二次函数与平行四边形综合

1、第十八讲二次函数与平行四边形综合、教学内容1 .二次函数的表示，二次函数图像与性质；2 .平行四边形的性质和判定；3 .函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题;二、例题细看y轴的交点分别为A B,【例1】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=_?x+6与x轴、4将/OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点

2、，直接写出QA-QO的取值范围.【考点分析】二次函数综合题【PEC分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为（8,0）;点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为（0,6）;由题意得：BC是/ABO的角平分线，所以OC=CH,BH=OB=6,.AB=10,，AH=4,设OC=x,则AC=8-x由勾股定理得：x=3.点C的坐标为（3,0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH|.当点Q与点

3、B重合时，Q、H、A三点共线,|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合日|QA-QO|取得最小值0.【跟踪练习】 例1.（浙江义乌市）如图 直线l与抛物线交于 A、C两点，其中（1）求A、B两点的坐标及直线（2） P是线段AC上的一个动点， （3）点G是抛物线上的动点，在2_ 一.,抛物线y=x -2*-3与*轴交C点的横坐标为2.AC的函数表达式；过P点作y轴的平行线交抛物线于x轴上是否存在点 F,使A、C、A、B两点（A点在B点左侧），E点，求线段PE长度的最大值;F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所

4、有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.【例2】如图，点O是坐标原点，点A（n,0）是x轴上一动点（n<0）.以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB=2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90。得矩形AGDE.过点A的直线2y=kx+m（k#0）交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM_Lx轴，垂足为点M.求k的值；点A位置改变时，AAMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由.【PEC分析】（1）由题意知OB=2OA=2n,在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF,因此可用勾股定理求出

5、AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0,m）据此可求出m,n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值.（2）思路同（1）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a,b,c与的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可.D的坐标（如图所示），求出顶点 C的坐标（Cn的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出AMH【跟踪练习】（1）在图1,2,3中，给出平行四边形（2）在图4中，给出平行四边形的坐标（如图所示），写出图1,2,3中的顶点ABCD的顶点AB,点坐标用含a,b,c,d,e,f的代

6、数式表示）；归纳与发现(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如图4)时，则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为；纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为运用与推广(4)在同一直角坐标系中有抛物线y=x2(5c3)xc和三个点G1-c,-cj,S1-c,-cj,.2222H(2c,0)(其中c>0).问当c为何值时，该抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.【例3】如图1,Rt9BC中

7、，NA=90。，tanB=3,点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、4AC上，且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数，其图象是过点（12,36）的抛物线的一部分（如图2所示）.（1）求AB的长；（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值.为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点（12,36）在图1中表示什么呢?李明：因为抛物线上的点（x,y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么（12,36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系赵明：对，我知道纵坐

8、标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了请根据上述对话，帮他们解答这个问题.【考点点评】本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键【PEC分析】(1)由于y是x的函数且过(12,36)点，即AP=12时，矩形的面积为36,可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长.(2)与(1)类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y,x的函数关系式.然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应

9、的x的值.【跟踪练习】如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线li的顶点为C(3,4),抛物线12与li关于x轴对称，顶点为C'.(1)求抛物线12的函数关系式；(2)已知原点O,定点D(0,4),12上的点P与11上的点P'始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D,O,P,P'为顶点的四边形是平行四边形？(3)在12上是否存在点M,使4ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【例4】如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4,0) C(0,2), D为OA的中点.设点P是jAOC平分

10、线上的一个动点(不与点O重合)(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等;(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，APDE的周长最小？求出此时点P的坐标和APDE的周长；(4)设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P,使/CPN=90°?若存在，请直接写出点P的坐标.【PEC分析】本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题.(1)通过POCZPOD而证得PC=PD.(2)首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；

11、(3)此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与/AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标.进而求的APED的周长；(4)要使/CPN=90。，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标.【例5】如图，已知抛物线I-y=x24的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线li上的动点(B不与A、C重合)，抛物线12与11关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1)求I2的解析式；(2)求证：点D一定在I2上；(3)平行四边形ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件

12、，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.(注：计算结果不取近似值.)【PEC分析】(1)根据11的解析式可求11与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),12与11关于x轴对称，实际上是12与11的顶点关于x轴对称，即12的顶点为(0,4),设顶点式，可求抛物线12的解析式；(2)平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B(m,n),则点D(-m,-n),由于B(m,n)点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，-n=-(m2-4)=-m2+4=-(-m)2+4,可知点D(-m,-n)在12y=-x2+4的图象上；(3)构

13、造/ABC=90°是关键，连接OB,只要证明OB=OC即可，为求OB长，过点B作BH，x轴于H,用B的坐标为(x0,x02-4),可求OB,用OB=OC求x0,再计算面积.【跟踪练习】如图，已知抛物线G与坐标轴的交点依次是A(Y,0),B(-2,0),E(0,8).(1)求抛物线G关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线G的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M,点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D

14、重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由.三、课堂一试12,1 .如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=x在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（。，1）,直线l过B（0,-1M与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴、直线l于C、Q,连结AQ交x轴于H,直线PH交y轴于R.求证：H点为线段AQ的中点；求证：四边形APQR为菱形；12除P点外，直线PH与抛物线y=1x2有无其它公共点？若

15、有，求出其它公共点的坐标；若没4有，请说明理由.，一八32 .如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线y=x+2与y轴的交点A和点3g0T2(i)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；(2)将(1)中所求抛物线沿x轴平移.在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；设沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点.判断以。为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；3 3)P点是沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求P点的坐标，使得以O、A、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形.4 .如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x

16、轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1,OB=石，矩形ABOC绕点。按顺时针方向旋转60'后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E,2点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线y=ax+bx+c过点A,E,D.(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2)求抛物线的函数表达式；(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P,点Q的坐标；若不存在，请说明理由.5 .如图10,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(aw0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,

17、矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y52-4520(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M,使FM=kDF,若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.6 .如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为(一8,0),点N的坐标为(6,4).(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A

18、,点N的对应点为B,点H的对应点为C);(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式；(3)截取 CE=OF=AG=m,且 I m之间的函数关系式，并写出自变量 若不存在，请说明理由；(4)在(3)的情况下，四边形 并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.E,F,G分别在线段CO,OA,AB上，求四边形BEFG的面积S与m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；m的值,BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时6.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC,已知0(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是0A边上的动点(与点O、A不重合).现将4PAB沿

19、PB翻折，得到PDB;再在OC边上选取适当的点E,将APOE沿PE翻折，得到PFE,并使直线PD、PF重合.(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q,使4PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.四、课后有练1 .如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上)，当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积，S,表示矩形NFQC的面积.(1) S与S'相等吗？请说明理由