二次函数知识讲解(基础)

1、二次函数全章复习与巩固一知识讲解（基础）【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解【知识网络】二次蛹数的图藜用函数觇点看一元二次方程厂1元士次力程号二次函嗽的关系利用二次函数的图象求一元二次方程的解 1刹:距属L|实赫同*与二次的间一一柯时标用量夭而I一:最天面枳是-少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果犷上门/+小1+露瓦已是常数

2、，金，。），那么尸叫做黑的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aw0）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y二J?；yt/+比；y=口（工一期y；=也（工一期了十曲,b、452-b_t,其中/?=-,k=；y=口工4坛+已.（以上式子aw0）2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标1当曜n0时工二口（二轴）(0,0)y-+无开口向上当*0时开口向卜x（尸轴）（0,

3、无）y=-娟x-h(血,0)y-4卜一饱y+比X=力出，上）y上ai24坛+巴%工二一2abAacb1(44)2 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点（1）4的符号决定抛物线的开口方向：当叮;。时，开口向上；当时，开口向下；卜|相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于丁轴（或重合）的直线记作x三打.特别地，尸轴记作直线x=0.3 .抛物线yax2bxc（aw0）中，a,b,c的作用：（1） G决定开口方向及开口大小，这与矛中的S完全一样.b（2）占和盘共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y三曰犬卜玄工+匕、的对称轴是直线K二,2。h故：上二。时，对称轴为T轴；一二。（即戊、b同号）

4、时，对称轴在尸轴左侧；工0（即&、右aa异号）时，对称轴在尸轴右侧.（3）已的大小决定抛物线卅二+bx+E与T轴交点的位置.当天=。时，*=二，.抛物线+5工+可与1y轴有且只有一个交点（0,1）：c=Q,抛物线经过原点；白0,与尸轴交于正半轴；白M0,与尸轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在尸轴右侧，则一0.a4.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）一般式：y=ax2-bx-c（aw0）.已知图象上三点或三对R、1y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y三工一期无（aw0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式（可以看成y三aF的图象平移后所对应的函数

5、.）（3）“交点式”：已知图象与x轴的交点坐标工1、三，通常选用交点式：/二口（工一工七）（aw0）.（由此得根与系数的关系：/+/二勺二）.aa要点诠释：求抛物线yax2bxc（aw0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数1y=鼻/+心(邕W0),当尸=0时，得到一元二次方程津/十岳r+c=0(口牡，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时匕=方，-由绐0，则

6、方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时&=犷%=口，则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时&=/ 4*，则方程没有实根要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由*一4数的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时匕-4西0,则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时A独c=0,则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时&=婷-4厘广0,则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的

7、公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式【典型例题】类型一、求二次函数的解析式.已知二次函数的图象经过原

8、点及点11 ，、，-,-,且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次24函数的解析式为.【答案】y-x2 -乂或丫 x2 x.33【解析】正确找出图象与 x轴的另一交点坐标是解题关键.由题意知另一交点为(1, 0)或(-1 , 0).因此所求抛物线的解析式有两种.2设二次函数斛析式为 y ax bx c.c 0,c 0,111八则有一一a b c ,或4 421b 2c,a b c 0,a解之bc1,1,0.因此所求二次函数解析式为 y【点评此题容易出错漏解的错误.121-2-x一x或 y x x .33举一反三:【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1,交x轴于点A、B(

9、A在B的左侧)，且AB=4,交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】二对称轴x=1,且AB=4，抛物线与x轴的交点为：A(-1 , 0), B(3, 0)b=-2c=-3, y=x2-2x-3 为所求,x=1 时 y=- 41- M(1, -4)对称轴 x=1 ,且AB=4，抛物线与x轴的交点为：A(-1 , 0), B(3, 0)b=-2c=-3, y=x2-2x-3 为所求,x=1 时 y=-4,a .y 一与正比例函数 y=(b+c)x 在同一【答案】B;坐标系中的大致图象可能是 ()类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2.一次函数yaxbxc的图象如图1

10、所不，反比例函数2b【解析】由yaxbxc的图象开口向上得a0,又0,，b0,y的图象在第一、二象限.xb+c3或乂0时，x的取值范围.当x3或xv-1时，y0,因此不等式ax2bxc0的解集为x3或xv-1.【点评】弄清ax2bxc0与yax2bxc的关系，利用数形结合在图象上找出不等式ax2bxc0的解集.类型四、函数与方程1 214.已知抛物线y-x2xc与x轴没有父点.2求c的取值范围；试确定直线ycx1经过的象限，并说明理由.【答案与解析】1（1）二抛物线与x轴没有交点，.,/0,即1-2c12（2）二七1,直线y=1x+1随x的增大而增大，22：b=1,，直线y=1x+1经过第一、

11、二、三象限.2【点评】抛物线y1x2xc与x轴没有交点，0,可求c的取值范围.2举一反三：【变式1】无论x为何实数，二次函数+反的图象永远在x轴的下方的条件是（）。口 3刀-4打入口CD.一二一【答案】二次函数W白+勿的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程/十反十c=0无解,即上“一4：纪0.又图象永远在x轴下方，则以答案：B【变式2】对于二次函数W/+从+F（a早0）,我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数*三三-的4懈-2（m为实数）的零点的个数是（）A.1B.2C.0D.不能确定【答案】当y=0时，工？一明工+附一2=0,b2-Aac三（一网一4伽一2）三.一4加斗

12、（冽-2尸+40,即二次函数y=1一*4附-2的零点个数是2.故选B.类型五、分类讨论5.已知点A(1,1)在二次函数yX22axb的图象上.(1) 用含a的代数式表示b；(2) 如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标.【思路点拨】将A(1,1)代入函数解析式.(2)由4=b2-4ac=0求出a.【答案与解析】(1)因为点A(1,1)在二次函数yx22axb的图象上，所以1=1-2a+b,所以b=2a.(2)根据题意，方程x22axb0有两个相等的实数根，所以4a24b4a28a0,解得a=0或a=2.当a=0时，y=x2,这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0

13、).当a=2时，yx24x4(x2)2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0).所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0).【点评】二次函数yax2bc(a0)的图象与x轴只有一个交点时，方程ax2bxc0有两个相等的实数根，所以b24ac0.类型六、二次函数与实际问题6.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系.随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x

14、之间也大致满足图2所示的一次函数关系.E1图2(1) 在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？(2) 在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3) 要使该商场销售彩电的总收益3(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益3的最大值.【思路点拨】(2)依题意设y=kx+800,z=k2x+200,分别将(400,1200)和(200,160)代入两式求出匕、k2；(4) 由题意w=yz.【答案与解析】(1) 在政府出台补贴措施前，该商场销售家电的总收益为800X200=160000(元).(2) 依题意可

15、设y=k1x+800,z=k2x+200,则有400k1+800=1200,200k2+200=160,11斛得ki=1,k2一，所以y=x+800,zx200.55小、112（3）yz（x800）g-x200（x100）2162000.55政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元.【点评】求最大值问题一般需列出二次函数关系式.二次函数全章复习与巩固一巩固练习（基础）【巩固练习】-、选择题2个单位后，所得图象的函数表达式是D . y (x 1)2 21.将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移A-y(x1)22B.y(x1)22C.y(x1)222

16、 .二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则一次函数y bx b24ac与反比例函数y在同2个单位长度，再向下平移3 .抛物线y x2 bx c图象向右平移3个单位长度，所得图象的解析式为2_y x 2x 3 ,则b、c的值为()A . b=2, c= 2 B . b=2, c= 0 C . b= -2 , c=-14 .抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(A2121/ 一A. y x x 2 B . y x x 1 C . y22D . b= -3 , c= 2)1 21x x 1 D . y222_x2 x 25.已知二次函数 y ax2 bx c（a.2b 4

17、ac 0 ；abc0；0）的图象如图所示，有下列结论：8a+c0;9a+3b+cv0.其中，正确结论的个数是（）第4题第5题6-已知点(x，y1), ( x2,y2）（两点不重合）均在抛物线x2 1 上,则下列说法正确的是（）y2a.若yy2,则xx2b.若x1x2,则y1C.若0x1x2，则y1y2D.若x1x20,则y1y2a27 .在反比例函数y一中，当x0时，y随x的增大而减小，则二次函数yaxax的图象大致是图中的的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题9 .已知抛物线yax2bx

18、c(a0)的对称轴为直线x1,且经过点(1,y1),(2,y2)，试比较丫1和y2的大小：yiy2(填或“=).10 .抛物线yx2bxc的图象如图所示，则此抛物线的解析式为.11 .抛物线y2(x2)26的顶点为C,已知y=-kx+3的图象经过点C,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为.12 .已知二次函数yx22xm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x22xm0的解为第13题42 3x a 1的图象，那么a的值是14 .烟花厂为扬州“418”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞52行时间t(s)的关系式是h-t20t1,若这种礼炮

19、在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆2需要的时间为.15 .已知抛物线yax2bxC经过点A(-1,4),B(5,4),C(3,-6),则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是.16 .若二次函数yx26xC的图象过A(-1,y1)、B(2,y2)、C(3V2,y3)三点，则y1、y2、y3大小关系三、解答题17 .杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体运动(看成一点)的路线是抛3物线yx23x1的一部分，如图所示.5小来)(1) 求演员弹跳离地面的最大高度；(2) 已知人梯高BO3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成

20、功？请说明理由.18.如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米.(1) 用含x的式子表示横向甬道的面积；(2) 当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3) 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？19.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路

21、段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80%肖售.现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.(1) 分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；(2) 若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？20.王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好.某一天他利用了30分钟时间进行自主

22、学习.假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.(1) 求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(2) 求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？(注：学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)【答案与解析】一、选择题1 .【答案】A;2【斛析】yx向右平移1个单

23、位后，顶点为(1,0),再向上平移2个单位后，顶点为(1,2),开口方向及大小不变，所以a1,即y(x1)22.2 .【答案】D;b【斛析】由上图可知a0,c0,0,bO.abcO.b4ac0,2a.反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D.3 .【答案】B;【解析】yx22x3(x1)24,把抛物线y(x1)24向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线y(x1)21,yx2bxc(x1)21x22x,b=2,c=0.因此选B.4 .【答案】D;【解析】由图象知，抛物线与x轴两交点是(-1,0),(2,0),又开口方向向下，所以a0,抛物线与y轴

24、交点纵坐标大于1.显然A、B、C不合题意，故选D.5 .【答案】D;【解析】抛物线与x轴交于两点，则b0.由图象可知a0,c0,则b0.当x=-2时，y=4a-2b+c0.bx1,b=-2a,2a4a-(-2a)X2+O0,即8a+c0.当x=3时，y=9a+3b+cv0,故4个结论都正确.6 .【答案】D;【解析】画出yx21的图象，对称轴为x0,若y1y2,则Xi刈；若xx2,则yy2;若0XiX2,则y2y1；若XiX20,则yy2.7 .【答案】A;a【解析】因为y,当x0时，y随x增大而减小，所以a0,因此抛物线yax2axa(x1)x开口x向上，且与x轴相交于(0,0)和(1,0)

25、.8 .【答案】C;b【解析】a0,b0,抛物线开口向上，x0,因此抛物线顶点在y轴的左侧，2ac不可能在第四象限；又c0,x1x20,抛物线与x轴交于原点的两侧，a因此是正确的.二、填空题9 .【答案】;【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x=-1,x=2时的函数值，比较其大小，易如y1y2.10 .【答案】yx22x3；【解析】由题意和图象知抛物线与x轴两交点为(3,0)、(-1,0),抛物线解析式为y(x3)(x1),即yx22x3.11.【答案】1;99一2【解析】ky-x3,与坐标轴交点为(0,3),，0.22312 .【答案】*1=3或*2=-1；【解析】由二次函数yx22xm

26、部分图象知，与x轴的一个交点为(3,0).代入方程得m=3,解方程得x1=3或x2=-1.13 .【答案】-1;【解析】因为抛物线过原点，所以a210,即a1,又抛物线开口向下，所以a=-1.14 .【答案】4s；20【解析】t-204(s).25215 .【答案】(1,-6);【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A、15B两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1,4),B(5,4)得，对称轴x2,2而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3,-6),所以它关于x=2的对称点是(1,-6).故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1

27、,-6).16 .【答案】y1y3y2.【解析】因为抛物线的对称轴为x6-3.而A、B在对称轴左侧，且y随x的增大而减小，23.-1y2,又C在对称轴右侧，且AB、C三点到对称轴的距离分别为2,1,亚,由对称性可知：y1y3y2.三、解答题17.【答案与解析】3 2-x2 3x 1523519一x一52430,函数的最大值是5419演员弹跳离地面的最大高度是19米.4(2)当x=4时，y34235413.4BC.这次表演成功.18 .【答案与解析】(1) 横向甬道白面积为120180150x(m2).2(2)依题意：280x150x2x2112018080,82整理得x2155x7500,解得x=5,x2=150(不合题意，舍去).，甬道的宽为5米.设建花坛的总费用为y万元，则y0