楚要做什么事弄清楚要做什么事. .(2)(2)怎么做才能完要做的事怎么做才能完要做的事.(.(熟悉两个计数原理熟悉两个计数原理) )即采取即采取分步分步还是还是分类分类，或，或分步分类分步分类同时进行。同时进行。(3)(3)确定确定每一类每一类或或每一步每一步是是有序（排列）有序（排列）还是还是无无序（组合）序（组合）问题。问题。元素元素总数多少，取多少个总数多少，取多少个元元素素。(4)(4)掌握一些常用的解题策略。掌握一些常用的解题策略。常用的解题策略常用的解题策略（1）特殊元素

2、，特殊位置优先处理策略）特殊元素，特殊位置优先处理策略（2）相邻元素，捆绑策略）相邻元素，捆绑策略（3）不相邻元素，插空策略）不相邻元素，插空策略（4）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略（5）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略（6）排列组合混合问题，先选后排策略）排列组合混合问题，先选后排策略（7）元素相同，隔板策略）元素相同，隔板策略（8）多类元素，分类，分步策略）多类元素，分类，分步策略（9）平均分组，除法策略）平均分组，除法策略（11）正难则反，总体淘汰策略）正难则反，总体淘汰策略（10）树形

3、图策略）树形图策略（1）特殊元素，特殊位置优先处理策略）特殊元素，特殊位置优先处理策略例例1：由：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字五位奇数五位奇数.解解: :由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求, ,应该优先安排应该优先安排, ,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置. . C14A34C1313C第一步：排末位，共有第一步：排末位，共有1，3,5三个选一个三个选一个14C 第二步：排首位，共有第二步：排首位，共有 除了除了0和末位选择的一个数字外，剩余和末位选择的一个数字外，剩余4个数字个数字34A 第三步：排

4、其它位置共有第三步：排其它位置共有 其余的四个数字没限制，全排列其余的四个数字没限制，全排列由分步计数原理得由分步计数原理得113434288C C A 策略说明：策略说明：位置分析法位置分析法和和元素分析法元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, ,1 1）若以）若以元素分析元素分析为主为主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .2 2）若以）若以位置分析位置分析为主为主, ,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求, ,再处理其它位置。再处理其它位置。3 3）若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条

5、件的同时还要兼顾其它条件）若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件4）在同一题里，是选择）在同一题里，是选择元素分析，元素分析，还是还是位置分析，位置分析，可以根据题目中的可以根据题目中的特殊元素特殊元素，特特殊位置殊位置个数较少的来选择。个数较少的来选择。练习题练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？2545A A元素分析元素分析3454A A位置分析位置分析（2）相邻元素，捆绑策略）相邻元素，捆绑策略例例2：7

6、人站成一排人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种共有多少种 不同的排法不同的排法.解：可先将解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素复合元素， 同时同时丙丁也看成一个丙丁也看成一个复合元素复合元素，再与其它元素进行排列再与其它元素进行排列， 同时同时对相邻元素内部进行自排对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法。种不同的排法。乙乙甲甲丁丁丙丙策略说明策略说明要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题可以用捆

7、绑法来解决问题.即将需要相邻的元素即将需要相邻的元素合并为一个元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时要同时要注意注意合并元素合并元素内部也必须排列内部也必须排列.练习题练习题:某人射击某人射击8枪，命中枪，命中4枪，枪，4枪命中恰好有枪命中恰好有3枪连在一起的枪连在一起的情形的不同种数为情形的不同种数为 20 （先思考，再看解析）（先思考，再看解析）解：四抢命中，即有四枪不命中。可以把不命中的四枪排开，则有解：四抢命中，即有四枪不命中。可以把不命中的四枪排开，则有5 5个空隙，个空隙， 3枪连在一起，看成一个元素，与另外一枪（看成另一元素），安排放进枪连在一起，

8、看成一个元素，与另外一枪（看成另一元素），安排放进5个空隙中。个空隙中。2520C本题，既有本题，既有捆绑捆绑，也有，也有插空。插空。（3）不相邻元素，插空策略）不相邻元素，插空策略例例3：一个晚会的节目有：一个晚会的节目有4个舞蹈个舞蹈,2个相声个相声,3个独唱个独唱,舞蹈节目不能舞蹈节目不能连续出场连续出场,则节目的出场顺序有多少种？则节目的出场顺序有多少种？55A第一步排第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共有个独唱共有 （第一步跟顺序有关，排列问题）（第一步跟顺序有关，排列问题）5456A A由分步计数原理由分步计数原理, ,节目的不同顺序共有节目的不同顺序共有解解:分两步进行分

9、两步进行46A第二步将第二步将4舞蹈插入第一步排好的舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共个元素中间包含首尾两个空位共有有 （第二步依旧与顺序有关，排列问题）（第二步依旧与顺序有关，排列问题）策略说明策略说明元素不相邻问题元素不相邻问题可可先先把没有位置要求的元素进行排队，把没有位置要求的元素进行排队，再再把不相邻元素插入中间把不相邻元素插入中间和两端。和两端。练习题练习题1：某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新

10、节目不相邻，那么不同插法的种数为（且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ） 26A练习题练习题2 2：马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯的九只路灯, ,现要现要关掉其中的关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关掉相邻的但不能关掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？35C解：解：把此问题当作在把此问题当作在6盏亮灯的盏亮灯的5个空隙中插入个空隙中插入3个不亮的灯有个不亮的灯有（4）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略

11、）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略例例4：7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法。人顺序一定共有多少不同的排法。解解:(:(倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列问题对于某几个元素顺序一定的排列问题, ,可可先先把这几个元素与其他元素一起进行排列把这几个元素与其他元素一起进行排列, ,然后然后用总排列数除以用总排列数除以这几个元素之间的全排列数这几个元素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数是：则共有不同排法种数是：7373/AA47A47A( (空位法空位法) )设想有设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种

12、方法，其余的三个位置甲乙丙共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 1种坐法，则共有种坐法，则共有种方法。种方法。（插入法（插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,7个位置选择个位置选择3（无序组合问题）有（无序组合问题）有 ， 因为定序，共有因为定序，共有1种排法种排法,再把其余再把其余4四人依次插入共有四人依次插入共有 37C34741CA 练习题练习题:10人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5人人,要求从左至右要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？身高逐渐增加，共有多少排法？510C（5）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略）允许重复的排列问题，以元

13、素为对象，求幂策略例例5：把：把6名实习生分配到名实习生分配到7个车间实习个车间实习,共有多少种不同的分法共有多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配到车间有把第一名实习生分配到车间有 7 7 种分法种分法. .把第二名实习生分配到车间也有把第二名实习生分配到车间也有 7 种分种分法法依此类推依此类推, ,由分步计数原理共有由分步计数原理共有67策略说明策略说明允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地一般

14、地n不同的元素没有限制地安排在不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为nm练习题：练习题： 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们到各自的一层下电梯他们到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法872.某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为那么不同插法的种数为 42 （6）排列组合混合问题，先选后排策略）排列组合混合问题，先选后排策略例例6：有：有5

15、个不同的小球个不同的小球,装入装入4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法共有多少不同的装法.25C解解: :第一步第一步从从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成个组成一个一个复合元素复合元素共有共有44A第二步第二步把把4 4个元素个元素( (包含一个复合元素包含一个复合元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有2454C A根据根据分步计数原理分步计数原理装球的方法共有装球的方法共有策略说明策略说明解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排先选后排是最基本的指导思想是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗此法与相邻元素捆

16、绑策略相似吗? 练习题练习题1：一个班有一个班有6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1人现从中选人现从中选4人完成人完成四种不同的任务四种不同的任务,每人完成一种任务每人完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1人参加人参加,则不同的选法有则不同的选法有 种种练习题练习题2：有有6名男医生，名男医生，4名女医生，从中选出名女医生，从中选出3名男医生，名男医生，2名女医生到名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区地区A，则共有多少种不同的分派方法？，则共有多少种不同的分派方法？（7）元素相同元素相同，隔板策略，隔板策略

17、例例7：有有10个远动员名额，分给个远动员名额，分给7个班，每班至少一个，个班，每班至少一个，有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：解：因为因为1010个名额没有差别个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间，把它们排成一排。相邻名额之间 形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把 名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对 应一种分法共有应一种分法共有69C一一班班二二班班三三班班四四班班五五班班六六班班七七班班策略说明：策略说明：元素相同元素相同时，才使用时，才使用隔板法隔板法（与（与插入法

18、插入法区分）区分）将将n个相同的元素分成个相同的元素分成m份（份（n，m为正整数）为正整数）,每份至少一个元每份至少一个元素素,可以用可以用m-1块隔板，插入块隔板，插入n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1个空隙中，个空隙中，所有分法数为所有分法数为11mnC练习练习1：有有10个相同的小球，装入个相同的小球，装入4个盒内，每个盒子个盒内，每个盒子至少有一个球，共有多少种不同的装法？至少有一个球，共有多少种不同的装法？59C59126C 1234666623126CCCC 2615C （8）多类元素，分类，分步策略）多类元素，分类，分步策略例例8：在一次演唱会上共在一次演唱会上共10名演员

19、名演员,其中其中8人能能唱歌人能能唱歌,5人会跳舞人会跳舞,现要演出一个现要演出一个2人唱歌人唱歌2人伴舞的节目人伴舞的节目,有多少选派方法。有多少选派方法。230235CCC第一类：只会唱的第一类：只会唱的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有131245CCC第二类：只会唱的第二类：只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人员人选上唱歌人员5252C C第三类：只会唱的第三类：只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人选上唱歌人员有人选上唱歌人员有22112223353455C CC C CC C由分类计数原理共有由分类计数原理共有解：解：10演员中有演员中有5人只会

20、唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞3人为全能演员。人为全能演员。以以选上唱歌人员选上唱歌人员为为标准标准进行研究进行研究*以以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准本题还有如下分类标准本题还有如下分类标准：例例9. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有现有100件产品，其中件产品，其中3件次品，件次品，97件正品件正品.要抽出要抽出5件件进行检查，根据下进行检

21、查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.100个元素选个元素选5个个元素构成元素构成正品正品（97）次品次品（3）第一类第一类50第二类第二类41第三类第三类32第四类第四类23或或解答：解答：5100C（1 1）50973C C（2 2）23973CC（3 3）5510097CC（4 4）413223973973973CCCCCC（5 5）5041329739739

22、73CCCCCC23973CC（6 6）策略说明策略说明解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人参加某个座谈会，人参加某个座谈会，若这若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 练习题：练习题：（9）平均分组，除法策略）

23、平均分组，除法策略例例1010. 6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有多少分法？本共有多少分法？222642C C C222642C C C解解: : 分三步取书得分三步取书得种方法种方法,但这里出现重复计数的现象但这里出现重复计数的现象33A22236423/C C CA不妨记不妨记6 6本书为本书为ABCDEFABCDEF，若第一步取，若第一步取AB,AB,第二步取第二步取CD,CD,第三步取第三步取EFEF该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),(AB,CD,EF),则则 中还有中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD

24、,AB),(EF,AB,CD)(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有故共有故共有种分法。种分法。种取法种取法 ,而这些分法仅是而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,平均分组，除法策略平均分组，除法策略平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一种情况都是一种情况,所以分组所以分组后要一定要除以后要一定要除以 ( 为均分的组数为均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。nnAn544213842/C C CA2224262290C CAA3.103.10名学生分成名学生分成3 3组组

25、, ,其中一组其中一组4 4人人, , 另两组另两组3 3人但正副班长不能分人但正副班长不能分在同一组在同一组, ,有多少种不同的分组方法有多少种不同的分组方法 （15401540）练习题：练习题：1 1、将、将1313个球队分成个球队分成3 3组组, ,一组一组5 5个队个队, ,其它两组其它两组4 4个队个队, , 有多少分法？有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_4332334311063863

26、8412222-C C CC C CC C CAA（11）正难则反，总体淘汰策略）正难则反，总体淘汰策略有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简而它的反面往往比较简捷捷,可以可以先先求出它的反面求出它的反面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.具体做法：一）把题目中的限制条件去掉，求出整体；二）把限制具体做法：一）把题目中的限制条件去掉，求出整体；二）把限制条件改为反面，求出反面；三）整体减去反面。条件改为反面，求出反面；三）整体减去反面。正难则反，总体淘汰策略正难则反，总体淘汰策略 在思想上，与补集，命题的否定，反证在思想上，与补集，命题的否

27、定，反证法的假设，对立事件是一致的。法的假设，对立事件是一致的。例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为这十个数字中取出三个数，使其和为不小于不小于10的偶数的偶数,不同的取法有多少种？不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难的偶数很困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶数的取法有个偶数的取法有35C, , 这十个数字中有这十个数字中有5个偶数个偶数5个奇数个奇数,只含有只含有1 1个偶数的取法有个偶数的取法有1255C C,和为偶数的取法共有和为偶数的取

28、法共有 ,123555C CC再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共9种，种， 1235559C CC则则练习题：练习题：我们班里有我们班里有43位同学位同学,从中任抽从中任抽5人人,正、副班长、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?（12）树形图策略）树形图策略3 3人相互传球人相互传球, ,由甲开始发球由甲开始发球, ,并作为第一次传球并作为第一次传球, ,经过经过5 5次次传求后传求后,球仍回到甲的手中球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有则不同的传球方式有_ 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，对于条件比较复杂的排

29、列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果树图会收到意想不到的结果101.同一寝室同一寝室4人人,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)44Nii号人不坐号人不坐（54321,i 2.2.分别编有分别编有1 1，2 2，3 3，4 4，5 5号码的人与椅，其中号码的人与椅，其中）的不同坐法有多少种？）的不同坐法有多少种？号椅号椅全错位排列全错位排列概率问题概率问题古典概形古典概形AP(A)=事件 所含的基本事件个数所有基本事件的个

30、数几何概形几何概形AP(A)=事件 所在的区域的长度，面积，体积，角度所有区域的长度，面积，体积，角度基本事件：基本事件：和事件（并事件）：和事件（并事件）：积事件（交事件）：积事件（交事件）：互斥事件：互斥事件：对立事件：对立事件：（1）求概率就是求两个排列组合数之比。）求概率就是求两个排列组合数之比。P=满足约束条件下的方法数（情况数）所有的方法数（情况数）（2）概率问题同样适用）概率问题同样适用“分类加，分步乘分类加，分步乘”的运算法则。的运算法则。计数原理的应用计数原理的应用-概率问题概率问题单独概率单独概率=满足条件的情况数所有的情况数某条件成立的概率某条件成立的概率=1-该条件不成

31、立的概率该条件不成立的概率 （对立事件）（对立事件）总体概率总体概率=满足条件的各类情况概率之满足条件的各类情况概率之和和（和事件）（和事件）总体概率总体概率=满足条件的各步情况概率之满足条件的各步情况概率之积积（积事件）（积事件）例例13:学校要从学校要从30名候选人中选名候选人中选10名组成学生会，其中名组成学生会，其中求该班恰有求该班恰有2名同学被选到的概率。名同学被选到的概率。求该班至少有求该班至少有2名同学被选到的概率。名同学被选到的概率。某个班有某个班有4名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。284262030C CP=C2030C所有的情况数28426C C满足条件的情况数（单独概率：（单独概率：；）例例13:学校要从学校要从30名候选人中选名候选人中选10名组成学生会，其中名组成学生会，其中求该班至少有求该班至少有2名同学被选到的概率。名同学被选到的概率。某个班有某个班有4名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。法一：法一： 28314028314042642