乘法公式培优辅导讲义

1、精品文档乘法公式培优训练题型一：a±上型 a1 .已知 x2 3x+1=0,贝U X2+-L=.x2 .若 a2+-L=14,贝U a+L 5 的值为.司 a 3 .已知a+=7,则a3+_的值是团 714 .已知k=3,贝算且"三二.5 . (1)猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；(2)应用：已知x-5(靠卢d),求x2+的值；(3)拓展：代数式x2+_g是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由; x若存在，请求出最小值.题型二：换元，整体思想1 .已知 a+b=4,则""32+mb+"b 2=-L-i!2 .已知(20

2、17 a) 2+ (2016 a) 2=1,贝U (2017 a) (2016 a) =.3 .已知(2017 A) 2( 2015 A) 2=2016,贝U (2017 A) 2+( 2015 A)2 的值为4 .计算(1-工-工)(L+LJ) - (11L工)(LJ)的结果是 2 32 3 42 3 42 35 . 计算(a1+&+&-1)(a2+a3+&-1+&) 一 ( a2+&+&-1)(a1+a2+a)题型三、添与凑1 .对于算式 2 (3+1) (32+1) (34+1) (38+1) (316+1) (332+1) +1.(1)计

3、算出算式的结果；(2)结果的个位数字是几？2 .化简：6 (7+1) (72+1) (74+1) (78+1) (716+1) +1=.3 .计算下列各式:(1)1 - JJ=(2)(1-(3)(1-)(1-1321铲)(1-(4)请你根据上面算式所得的简便方法计算下式:(1-(14 . (1)计算:(a - 1) (a+1) =；(a- 1) (a2+a+1) = (a-1) (a3+a2+a+1) =(2)由上面的规律我们可以猜想，得至上(a- 1) (a2017+a2016+a2015+a2014+- - +a2+a+1) =+52+5+1.(3)利用上面的结论，求下列各式的值. 220

4、17+22016+22015+22014+22+2+152017+52016+52015+52014+-题型四、化简求值1.已知代数式(x 2y) 2 (xy) (x+y) 2y2(1)当x=1, y=3时，求代数式的值；(2)当4x=3y,求代数式的值.3.已知 a2+2a- 2=0,求代数式(3a+2) (3a- 2) -2a (4a - 1)的值.3 . (1)已知 a2+b2=3, a-b=1,求(2 a) (2b)的值.(2)设 b=ma(aw0),是否存在实数 m,使得(2a-b) 2- (a-2b) (a+2b) +4a (a+b)能化简为12a2?若能，请求出满足条件的 m值；

5、若不能，请说 明理由.4 .计算：(1) (-48a6b5c) + (24ab4)?(-a5b2)；6(2)已知 xm=3, xn=2,求 x2"3n 的值；(3)已知 6x=5y,求代数式(x3y) 2 (x y) (x+y) 5y2的值.题型五、综合运用1 .如果等式x2+3x+2 =x-1)2+Bx-1)+C恒成立，其中B,C为常数，B+C=.2 .已知长方形的周长为16cm它两邻边长分别为 xcm, ycm,且满足(x-y) 2-2x+2y+1=0,求其面积.3 .两个不相等的实数a, b满足a2+b2=5.(1)若ab=2,求a+b的值;(2)若 a2 - 2a=m b2-

6、 2b=m 求 a+b 和 m的值.4 .已知|x - y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值.5.将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad-bc.上述记号叫做2阶行列式，若c=8.求x的值.6 .把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些 有用的式子.(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积， 你发现了什么结论？请写 出来.(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一 直线上，连结BD BF,若两正方形的边长满

7、足a+b=10, ab=20,试求阴影部 分的面积.7 .图1是一个长为2ml宽为2n的长方形纸片(其中mr>n),先用剪刀沿图中虚 线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形.(1)请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积： ;.(2)写出关于(m+n 2, (m- n) 2, mn的一个等式.(3)若m+n=10 mn=20求图2中阴影部分的面积.8 .从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(请选择正确的一个)(1)上述操作能验证的等式是1 . a2 - 2ab+b2= (a- b) 28 . a2 - b2=

8、 (a+b) (a b) C. a2+ab=a (a+b)(2)若 x29y2=12, x+3y=4,求 x 3y 的值;(3)计算：(1-与(1-) (1-专2016 2)(1-2017 22(12+3X 1+1)9 .有一系列等式：1X2X3X 4+1=5=2X3X4X 5+1=112= (22+3X2+1)3X4X5X6+1=192= (32+3X3+1)4X5X6X7+1=292= (42+3X4+1)(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8X9X10X11+1的结果(2)试猜想n (n+1) (n+2) (n+3) +1是哪一个数的平方，并予以证明.10 . (1)已知 a+b

9、=3, ab=- 2,求代数式(a-b) 2的值.(2)已知 a、b 满足(2a+2b+3) (2a+2b- 3) =55,求 a+b 的值.11 .如图，长方形的两边长分别为 m+1, m+7如图，长方形的两边长分别为m+2 m+4 （其中m为正整数）m-7ffi-4图图（1）图中长方形的面积S=;图中长方形的面积 &=比较：&S2 （填“<”、"二”或“>”）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等,则求正方形的边长（用含 m的代数式表示）；试探究：该正方形面积S与图中长方形面积Si的差（即S-Si）是一个常数， 求出这个常数.（3）在（1）的

10、条件下，若某个图形的面积介于 Si、S2之间（不包括S、S2）并 且面积为整数，这样白整数值有且只有 10个，求m的值.12 .先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若n2+2mn+2n 6n+9=0,求m和n的值.解：ni+2mn+2ri- 6n+9=0m+2mn+n+n2- 6n+9=0( m+n 2+ (n - 3) 2=0m+n=0 n 3=0m=- 3, n=3问题(1)若 x2+2y2- 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已知a, b, c是AABC的三边长,满足 a2+b2=10a+8b- 41,且c是AABC中 最长的边，求c的取值范围.26.已知x、y互为相反数，且（

11、x+3） 2- （y+3） 2=6,求x、y的值.精品文档精品文档2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1 .已知 x2- 3x+1=0,贝U 冥2T= 7 R【解答】解：V x2- 3x+1=0,x+-=3, x(x+) 2=x2+-L+2=9,廿_ 2x2+ - =7.2 .化简：6 (7+1) (72+1) (74+1) ( 78+1) (716+1) +1= 732 .【解答】解：原式=(7T) (7+1) (72+1) ( 74+1) (78+1) (716+1) +1=(72- 1) (72+1) (74+1) ( 78+1) (716+1)

12、 +1=(74- 1) (74+1) (78+1) ( 716+1) +1=(78- 1) (78+1) (716+1) +1=(716- 1) (716+1) +1=732- 1+1=732.故答案为：7323 .已知(2017 a) 2+ (2016-a) 2=1,贝U (2017 a) (2016 a) = 【解答】解：.( 2017- a) 2+ (2016-a) 2=1,. (2017- a) - (2016-a) 2+2 (2017- a) (2016-a) =1,即 1+2 (2017a) (2016- a) =1, 2 (2017- a) (2016-a) =0,(2017-a

13、) (2016-a) =0,故答案为：0.4 .若 a2+-L=i4,贝Uaa 5 的值为 1 或9【解答】解：= a2+ - 1=14, a2+2+- =14+2,2，a即(计“6,a+L=± 4, aa+- 5= - 1 或-9, a故答案为：-1或-9.5.已知 a+b=4,则2= 8【解答】解：一二一.： 一(a2+2ab+t2)2=-(a+b) 2=Lx 422=8.故答案是：8.6.已知k=3,则心凸=119 .* J【解答】解：:匚-一-_:|_, £.VX&J 2-2=1 1 岂2=119, xx故答案为：119.7.已知(2017 A) 2 (20

14、15- A) 2=2016,贝U (2017 A) 2+ (2015A) 2 的值为 4+24/14_.【解答】解：设 x=2017 - A, y=2015 - A, .x2y2=2016,. xy= ±12714,x - y=2x2+y2= (x-y) 2+2xy二4±24. /,.x2+y2>0,x2+y2=4+24i(2017-A) 2+ (2015-A) 2=4+24, I .故答案为：4+24.3228.已知a+=7,则a3+的值是日 71【解答】解：= aJ=7, a( a+) 2=49, aa2+丁+2=49, aa2+-=47,2a=7X46 =322

15、.故答案为：322.9.如果等式x2+3x+2= (x-1) 2+B (x-1) +C恒成立，其中B, C为常数，B+C=11.【解答】解：V x2+3x+2= (x-1) 2+B (x-1) +C=x+ (B-2) x+1+C恒成立，B- 2=3, 1+C=2. .B=5, C=6,故 B+C=11故答案为：11.(1 -1 2=(1 -【解答】解:.故答案为：1.11. 计算(a1+&+an-1)(a+a3+an 1+a) (a2+a3+a-1)(a1+a2+&)= aan【解答 解：设 x=a+&+a, y=a2+a3+&-1,则原式=(x an) (y+

16、an) - yx=xy+xan - any - an2 - xy2=an (x y) an2=an (a+&+an) ( a2+&+a。 - an=an (a+an) -an2 =a1an,故答案为：a8.二.选择题（共16小题）12.已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm, ycm,且满足（x-y）-2x+2y+1=0,求其面积.【解答】解：由题意得：2 （x+y） =16,解得：x+y=8；(x - y) 2 - 2x+2y+1= (x-y) 2-2(x - y) +1= (x-y - 1) 2=0,x - y=1 .联立成方程组卜小产号,f 92解得： 彳,，

17、长方形面积 S=xy用x3吟 cm2.答：长方形的面积为 号cm2.13 .两个不相等的实数a, b满足a2+b2=5.(1)若ab=2,求a+b的值;(2)若 a2 - 2a=ng b2- 2b=ng 求 a+b 和 m的值.【解答】解：(1) V a2+b2=5, ab=2, (a+b) 2=a2+2ab+t)=5+2x2=9,a+b=± 3;(2)a2- 2a=m b2-2b=m a2-2a=b2-2b, a2 - 2a+b2 - 2b=2m a2b2 2 (a-b) =0,(a-b) (a+b-2) =0,: a". a+b-2=0,a+b=2,J a2 - 2a+

18、b2 - 2b=2m a2+b2-2 (a+b) =2m a2+b2=5, .5-2X2=2m解得：m=-,即 a+b=2, m=_. 214 .已知|x y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值.【解答】解：|x-y+1|与x2+8x+16互为相反数，|x - y+1|与(x+4) 2互为相反数，即 |x y+1|+ (x+4) 2=0,x - y+1=0, x+4=0, 解得 x= - 4, y= - 3.当 x=4, y=3 时，原式=( 一 43) 2=49.15 .将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成“6，定义“3 =ad c q <

19、;? d-bc.上述记号叫做2阶行列式，若"1 lr|=8.求x的化 1-jc x+l|【解答】解：根据题意化简 计1 lr|=8, | l-i rFl|得：(x+1) 2 - (1 - x) 2=8,整理得：x2+2x+1 - (1-2x+x2) -8=0,即 4x=8, 解得：x=2.16 .把几个图形拼成一个新的图形， 再通过图形面积的计算，常常可以得到一些 有用的式子.(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来.(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三

20、点在同一 直线上，连结BD> BF,若两正方形的边长满足a+b=10, ab=20,试求阴影部分的 面积.BC b O【解答】解：(1) (a+b+c) 2=a 写出关于(m+n 2, (m- n) 2, mn 的一个等式(m+n 2= (m n) 2+4mn .(3)若m+n=10 mn=20求图2中阴影部分的面积. J m+n=10 mn=20+b2+c2+2ab+2bc+2ac(2)a+b=10, ab=20,S 阴影=a?+b2(a+b) ?b-(a+b)2X102-图120=50 - 30=20.17 .图1是一个长为2m,宽为2n的长方形纸片(其中m>n),先用剪刀沿图

21、中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形.(1)请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：(mn- n)2 :(m+n24mn .【解答】解：(1)图2中阴影部分的面积：(m- n) 2；(m+n 2-4mn(2)关于(m+n 2, (m- n) 故答案为：(m+n 2= (m- n)故答案为：(mn- n) 2； (m+n 2-4mn 2, mn的个等式：(m+n 2= (m n) 2+4mn2 .+4mn图2中阴影部分的面积为：（m+n 2-4mn=l0- 4X20=20.18.对于算式 2 (3+1) (32+1) (34+1) (38+1) (316+1) (3

22、32+1) +1.(1)计算出算式的结果；(2)结果的个位数字是几？【解答】解：(1)原式二(3T) x ( 3+1) x ( 32+1) x ( 34+1) x ( 38+1) x (316+1) X ( 332+1) +1=(32-1) x( 32+1) x(34+1)x( 38+1) x ( 316+1)x ( 332+1)+1=(34-1) x( 34+1) x(38+1)x( 316+1) x ( 332+1)+1=(332 - 1 ) x ( 332+1) +1=岁；31=3, 32=9, 33=27, 34=8135=243, 36=729,.每3个数一循环，64+3=21-1,

23、.364的个位数字是3.19.计算下列各式:(D(2)(3)2（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式:1-斗）（1(2) (1-(1-4t)春22 铲 3(2)若 x29y2=12, x+3y=4,求 x 3y 的值;【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得: 上述操作能验证的等式是B,故答案为：B;1 -) (12016 22017 2（3）原式=1;8故答案为圣|； !；(4)原式 J?旻?2?&出超1也包 2 2 3 3 n n 2n20.从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.（1）上述操作能验证的等式是B （请选择

24、正确的一个）A. a . x2-9y2=12,x2- 9y2= (x+3y) (x-3y) =12,= x+3y=4,x 3y=3; - 2ab+b2= (a-b) 2B. a2 - b2= (a+b) (a - b)C. a2+ab=a (a+b)a2 - b2= (a+b) (a - b),:1(1 + -) (1 (1+-) 11" (- j (1 + 1 ) I: 1 _ 1 ) (1+ 1 u 2 八 2八，3 八，3，u 2016201620172017j一 一XA x3.2015201720162018342016201620172017 =二一2 2017一20172

25、1 .有一系列等式：1X2X3X4+1=52= (12+3X 1+1) 2_ 一_. .2 ，一2 一 一2X3X4X5+1=11= (2 +3X2+1)3X4X5X6+1=19"= (32+3X3+1)4X5X6X7+1=29"= (42+3X4+1)(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8X9X10X11+1的结果 892(2)试猜想n (n+1) (n+2) (n+3) +1是哪一个数的平方，并予以证明.【解答】解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到 8X9X10X 11+1= (82+3X 8+1) 2=892;故答案为：892;(2)依此类推：n (n+

26、1) (n+2) (n+3) +1= (n2+3n+1) 2,理由如下等式左边 =(n2+3n )(n2+3n+2 )+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=ni+6n3+11n2+6n+1,等式右边n2+3n+1 )2=(n2+1 )2+2 ? 3n ? ( n2+1 )+9n2=n4+2n2+1+6hi+6n+9rii=n4+6n3+11n2+6n+1,左边=右边.22 . (1)已知 a+b=3, ab=- 2,求代数式(a-b) 2的值.(2)已知 a、b 满足(2a+2b+3) (2a+2b- 3) =55,求 a+b 的值.【解答】解：(1)a+b=3, ab=- 2,(a-

27、b) 2= (a+b) 2-4ab=W-4X (-2) =17；(2) (2a+2b+3) (2a+2b- 3) =55,4 (a+b) 2 - 9=55,(a+b) 2=16,a+b=三土 4.23.如图，长方形的两边长分别为m+1, m+7如图，长方形的两边长分别为m+2 m+4 (其中m为正整数)(1)图中长方形的面积S= m+8m+7 ;图中长方形的面积S2= m+6m+8 比较：S > 4 (填“<"、"=”或“>”)(2)现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长(用含 m的代数式表示)；试探究：该正方形面积S与图中长方形面积

28、Si的差(即S-Si)是一个常数， 求出这个常数.(3)在(1)的条件下，若某个图形的面积介于 Si、&之间(不包括S、S2)并 且面积为整数，这样的整数值有且只有 10个，求m的值.【解答】解：(1)图中长方形的面积S1= (m+7 (m+1 =m+8m+7图中长方形的面积 S?= (m+4 (m+2 =m+6m+8比较：= S-S=2m- 1, m为正整数，m最小为1, .2m- 1>1>0,. S>G;(2) 2 (m+7+m+)1 + 4=m+4S Si= (m+4 2 ( m+8m+7 =9定值；(3)由(1)得，S - S2=2m- 1,当 10<2

29、m- 1<11 时，.m为正整数，2 m- 1=11,m=6.故答案为：m+8m+7 m+6m+§ >.24. (1)计算：2 (a- 1) (a+1) = a - 1 ；2a(a- 1) (a +a+1) = a - 1 ；(a- 1) (a3+a2+a+1) = a4- 1 ；(2)由上面的规律我们可以猜想，得到：/ 八/ 201720162015201422018/(a- 1) (a +a +a +a + -+a +a+1) = a - 1 ；(3)利用上面的结论，求下列各式的值. 2如 7+T 叫 2如 5+牙0% - +22+2+1 5如7+/+52。，+.+5

30、2+5+1.【解答】解：(1) (a-1) (a+1) =a2-1；(a-1) (a +a+1) =a - 1 ；(a- 1) (a3+a2+a+1) =a4- 1；故答案为：a2- 1 ； a3- 1 ； a4- 1;(2)由上面的规律我们可以猜想，得到：/ 八/ 2017201620152014220184(a- 1) (a +a +a +a +- +a +a+1) =a -1 ；故答案为：a2018-1；(3)理利用上面的结论，求下列各式的值.2如7+2如6+2如5+2如4+2?+2+1 =(2-1) X (2如,+2如+2如+2如、+2号2+1) =2如'-1；(2)5201W

31、1%52015+52014+-+52+5+1= (5 - 1 ) X ( 52017+52016+52015+52014+- +52+5+1)-44X ( 52018- 1 ).25.先阅读下面的内容，再解决问题, 例题：若 ni+2mn+2ri- 6n+9=0,求 m和 n 的值.解：nr+2mn+2ri- 6n+9=0m+2mn+Mn2- 6n+9=0( m+n 2+ (n - 3) 2=0m+n=0 n 3=0 .m=-3, n=3问题(1)若 x2+2y2- 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已知a, b, c是AABC的三边长,满足 a2+b2=10a+8b-41,且c是A

32、ABC中 最长的边，求c的取值范围.【解答】解：(1) x2+2y2 - 2xy+4y+4=x2 - 2xy+y2+y2+4y+4=(x-y) 2+ (y+2) 2=0,x- y=0, y+2=0,解得 x= - 2, y=- 2,xy= ( - 2)空；4，一、22_ 一(2) a+b=10a+8b- 41, a2 - 10a+25+X-8b+16=0, 即(a - 5) 2+ (b - 4) 2=0, a - 5=0, b- 4=0,解得 a=5, b=4,.c是 ABC中最长的边，二 5< c< 9.26 .已知x、y互为相反数，且(x+3) 2- (y+3) 2=6,求x、y的值.【解答】解：x、y互为相反数，y= 一 x,(x+3) 2- (y+3) 2,=(x+3) 2- (- x+3)： =x2+6x+9- x2+6x- 9,二6,即 12x=6,故答案为：x、y的值分别是工，1. 2227 . (1)猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；(2)应用：已知x-缶产。)， 求x2吃的代(3)拓展：代数式乂2+3是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值.【解答】解：(1)猜想a2+b2> 2ab,理由为：a2+b2