平行关系的性质

1、第一章 立体几何初步5平行平行关系关系理解教材新知应用创新演练知识点一5.2平平行行关关系系的的性性质质把握热点考向考点一考点二知识点二考点三 问题问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内所有直线平行吗？线是否与这个平面内所有直线平行吗？ 提示：提示：不一定，直线与平面内的直线平行或异面不一定，直线与平面内的直线平行或异面 问题问题2：教室日光灯管所在直线与地面平行，如何在：教室日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？ 提示：提示：过灯管所在直线作一个平面与地面相交

2、，交过灯管所在直线作一个平面与地面相交，交线与灯管所在直线平行线与灯管所在直线平行直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质aab任意一个任意一个交线交线 问题问题1：分别位于两个平行平面内的直线有什：分别位于两个平行平面内的直线有什么位置关系？么位置关系？ 提示：提示：平行或异面平行或异面 问题问题2：两个平面互相平行，其中一个平面内：两个平面互相平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？的直线与另一个平面有什么位置关系？ 提示：提示：平行平行 问题问题3：若一个平面与两个平行平面同时相交，：若一个平面与两个平行平面同时相交，则交线有什么位置关系？则交线有什么位置关系？ 提示：提示

3、：平行平行平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质ab平行平行交线交线 1直线与平面平行的性质定理可以简记为直线与平面平行的性质定理可以简记为“线面线面平行，则线线平行平行，则线线平行”，这是直线与平面的平行关系到直，这是直线与平面的平行关系到直线与直线的平行关系的转化的依据线与直线的平行关系的转化的依据 2面面平行的性质定理面面平行的性质定理 (1)面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理. (2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的直线并不线都平行于另一个平面，但是这

4、两个平面内的直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线线，但不可能是相交直线 例例1如果一条直线和两个相交平面平行，那么如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线就和它们的交线平行这条直线就和它们的交线平行 思路点拨思路点拨首先把文字语言改为符号语言，写出首先把文字语言改为符号语言，写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证明已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证明精解详析精解详析已知已知a，a，b.求证：求证：ab.证明：证明：过过a作平面作平面，c，a，ac.过过a作平面作平面，d，a，ad.

5、由公理由公理4得得cd.d，c ，c.又又c，b，cb，又，又ca，ab. 一点通一点通 (1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行据，可以用来证明线线平行 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系简记为线面平行的相互转化关系简记为“过直线，作平面，过直线，作平面，得交线，得

6、平行得交线，得平行”1已知直线已知直线l平面平面，直线，直线m，则直线，则直线l和和m的位的位 置关系是置关系是 () A相交相交B平行平行 C异面异面 D平行或异面平行或异面 解析：解析：l与与m平行或异面平行或异面 答案：答案：D2如图，直线如图，直线a平面平面，点，点A在在另一侧，点另一侧，点 B、C、Da.线段线段AB，AC，AD分别交分别交于于 点点E，F，G.若若BD4，CF4，AF4， 则则EG_.答案：答案：23四边形四边形ABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P是平面是平面 ABCD外一点，外一点，M是是PC的中点，在的中点，在DM上上 取一点取一点G，过，过G和和AP作平

7、面交平面作平面交平面BDM于于 GH，求证：，求证：APGH. 证明：证明：如图，连接如图，连接AC交交BD于于O，连接，连接MO. ABCD是平行四边形，是平行四边形， O是是AC的中点的中点 又又M是是PC的中点，的中点， APOM.根据直线和平面平行的判定定理，根据直线和平面平行的判定定理，则有则有PA平面平面BMD.平面平面PAHG平面平面BMDGH，根据直线和平面平行的性质定理，根据直线和平面平行的性质定理，PAGH. 例例2已知已知，A，C，B，D，直线，直线AB与与CD交于点交于点S，且，且SA8，SB9，CD34，求当，求当S在在，之间时之间时SC的长的长 思路点拨思路点拨已知

8、有面面平行，要使用面面平行已知有面面平行，要使用面面平行的性质定理，需寻找与的性质定理，需寻找与，都相交的第三个平面，而都相交的第三个平面，而AB与与CD相交确定一个平面，也正好与相交确定一个平面，也正好与，都相交，都相交，这样就具备了使用面面平行的性质定理的前提条件，这样就具备了使用面面平行的性质定理的前提条件，进而可有结论线线平行，由此可把求进而可有结论线线平行，由此可把求SC长度的问题放长度的问题放到一个平面中求解到一个平面中求解 一点通一点通 (1)已知面面平行问题可以考虑两个转化，即面面平已知面面平行问题可以考虑两个转化，即面面平行转化为线面平行和面面平行转化为线线平行行转化为线面平

9、行和面面平行转化为线线平行 (2)面面平行的性质定理的几个有用推论面面平行的性质定理的几个有用推论 夹在两个平行平面之间的平行线段相等夹在两个平行平面之间的平行线段相等 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行行. 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例比例 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行平面互相平行4若平面若平面平面平面，直线，直线a，点，点B，则在，则在内过内过 点点B的所有直线中的所有直线中 () A不一定存在与不一定存

10、在与a平行的直线平行的直线 B只有两条与只有两条与a平行的直线平行的直线 C存在无数条与存在无数条与a平行的直线平行的直线 D存在唯一一条与存在唯一一条与a平行的直线平行的直线 解析：解析：利用面面平行的性质可知，利用面面平行的性质可知，a和和B确定一个平面，确定一个平面， 该平面与该平面与的交线过的交线过B点，则交线与点，则交线与a平行，且唯一平行，且唯一 答案：答案：D5正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M是棱是棱AA1的中点，过的中点，过 C、M、D1作正方体的截面，则截面的形状是作正方体的截面，则截面的形状是_解析：解析：如图，由面面平行的性质知截面与如图，由面面平行的性质知

11、截面与平面平面AB1的交线的交线MN是是AA1B的中位线，的中位线，所以截面是等腰梯形所以截面是等腰梯形CD1MN.答案：答案：等腰梯形等腰梯形6如图，正方体如图，正方体ABCDABCD中，点中，点E在在 AB上，点上，点F在在BD上，且上，且BEBF. 求证：求证：EF平面平面BBCC.法二：法二：作作FHAD交交AB于于H，连接，连接HE.ADBC，FHBC，又又FH 平面平面BBCC，BC平面平面BBCC.FH平面平面BBCC.由由FHAD，可得，可得 又又BFBE，BDAB， 例例3如图所示，已知如图所示，已知P是是 ABCD所在所在平面外一点，平面外一点，M、N分别是分别是AB、PC

12、的中点，的中点，平面平面PAD平面平面PBCl. (1)求证：求证：lBC； (2)MN与平面与平面PAD是否平行？试证明你的结论是否平行？试证明你的结论 思路点拨思路点拨利用线线平行得利用线线平行得BC平面平面PAD， 则得则得BCl. 利用线面平行，面面平行得利用线面平行，面面平行得MN平面平面PAD. 精解详析精解详析法一：法一：(1)证明：因为证明：因为BCAD， BC 平面平面PAD，AD平面平面PAD， 所以所以BC平面平面PAD. 又因为又因为BC平面平面PBC，平面，平面PBC平面平面PADl，所以所以BCl. (2)平行取平行取PD的中点的中点E，连接，连接AE，NE，可以证

13、得，可以证得NEAM且且NEAM. 可知四边形可知四边形AMNE为平行四边形为平行四边形 所以所以MNAE，MN 平面平面APD，AE平面平面APD所所以以MN平面平面APD. 法二：法二：(1)证明：由证明：由ADBC，AD 平面平面PBC，BC 平平面面PBC，所以，所以AD平面平面PBC. 又因为又因为AD平面平面PAD，平面，平面PBC平面平面PADl， 所以所以lADBC. (2)设设Q是是CD的中点，连接的中点，连接NQ，MQ， 则则MQAD，MQ 平面平面PAD，AD平面平面PAD. 所以所以MQ平面平面PAD，同理，由，同理，由NQPD，可得，可得NQ平面平面 PAD，而，而MQNQQ， 所以平面所以平面MNQ平面平面PAD. MN平面平面MNQ，所以，所以MN平面平面PAD. 一点通一点通本题综合运用了线面平行的性质和面面平本题综合运用了线面平行的性质和面面平行的性质，对于证明线线平行目前有如下几种方法：行的性质，对于证明线线平行目前有如下几种方法： 定义法定义法 公理公理4. 线面平行的性质定理线面平行的性质定理 面面平行的性质定理面面平行的性质定理8正方形正方形ABCD与正方形与正方形ABEF所在平面相交于所在平面相交于AB， 在在AE、BD上各有一点上各有一点P、Q，且，且APDQ. 求证：求证：PQ平面平面