随风潜入夜润物细无声（续）

1、 随风潜入夜随风潜入夜 润物细无声润物细无声( (续续) ) 李尚志李尚志 中国科学技术大学中国科学技术大学 2022-3-21数学实验数学实验: : 几何变换几何变换(x,y) (x,y) x=f1(x,y), y=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C：x=f1(x(t),y(t), . y=f2(x(t),y(t) 2022-3-21 线性变换线性变换 x=a1x+b1y, y=a2x+b2y. 画出由平面直线段或曲线段组成的图形C及其象C。 观察：直线、平行、垂直、长度、角度、圆 ?2022-3-21线性变换前后的图形2022-3-21 向量方向的变化2022-3

2、-21 选取特征向量为基选取特征向量为基2022-3-21矩阵的相似对角化 AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3 A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3) AP=PD, P-1AP = D A 相似于对角形相似于对角形 D . 2022-3-21矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式 几何观点几何观点 矩阵矩阵A决定决定线性变换线性变换f: XAX 所有图形的所有图形的n维体积变为原来的维体积变为原来的 detA倍倍. g:YBY. n维体积维体积 detB倍倍. gf: X(BA)X, n维体积维体积 原来的原来的d

3、et(BA)倍倍 = (detB)(detA)倍倍. 2022-3-21代数证明代数证明 BAB, det(AB)= a detB 情况情况1. A是初等矩阵是初等矩阵: A:互换两行互换两行, a= -1=det A A:某行乘某行乘l l倍倍, a=l l=det A A:某行的某行的l l倍加到另一行倍加到另一行, a=1=detA情况情况2. A不可逆不可逆: detA=0, AB不可逆不可逆, det(AB)=0=(detA)(detB). 2022-3-21代数证明代数证明 情况情况3. A可逆可逆. A= PsP2P1 , 其中其中 Ps , , P2, P1是初等是初等矩阵矩阵

4、 det(AB)=det PsdetP2 detP1 detB (1) 取取 B=I 得得 detA = det PsdetP2 detP1 代入代入(1) 得得 det(AB) = (detA)(detB)2022-3-21 多元微积分的线性代数模型多元微积分的线性代数模型 微积分基本思想微积分基本思想 : : 非线性非线性线性线性 复合函数的导数复合函数的导数:2022-3-21 隐函数存在定理隐函数存在定理 F(x,y) 在某点在某点P0可微可微 何时由何时由 F(x,y)=0 确定确定 y=f(x)? 线性化线性化: y=f(x) 在在 x0 可微可微, 导数为导数为 2022-3-2

5、1 可微函数可微函数 n 个方程个方程 =0 , 线性化线性化 即即 当当 det B 时有唯一解时有唯一解隐映射定理隐映射定理2022-3-21电子琴为什么能模拟电子琴为什么能模拟不同乐器的声音不同乐器的声音 不同乐器的声音区别不同乐器的声音区别 音色。音色。 y= A y= A sin(ktsin(kt). k). k音调音调,A,A响度，响度， ？音色音色 s sin(x)+sin(3x)/3+ in(x)+sin(3x)/3+ 的图象的图象 y=ay=a1 1sin(wt+bsin(wt+b1 1)+a)+a2 2sin(2wt+bsin(2wt+b2 2)+)+ 音色音色 波形波形

6、系数系数 a a1 1 , a a2 2 , . . ., . . .比例比例2022-3-21sin x+sin(3x)/3+sin(nx)/n-6-4-2246-0.75-0.5-0.75-6-4-2246-0.75-0.5-0.75网上资源网上资源 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级数学实验数学实验(2003),(2003), 线性代数线性代数( (数学专业数学专业) )(2004)(2004) http:/ 常用连接常用连接 网上数学实验网上数学实验 参考文献参考文献线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用) ), , 高教出版社高

7、教出版社, 2006., 2006.让抽象变得自然让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会建设国家精品课程的体会, , 中国大学教学中国大学教学, 2006, 2006年第年第7 7期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例( (之一之一),),大学数学大学数学, , 20062006年第年第3 3期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例( (之二之二),),大学数学大学数学, , 20062006年第年第4 4期期若当标准形的计算若当标准形的计算, , 大学数学大学数学, 2006, 2006年第年第5 5期期从问题出发引入线性代数概念从问题出发引入线性代数概念, , 高等数学研究高等数

8、学研究, , 20062006年第年第5 5期期,第第6 6期期 精品课程为谁建设精品课程为谁建设 - - 学生学生! ! 建设精品课程时不知道教建设精品课程时不知道教育部要评精品课育部要评精品课! ! 教数学教数学, ,教学生教学生 懂数学懂数学, ,懂学生懂学生 精品课程的关键精品课程的关键 特色特色 影响影响 多媒体教学多媒体教学: : 1. 1.发挥多媒体优势发挥多媒体优势 2. 2.不为多媒体而多媒体不为多媒体而多媒体 数学建模主要思想数学建模主要思想 实际问题实际问题 - -建模建模 数学模型数学模型 i i求解求解 实际实际解解 检验检验- - 数学数学解解 用建模思想建设用建模

9、思想建设 线性代数精品课程线性代数精品课程 将数学建模思想引入基础将数学建模思想引入基础课程教学（一）课程教学（一） 利用基础课知识建立模型解利用基础课知识建立模型解决问题决问题: :(1)(1)来自现实生活的实际问题来自现实生活的实际问题(2)(2)数学自身发展提出的问题数学自身发展提出的问题 将数学建模思想引入基础将数学建模思想引入基础课程教学（二）课程教学（二） 从问题出发从问题出发 建立数学模型解决建立数学模型解决 “发明发明”出基础课程的知识出基础课程的知识- - 人类的旧知识人类的旧知识, ,学生的新知识学生的新知识用建模思想建设线性代数用建模思想建设线性代数精品课程精品课程 1.

10、1.随风潜入夜随风潜入夜: : 建立模型解决问题建立模型解决问题 线性代数知识线性代数知识 2.2.润物细无声：润物细无声： 线性代数知识线性代数知识 建立模型解决问题建立模型解决问题 2022-3-21 若干问题若干问题之之1 1 1.1.适用对象适用对象: :针对不同对象的共同点针对不同对象的共同点! ! 数学专业数学专业, ,非数学专业非数学专业. . 好学生好学生,“,“差差”学生学生. . 针对不同对象的不同点针对不同对象的不同点: : 要求不同要求不同. . 好学生需要生动好学生需要生动, ,难道差学生只能枯燥难道差学生只能枯燥? ? 2.2.改革改革: : 让学生更容易让学生更容

11、易. . 老师需要重新学习老师需要重新学习, ,开头难开头难, ,适应之后容易适应之后容易. . 帮好学生求发展帮好学生求发展, , 学创造发明学创造发明 帮帮“差差”学生求生存学生求生存, ,学懂最基本内容学懂最基本内容. .2022-3-21若干问题若干问题之之2 2 3.3.改革有风险改革有风险: :学郭靖学郭靖, ,不学慕容复不学慕容复. . 知风险知风险, , : : 从问题出发从问题出发: : 可能可能费课时费课时, ,冲淡主题冲淡主题. . 从本专业应用问题开始：可能狭窄从本专业应用问题开始：可能狭窄, ,难懂难懂. . 防风险防风险: : 中庸之道中庸之道, ,适可而止适可而止

12、, ,因人而易因人而易. . 4.4.几何比代数更难几何比代数更难? ? 几何直观不好算，代数好算不直观。几何直观不好算，代数好算不直观。 凌波微步，左右逢源凌波微步，左右逢源2022-3-21若干问题之若干问题之3 3 5.5.数学味数学味 = = 严格严格? ? 数学数学: :创新创新, ,抽象抽象, ,严谨严谨 思想重于材料思想重于材料 想法指挥算法。想法指挥算法。 严格性例子严格性例子: : 秩的定义的合理性秩的定义的合理性-工笔画工笔画 不严格例子不严格例子: n : n 维体积维体积-写意画写意画. . 先粗后细先粗后细. (. (不能先错后对不能先错后对).).数学聊斋四则数学聊斋四则 之一之一 峨嵋山的佛光峨嵋山的佛光 数学聊斋四则数学聊斋四则 之二之二 指鹿为马之幼儿版指鹿为马之幼儿版 博比博比: : 长颈鹿长颈鹿 马马马马 老虎老虎 猫咪猫咪 狮子狮子 狗狗狗狗 黑猩猩黑猩猩 爸爸爸爸 纠错码纠错