全国数模大赛B题北京一等奖

1、承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国

2、大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：旦我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）:北京航空航天大学参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）:冯伟（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编

3、号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人nnnnnnnnn评分u备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：标题摘要本文以一种采用铰链连接的可折叠桌子为研究对象，立足于折叠桌从平板状态到撑起后桌子状态的变化过程，建立了三维空间代数几何模型和多目标线性规划模型，分析并解决了下列问题。对于问题1,我们借助建立的几何模型，以桌腿升起的高度作为变化过程的推进量，根据钢筋所在位置确定各个桌腿所在直线，又结合桌腿长度，最终得到每根木条末端位置的数学描述，进一步从单个木条的变化到桌角边缘线的变化最后到桌子整体的变化，利用数学

4、表达式和直观图像两方面，由点到面逐步详细地分析并描述了该折叠桌变形的动态变化过程（如图，公式）。然后利用各个木条所在直线、钢筋位置、木条末端位置的数学描述，借助空间几何知识，得到了折叠桌的设计加工参数：；桌腿木条最大开槽长度17.8728cm;撑起后桌子的桌角边缘线的数学描述z2y252x2lt2为.y_15.29_z25.252x215.2925对于问题2,我们建立了多目标规划模型，首先借助参考文献一中桌子的稳固性的欧洲标准和检测方法，对我们所要设计的折叠桌进行稳固性检测模拟，结合相关力学知识给出满足稳固性要求的数学表达作为约束条件，同时把用料最少作为目标函数，最优化求解后最终确定最外侧桌腿

5、的长度，进而确定长方形平板材料的尺寸。然后考虑加工的便捷性，把各个木条末端距离槽的距离的最小值作为目标函数，求得此目标函数取最大时对应的钢筋位置作为其最佳位置。最后根据问题1中的几何模型和相关位置的数学描述方法求得开槽长度。对于题目中给定的桌高70cm，桌面直径80cm的情形，我们的运算结果如下：平板尺寸为长166.48cm，钢筋距离中心45cm最大开槽长度为34.3357cm对于问题3，基于问题1中的代数几何模型和问题2中稳固性和用料量的优化处理方法，对于任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状和桌角边缘线的形状，我们给出了设计加工参数的数学模型和具体操作步骤：1)确定最外侧桌腿长度；2)确定

6、钢筋位置；3)确定剩余桌腿长度；4)确定平板材料形状尺寸；5)稳固性检验与可行性检验。该模型的适用性很广，根据上述模型与操作步骤，对于顾客给出的任意桌面边缘线、桌角边缘线和桌面高度，不管桌子是否对称，是否规则，我们基本能够最大限度地满足顾客需求，呈现出相应形状尺寸且满足桌子稳固性标准的折叠桌。最后，我们给出了三个自己设计的创意折叠桌。关键词：桌角边缘线、桌子稳固性、多目标规划一、问题背景与重述题目给出了一种创意平板折叠桌，重量轻，变形容易。桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，

7、并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。基于这种创意平板折叠桌，我们具体分析了以下三方面的问题：问题一给定这种桌子的平板尺寸、木条宽度以及折叠后桌子的高度，又已知钢筋固定的位置，我们建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出了桌子的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。问题二对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，我们把产品稳固性、加工便捷性、用材数量三方面考虑在内，确定最优的设计加工参数，并给出计算实例。问题三对于顾客任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，我们建立数学模型，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使

8、得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，最后给出了我们自己设计的几款创意平板折叠桌和相应的设计加工参数。问题分析问题一题目给出了长方形平板的尺寸120cmx50cmx3cm,且每根木条宽2.5cm，由此可以由平面几何是知识得到木条的数目以及各个木条的长度。要分析此折叠桌在三维空间内的动态变化过程，我们可以选取桌面升起的高度作为变化推进量来描述整个桌子的动态变化过程。根据桌面升起的高度以及钢筋固定位置我们可以得到相应时刻空间内钢筋所处直线，从而由勾股定理可进一步得知钢筋相对每根木条的位置以及每根木条末端的位置。随之桌面升起高度的渐变，就能得到桌角边缘线的渐变过程以及钢筋相对每根木条平板状态下的

9、偏离距离，每根木条的最大偏移距离即开槽长度也能随之确定。问题二同样是问题一中提到的折叠桌，对于任意给定的桌子高度和和圆形桌面直径，我们考虑桌子的稳固性、用料量和加工便捷性，使产品设计达到最优化，这是一个多目标规划问题。首先我们可以利用桌子稳固性的欧洲标准和检测方法对折叠桌进行检测模拟，根据力学相关知识给出满足稳固性要求的数学表达式作为约束条件，然后把用料量作为目标函数，求得其最小值时的相关参数，由此确定最外侧桌腿的长度，而长方形平板的宽即圆形桌面的直径已给定，进而平板材料的尺寸可以得到。关于钢筋位置的确定，我们从加工方便的角度出发，由于钢筋位置影响槽的位置，而太过靠近桌腿木条末端的开槽方式在实

10、际加工过程中容易穿透木条，使得加工不便，并且影响桌腿质量与桌子的使用寿命，因此我们可以选取钢筋距离桌腿末端距离最小值作为目标函数，当它取最大值时对应的位置为钢筋的最佳位置。钢筋位置确定后，借助问题一的几何模型，可以求得各个木条具体的开槽位置和长度长度。以题目中给出的桌高70cm桌面直径80cm的情形为例，为使加工方便且美观，我们仍采取每边20根，共40根木条的方案，给出最优化方案的计算实例。问题三对于客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，我们的设计方法可以参照问题二的模型，把产品的稳固性，用料量也考虑在内，尽可能的设计出满足顾客需求的折叠桌。给出折叠桌高度，我们

11、可以参照第二问提到的桌子稳固性标准和监测方法，首先得到外援桌腿的长度倾斜角度等参数，然后根据桌角边缘线大致形状来确定钢筋的位置，最后，把桌角边缘线还原到每根木条上，可以得到剩余木条的长度，根据钢筋位置与桌面连接处之间距离的变化值进一步求得木条的开槽长度。此时，折叠桌的各个设计参数都已给出，只需把折叠桌还原到平板状态，即可知平板材料的形状尺寸。之后按照上述模型和操作步骤，我们给出了几个设计实例，包含了折叠桌设计的几种典型情况。三、模型假设彳假设一：考虑木条时，把它抽象为一根位于真实木条宽度中央处，只有长度没有宽度的线段；假设二：忽略木条之间空隙，充分利用平板，且各个木条活动自如；假设三：桌子质量

12、的计算忽略加工过程中的裁剪，就是平板材料的质量；四、符号说明与名词解释符号符号说明动态变化研究过程中桌腿升起的高度折叠桌的高度钢筋到对应桌面连接处距离当前研究木条离开中轴线距离离开中轴线t处木条的长度离开中轴线t处木条末端坐标钢筋所处直线的y轴坐标钢筋所处直线的z轴坐标离开中轴线t处的木条上开槽的长度五、模型的建立与求解问题一1.模型建立为了方便描述问题一要解决的折叠桌动态变化过程，我们记平板状态为初始状态，以平板时刻桌面圆盘中心为坐标原点，竖直向上方向为z轴正方向建立空间直角坐标系（如图1），桌面保持原位置不变，让桌腿逐渐升高直到变形成倒立撑起的桌子模样。把边缘桌腿升起高度h作为动态变化推进

13、量，令h从0变化到桌子高度H来描该改折叠桌从平板状态逐渐变为桌子状态的动态变化全过程。由于长方形平板厚3cm故折叠后桌子下表面的高度为50cm以下我们只考虑桌子升起高度时只考虑桌面下表面。图考虑木条时，把它抽象为一根位于真实木条宽度中央处没有宽度的线段（如图2）。图首先由平面几何知识，我们求得距离中心t处的木条长度为由假设一可知抽象后1，由根据平板尺寸可知每一边共有20根木条，对称后即n1,2,.,9,10。当边缘桌腿升起高度h时，因为连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，且123.7560J25223.752，由勾股定理及空间几何知识可知此时钢筋的位置为并且桌子的每根木条都要与上

14、述钢筋所在直线相交，即桌面上每一点AXt，y,0出发的木条，均会通过点Cx,yh,zh，由此确定出每根木条所在直线又考虑到每根木条的长度一定，我们可以得到每根木条末端坐标B人,乙满足：Xtt2zyt252t2I；，ytyhztZh.252t2yh為同时，这也就是桌脚边缘线关于t的参数方程（图1）。2.折叠桌动态描述为了清晰的描述折叠桌的动态变化过程，我们先从单个木条运动轨迹、桌角边缘线变化过程两个方面进行描述，最后构勒出整个桌子的动态变化过程，具体如下：1）单个木条运动轨迹上述模型给出了每根木条末端坐标边缘桌腿上升高度h的关系式（），当h从Ocm逐渐增大变化到50cm时，折叠桌完成了从平板到桌

15、子的变形，对于每个xt处特定的木条，我们能给出其底端运动的轨迹，即围绕桌面边缘连接处在xt平面内的圆周运动的一部分，不同木条转动的角度不同：tarcsin兰。lt因此木条所在直线随边缘桌腿上升高度h从0cm逐渐增大变化到50cm时，运动轨迹即在xt平面内扫过圆心角为t的扇面。以ti1.25cm、t212.5cm、t323.75cm的木条为例，下图给出了对应的动态变化过程（如图3）。2）桌角边缘线变化过程上述坐标方程（）同样可以看做是以t为参数的桌脚边缘线，随着h从Ocm逐渐增大变化到50cm,桌角边缘线从一条直线逐渐变为空间曲线，如图4，两个曲面的交线即为所求边缘线。图3）折叠桌的动态变化过程

16、根据上述各个木条以及桌角边缘线的动态变化过程，再按照假设一将直线复原为矩形，就可以得到了桌腿构成的曲面在桌角逐渐升高的过程中的变化过程，即折叠桌由平板状态逐渐变为撑起的桌子状态的动态变化过程。（图5）详细参考附件动图1图3模型具体求解1）折叠椅加工参数我们可以容易得出木条根数：每边20题目中给出了平板的尺寸120cmx50cmx3cm和每根木条宽度2.5cm,在假设二下，根，共40根。我们得到了当桌面上升高度为h时，钢筋在上述模型建立时，2l23.75h60l23.7552l23.75h60l23.755所在位置yhZh-h2也就是说从桌面上任一点Ax,y,h出发的木条，也一定穿过钢筋通过的点

17、CxMZh，因此两者之间的距离为2dt.yh倍2t2Zh2,对于桌面边缘出发的任意一根木条，我们能证明钢筋所处位置Cx，Yh，Zh到桌面边缘点Ax,y,h之间的距离dt是随着h增大而逐渐增大的，具体如下：我们把各个木条投影到yoz平面上来研究其动态变化过程，由于钢筋固定在最外侧木条的中心位置，所以在运动过程中钢筋的投影点到最外侧木条的起始点。的距离不变，沿最外侧木条的起始点o'做圆周运动，当最外侧钢筋转动一个角度时，由钢筋所处位置C以及研究木条的起始点位置A即可确定此时木条的状态，如图6，由几何知识可知，两者之间的距离随着角度的增大而增大，即dt是关于h的单调不减函数（除最外侧桌腿木条

18、t38时外，均为单调增函数）。图由分析可知当h从Ocm逐渐增大变化到50cm时，上述距离q的浮动即为木条所需开槽的长度，所以对于每根桌腿木条来讲，其开槽长度为Gdgdto。我们借助Mathematica求得计算后得到每根桌腿木条上的槽长从最外侧到最内侧依次如下表（木条编号n从最边缘开始编）1234567891026.25.25.25.25.25.26.26.26.26.096090030273616970287541717807909164554238343026221814106204.37.610.12.14.15.16.17.17.5646373685923938038445318724

19、24615482）桌角边缘线上述给出的木条末端坐标同样也是桌角边缘线的参数表达形式，这里取h50cm，即可得到折叠桌的桌角边缘线，整理如下：（图7中两曲面的交线）图问题二问题二中给出桌高70cm桌面直径80cm的情形，通过理论力学分析发现，由于对称性，钢筋对于两腿没有力的作用，也就是说中间搭在钢筋上的木条对于桌子的稳固性并没有很大影响（忽略内部摩擦的影响），且桌面直径即长方形平板的宽度，已经给定，所以木条根数对于用料也没有影响。因此，在设计优化过程中，为加工方便且外形美观，我们仍然选择每边20根木条，共40根木条的模型。同时平板厚度仍然为3cm以下给出设计的优化实例。我们首先对问题进行定性分析

20、，折叠桌的设计要求做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。当用材最少时，很明显应该是桌脚处于垂直的状态时，此时还有着不易因摩擦不足而滑行失稳的优点，但是也明显存在着容易侧翻使得不稳固的缺点，而加工方便与用材少没有太大关联。于是我们对于这个优化问题分布求解，先将产品稳固（不侧翻）作为约束条件，以用料最少作为目标函数求得平板的尺寸，再求钢筋的位置使得加工最便捷。1.平板尺寸按照问题一中建立的模型，圆桌直径即长方形平板的宽。而长方形平板长的确定我们综合了产品稳固性要求和用料量的多少，于是我们以平板长（设为L）为决策变量，产品稳固（不侧翻）作为约束条件，以用料最少作为目标函数建立优化模型。不侧翻的约束条

21、件，我们参考了欧洲关于家具的标准和检测方法BSEN581-1,2,3（文献1）和BSEN12521-2009（文献2）中关于稳定性的要求，根据桌子的分类，我们按照据文献1中提到的桌子稳固性的标准和检测方法，来确定产品稳固的约束条件首先桌子要满足垂直加载测试（图8）:图我们在距离桌子边缘向内50mm最危险的位置施加竖直向下大小为F1的力，保证桌子不发生侧翻。我们又根据文献3得知所有木材的密度几乎相同，约为0.440.5g3，平均值为0.54g3，其表现密度因树种不同而稍有cmcm不同。下面计算在假设三的条件下，忽略加工过程中的裁剪，同时折叠桌密度取木材平均密度。于是得到桌子的质量M为我们按照最严

22、格的标准取F400N，在最危险的位置施加力，使桌子仍然无法侧翻，如图9图在上述方案下，每根木条间隔4cm,最外边的木条位于t38cm处，此时对应的y,40382'12.49。于是得到支持点到重心的距离为对支持力所在处取力矩，使得桌子无法倾倒，得到以下约束：我们再对桌子进行水平加载测试，如图10图在桌子中心放置重物M'（不超过50kg），使得在力F2=100N的作用下，保持稳定。可以发现F,F在该种情况下可以忽略。cd于是，按照相同的方法，对支持力所在处取力矩，使得桌子无法倾倒，得到以下约束：至此建立了模型二的关于求解平板尺寸的部分：将数据带入求解，得到最优的桌子长度L=166.

23、48cm。2钢筋位置由问题一分析可知，钢筋所处位置影响木条上开槽的长度，对于每个木条来讲，槽的长度影响该木条的质量，在实际操作中考虑到加工的便捷性，木条上的槽越靠近木条末端，加工时的微小差错就越容易穿透木条，桌腿木条的质量大大受其影响，更容易导致不合格品的产生；且在桌子使用过程中，过于靠近桌腿木条末端的开槽更容易穿透木条，会影响桌子的使用寿命。因此我们选取各个木条末端距离槽的距离的最小值最大时对应的钢筋位置作为其最佳位置。在上节分析中长方形平板的长和宽参数已给出，因而可进一步得知每根木条的长度，即lt83.24.402t2，假设钢筋位于最外侧腿长距离木条顶部m分点处，则钢筋所处坐标为yhm38

24、2H283.24矗zhmHdtyh2v402t2这时钢筋沿木条距离桌面边缘的距离为2Zh根据问题一第三节中关于距离dt变化的讨论我们得知当h70cm时，距离dt取得最大值，此时钢筋位置最靠近各个桌腿木条的末端，对应开槽的最远距离。按照上述分析我们有目标函数:mnltdt，其中D表示各个桌腿木条末端到槽距离的最小值，它是关于分位点m的一元函数，m的范围m0,1为约束条件，求取目标函数的最大值，此时对应的m即描述了钢筋的最佳位置。针对题目中的情况，我们代入具体数据计算后得到：m0.46还原到实物上，即钢筋最佳位置应该位于距离长方形平板长的中线45cm处。（图8）3.开槽长度根据前两节的分析，我们已

25、经确定出了的钢筋位置，即m0.46时对应的钢筋所在直线方程：，此时，代入钢筋位置沿木条距离桌面边缘的距离dt，有dtdt:0.46J382h2283.24138、402t220.46h。事实上，对于不同木条，即t取不同值时，令h从0cm逐渐增大变化到70cm,此时对应距离dt浮动的大小就确定了相应木条上的槽长。又根据问题一第三节中关于距离dt变化的讨论，我们知道dt是关于h的单调不减函数（除最外侧桌腿木条t38时外，均为单调增函数），所以每根木条的槽长Ct即为Ctdt70dt0。计算后得到每根桌腿木条上的槽长从最外侧到最内侧依次如下表（木条编号n从最边缘开始编）：123456789103834

26、3026221814106208.414.20.24.27.30.32.33.34.66092215741482747842470233567855337至此我们得到了满足问题二桌面直径和桌子咼度的最优化设计方案，此折叠桌的模型图如下（图11）：图事实上，由力学分析可知，撑起的桌子有克服地面与桌腿之最外最外间摩擦力和铰链系统之间的摩擦力向平板状态改变的趋势，侧的承重桌腿与竖直方向的夹角越小，桌子稳定性越高，越不容易变为平板状态；另一方面，为了达到便携式桌子稳固性监测的欧洲标准，桌腿需要一定的倾斜角度以防止侧翻。我们给出的折叠桌设计加工方案桌腿与竖直方向的夹角较小，因此上述模型和设计方案在直观上

27、也是合理的，可以被欣然接受。问题三为了尽可能的满足顾客的需求，对顾客任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌角边缘线的大致形状，我们首先采取文献1中提到的便携式桌子稳固性标准和监测方法，将桌子的稳固性考虑在内，确定折叠桌的最外侧桌脚也就是桌腿的长度，然后根据顾客提供的桌脚边缘线的大致高度确定钢筋的位置，确定桌子侧面的形状，再将顾客所要求的边缘线的形状投影到所得到的侧面上，得到折叠桌成品，再重新经过安全性测试和可行性测试，就得到最终的折叠桌成品（如下图12）。图在下面的处理中，我们仍取平板材料厚度为3cm进行计算，实际生产中可提供多种材料供顾客选择，在此不考虑；为使加工方便，我们规定桌腿均为

28、一边20根，共40根，在实际生产中可根据顾客要求桌面尺寸大小确定合适的桌腿数目；1. 确定最外侧桌腿长度首先，我们对顾客给出的桌面边缘线进行处理，选取合适的位置（规则图形的几何中心）作为坐标原点，以桌腿的方向为X轴，建立平面直角坐标系，运用相关软件拟合出该桌面边缘线的函数表达式yfx。在此平面直角坐标系的基础上以竖直向上为z轴正方向建立空间直角坐标系（图1）。此时，x的取值范围为Xmin,Xmax，因为每半边桌子20根桌腿，所以桌腿之间间隔XmaxXminXmaxXmin20由此我们可以确定每根桌腿的位置，2n1XtXmax22n1XtXmax2n1,2,3.,20o为使折叠桌满足桌子稳固性的

29、欧洲标准，我们选择最容易发生侧翻的沿y轴方向距离原点最远的边缘向内50mm处进行测验，在其正上方施加竖直向下的力F,同样的，我们取最严格的标准F400N，记撑起的折叠桌边缘桌腿在xoy平面的投影线段长为d上述分析中我们得知，边缘桌腿倾斜角度越小稳定性越好，在桌腿与垂直方向夹角很小的情况下，我们可以用桌面高度近似代替桌腿长度，并仍然按照长方形平板材料进行计算，在假设三的条件下，若折叠桌关于x方向轴对称，折叠桌不发生侧翻，有下列等式成立：Fmax23g2xmax2h同样的，若折叠桌不对称，则只需要对左右两边分别进行上述分析即可。由垂直加载测试，我们可以得到满足稳固性条件下最好的桌腿水平面上的投影距

30、离d，进而可以根据桌面高度h由勾股定理求得边缘桌腿的长度oo1边缘2. 确定钢筋位置由上述分析我们知道钢筋的位置对折叠桌的稳固性影响不大，但是影响桌腿木条的开槽长度：桌角边缘线只能出现在钢筋位置到木条末端的范围内，钢筋位置的不同也会影响桌角边缘线的范围。所以为了尽可能的满足顾客对桌角边缘线的要求，使加工方便，我们把桌角边缘线作为设定钢筋位置时首要考虑的因素：将选取距顾客给出的桌角边缘线3cm处作为钢筋所在位置，具体如下。通过上述步骤，我们可以求得边缘桌腿的长度和倾斜角度，由边缘桌腿的起点At,ft,0和末端Bt,ftd,h，可以确定边缘桌腿所在直线ZZy，此时桌子的轮廓已经确定，我们把桌子xt

31、轮廓投影到XOZ竖直平面上，并把顾客给出的桌角边缘线绘制在XOZ竖直平面的投影上，得到投影曲线ZgX，选取桌角边缘线Z轴上最小值Zmin沿负方向低5cm处作为钢筋所在高度（图11），即ZhZmin3，且钢筋在边缘桌腿上，经过点Ct,Z1Zh,Zh，因而由1边缘桌腿所在直线可求得钢筋所在直线yzZh，钢筋在边缘zzh桌腿上的固定位置由此可知。3. 确定剩余桌腿长度剩余桌腿的长度我们主要通过客户给出的桌角边缘线以及钢筋位置来定。以特定的木条为研究对象，对于桌面上任意一点At,ft,0出发的桌腿，均经对应钢筋上一点Ct,z1zh,zh，由此两点可以确定研究桌腿所在直线zzy。xt又由顾客给出的桌角边

32、缘线在xoz平面上的投影函数zgx，可得知当xt时的桌角高度，把此高度再还原到对应的木条上即可得到研究木条尾端的位置Bt,z1gt,gt，进一步由勾股定理自然得到所研究木条的长度。4. 确定平板材料形状尺寸由以上三步我们确定了各个木条的长度，再结合顾客给出的桌面边缘曲线，我们可以还原出折叠桌摊平时的形状，即平板材料的形状，其最大宽度是桌面最大宽度，最大长度是沿y轴方向桌腿长度与桌面长度和的最大值，平板边缘曲线由桌腿长度以及桌面边缘线共同确定。5. 稳固性检验与可行性检验稳固性检验：将求得的木板材料的质量带回欧洲标准关于桌子不侧翻的要求中进行检验是否合理，如不合理，则改变木板质量为该质量，然后重

33、新进行该流程，知道满足稳固性为止。可行性检验：主要是初始开槽位置的确立，问题一中类似，对于任意一根从At,ft,0出发的木条，当桌面降落高度h'时钢筋落回木条上的Cx,yh,zh点，检验该点是否原理桌面，如不可行，则提醒客户所涉及桌脚形状太高，需要重新设置。同时利用问题一中的模型方法，可以求解出各木条的开槽长度：CtdtHdt0。6. 设计实例1）假设客户要求制作一个桌面为x2/402y2/3021的椭圆，而高度为70cm桌脚形状为高度为35cm的三角形的折叠桌按照流程图，我们首先按照1中方法对于最外侧桌腿长度进行求解，得到长度为L=79.73cm接着，由于桌脚高度为30cm,所以我们

34、将钢筋固定在距离地面30+3=33cm处，投影高为30，宽为80，于是按照客户的要求，给出如的投影函数，将其投影到由桌脚和钢筋位置以及确定的各木条上，作为桌脚的边缘。综上就得到了我们的椭圆三角椅子如下图13图对应的各木条长度（从内到外）分别为：34.5309,37.9146,41.0566,43.9077,46.4253,48.5808,50.3781,51.8996,53.4501,56.2804再将数据带回得到动态变化过程（详细参见附件动图2），如图14:图求得其开槽长度（从内到外）分别为：25.7067,25.2418,24.3036,22.8746,20.926,18.4137,15.

35、27,11.3832,6.53209,0.（2）其他创意桌子：桌子为对角线长为50cm的正方形，高度为50，桌脚边缘线一侧大致是M字样，另外一侧直接是全部着地。动态变化过程如图15：图其中对应的各木条长度（从内到外）分别为：M一侧：49.8418,45.7792,40.602,34.9945,29.7625,25.8508,24.4116,26.9223,35.3421,52.2921直面一侧：50.514,50.2193,50.0478,50.001,50.079,50.2814,50.6066,51.0524,51.6155,52.2921其开槽长度（从内到外）分别为：M侧：25.637,21.9088,18.361,15.0158,11.8937,9.01181,6.38135,4.00634,1.88293,0.直面一侧：均为0桌子上部为相距30cm宽60cm的两抛物线，高度为60,桌脚边缘线大致都为抛物线。动态变化过程如图16：图其中对应的各木条长度（从内到外）分别为：45.0247,45.8445,47.3706,49.3887,51.614,53.7526,55.6252,57.4053,60.0362,65.73