高中理科数学公式大全(完整版)

1、f(m)0 或 f(n) 0 f(x)ab2高中数学公式大全(最新整理版)§01.集合与简易逻辑1 .元素与集合的关系xAxCUA,xCUAxA.2 .德摩根公式CU(AIB)CUAUCUB;CU(AUB)CUAICUB3 .包含关系AIBAAUBBABCUBCUAAICUBCUAUBR4 .容斥原理card(AUB)cardAcardBcard(AIB).5 .集合ai,a2,L,an的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子集有2n-2个.6 .二次函数的解析式的三种形式一般式f(x)ax2bxc(a0);顶点式f(x)a(xh)2k(a0);(3

2、)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7 .一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)0,则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根设f(x)x2pxq,则(1)方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件p24q0为f(m)0或p；m2(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)0f(n)0f(m)f(n)0或p24q0或pmn2f(n)0f(m)0,(3)方程f(x)0在区间(，n)内有根的充要条件2p4q0为f(m)0或8 .定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依(1)在给定区间(，)的子区间L(形如，,不同)上含参数的二次不等式f(x,t)0(t

3、为参数)恒成立的充要条件是“川00(xL).(2)在给定区间(，)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).4.2axbxc0恒成立的充要条件是0.4ac09.真值表Pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假1假真真真假假假真假假一10.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件(1)充分条件：若pq,则p是q充分条件.(2)

4、必要条件：若qp,则p是q必要条件.(3)充要条件：若pq,且qp,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02.函数11 .函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么(XiX2)f(X1)f(X2)0f(x1)f(X2)0f(x)在a,b上是增函数;XiX2(XiX2)f(X1)f(X2)0f(X1)f(X2)0f(x)在a,b上是减函数Xix2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,则f(x)为增函数；如果f(x)0,则f(x)为减函数.12 .如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)g(x)

5、也是减函数；如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数则复合函数yfg(x)是增函数.13 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.14 .若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(x15 .对于函数yf(x)(xR),f(x数f(x)的对称轴是函数x两个函数yf(xab象关于直线x对称216 若f(x)f(xa),a).a) f (b x)恒成立，则函a b;2a)与y f (b

6、 x)的图.则函数y f(x)的图象关'J"、,0)对称；若f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.17 .函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).(2)函数yf(x)的图象关于直线xb对称2f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).18 .两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即丫轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线xab对称.2m1(3)函数yf(x)和yf(x)的图象关于直线y=x对称.19 .若将函数

7、yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.20 .互为反函数的两个函数的关系f(a)bf1(b)a.21 .若函数yf(kxb)存在反函数，则其反函数.111,、_.一为yf(x)b,并不是yf(kxb),而函k1数yf1(kxb)是y-f(x)b的反函数.k22 .几个常见的函数方程(1) 正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数x_f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y)

8、,f(a)1(a0,a1).(4)备函数'f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),f(0)1,lim-g()1.x0x23.几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a；(2) f(x)f(xa)0,.1或f(xa)(f(x)0),f(x)1_或f(xa)(f(x)0),f(x)或;,f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；一1(3) f(x)1(f(x)0),则f(x)的周f(xa)期T=3a；

9、(4) f (Xix2)f(x1)f(x2)且1f(X1)f(X2)f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|xiX2|2a),则f(x)的周期T=4a(5) f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a(6) f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=6a.24.分数指数哥mi八an-=(a0,m,nN,且n1)nammi八(2)an(a0,m,nN,且n1)ana1(n1)ddn*aid(nN)；25.an根式的性质（1）（n.a）na.（2）当n为奇数时，Van当n为偶数时，%n|a|26.有

10、理指数哥的运算性质a;a,a0a,a0arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(ab)rarbr(a0,b0,rQ).注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数哥的运算性质，对于无理数指数哥都适用27.指数式与对数式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).28 .对数的换底公式logaN10gmN(a0,且a1,m0,且logmam1,N0).推论logmbnlogab(a0,且ama1,m,n0,且m1,n1,N0).29 .对数的四则运算法则若a>0,aw1,M>0,N>0,则30 loga(MN

11、)logaMlogaN;M,31 )logalogaMlogaN;N32 )logaMnnlogaM(nR).§03.数列30 .平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有yN（1p）x.31 .数列的同项公式与前n项的和的关系s1,n1an（数列an的前n项的和为snsn1,n2snaa2Lan）.32.等差数列的通项公式其前n项和公式为n（aan）snna1n(n1)d2d2/1.-n(a1-d)n.2233.等比数列的通项公式n1a1n,anaqq(nq其前n项的和公式为a(1qn)q&1q,nai,q1anqq或、1q,na1

12、,q134.等比差数列an的通项公式为anqand,ab(q0)b(n1)d,qanbqn(db)qnq1其前n项和公式为nbn(n1)d,(qsn(b工。1qq1§04.三角函数35.常见三角不等式d一,q1)d1q(1)若x(0,一)，则sinx2n,(q1)xtanx.(2)若x(0,),则1sinxcosxJ2.2(3)|sinx|cosx|1.36.同角三角函数的基本关系式.2sintancot2sincos1,tan=,1.37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）./nsin(一2n1)2sinn1（n为偶数）1)2cos（n为奇数）2R.sin C11bcs

13、in A - casin B .22cos(3=(x1') ,b=n2444(n为偶数)n、(1)cos,cos().2n1(1)-sin,(n为奇数)38.和角与差角公式sin()sincoscossin；cos()coscosmsinsin；tantantan().1mtantan2sin()sin()sin2sin(平力止弦公式);2cos()cos()cos.2sinasinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象PM由点(a,b)的象限决定，tanb).a39.二倍角公式sin2sincos.2.2cos2cossin2cos2112sin2.c2tantan22.1tan

14、40.三角函数的周期公式函数ysin(x),xCR及函数ycos(x),xCR(A,3,为常数，且aw0,3,2>0)的周期T；函数ytan(x),xk一,kZ(A,23,为常数，且AW0,3>0)的周期丁.41.正弦定理absinAsinB42.余弦定理222abc2bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC.43.面积定理/、c111.(1)S-aha-bhbchc(ha、必二分别222表示a、b、c边上的高)/、1SabsinC21uuuuunuuuuuu-Soab2、(|OA|OB|)2(OAOB)2.在ABC中，有ABCC(AB)CAB2C22(

15、AB).22245 .实数与向量的积的运算律设入、科为实数，那么(1)结合律：入(a)=(入)a;(2)第一分配律：(入+科)a=入a+科a;(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b.46 .向量的数量积的运算律：(1) a-b=b-a(交换律)；(2) (a)b=(ab)=ab=a(b);(3) (a+b),c=a-c+b,c.47 .平面向量基本定理如果e、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入2,使得a=入1e1+入2e2.不共线白向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.48 .向量平行的坐标表不设a=(x,y1),b=d,

16、y?),且b0,则aPb(b0)x1y2x2y10.49 .a与b的数量积(或内积)a-b=|a|b|cos0.50 .a-b的几何意义数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.51 .平面向量的坐标运算(1)设a=(x1，必),b=(X2,y),则a+b=(x1X2,y1y2).(2)设a=(x1,y),b=(x2,丫2),则a-b=(xx2,yy2).(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则uujruiuruuuABOBOA&x，y2y>(4)设a=(x,y),R,则a=(x,y).(5)设a=(K,y1),b=(x2,丫2),则a,b=

17、(xx2y1y2).52 .两向量的夹角公式xx2yy22222,%y1x2V2(x2,y2).53 .平面两点间的距离公式uunuumuuudA,B二|AB|VABABJ(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1),B(x2,y2).54 .向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=d,y2),且b0,则44.三角形内角和定理A|bb=Xax1y2ab(a0)a-b=055.线段的定比分公式设P1(x1,y1),P2(x2,y2)X2V10.X1X2小y0.(5)O为ABC的uuuuuuuuuraOAbOBcOC.分点，是实数，且uurPPuurPP2，则P(x,y)是线段PP2的

18、7;06.不等式60.常用不等式:A的旁心X1X2x1uuurOPV1y;uuuy2uuuruuurOROP21(1)a,b取“=”号).(2)a,buuurOPtOPi(1uurt)OP2(t2b22ab(当且仅当bTab(当且仅当a=b时a=b时56.三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、(3)(4)(a2(5)b3柯西不等式22b)(cd2)aB(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心的坐标是G(Xix2x3Viy2y3357.点的平移公式).uuuruuuOPOPuur)PP.3abc(a0,b0,c(acbd)2,a,b,c,d0).61.极值定理已

19、知x,y都是正数，则有(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2Jp;(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值-s2.注：图形F上的任意一点P(xy)在平移后图形uuu：一的对应点为P(x,y),且PP的坐标为(h,k).58 .“按向量平移”的几个结论(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点(P(Xh,yk).(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k._.(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,'若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.(4)曲线C:f(x,y)0按向量a

20、=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).59 .三角形五“心”向量形式的充要条件4推广(xy)2(1)最大；已知x,y(xy)2R,则有2xy若积xy是定值，则当|xy|最大时,|xy|当|xy|最小时,|xy|最小.(2)若和|xy|是定值，则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时，|xy|最大.62.含有绝对值的不等式当a>0时，有2x2x2a2a63.无理不等式(1).府g(x)设O为ABC所在平面上一点，角长分另iJ为a,b,c,则A,B,C所对边f(x)g(x)f(

21、x)g(x)(2)(1)(2)(3)ABCABCABCuuuuuuuuiruuur的外心的重心的垂心uuruuu2OAOAuuu2uui2uOBuuPCr.OBOC0.、.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)OAOBOBOCOC(4)O为ABC的内心uuriuuruurraOAbOBcOC0.uuuOA.(3),"f(x)g(x)g(x)2f(x)g(x)f(x)f(x)0g(x)002g(x)2 l1|l2A旦AB2Ci .C2 li12A1A2B1B20;(1) tank2ki1k2ki(1) tan(l1 ： y(2) tan(l1 ： AxA1A2B1B2直线L222(x

22、 a) (y b) r .0( D2 E2 4F >0).64.指数不等式与对数不等式当a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)of(x)g(x)(2)当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)of(x)g(x)§07,直线和圆的方程65.斜率公式ky-yL(R(xi,yi)、P2(x2,y2)x2xi66,直线的五种方程(1)点斜式yyik(xxi)(直线l过点P(x1，yi),且斜率为k).(2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式yyix为

23、-(yiy2)(R(xi,yi)、P2(x2,y2)y2y1x2xi(xix2).(4)截距式1(a、b分别为直线的横、ab纵截距，a、b0)(5) 一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).67 .两条直线的平行和垂直(1)若11:yk1xb1,l2:yk2xb2l1l|l2k1k2,b12；11l2k1k21.(2)若l1：AxB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、Bi、B2都不为零，68 .夹角公式(li:ykixbi,目：yk?xb?,k1k21)tan1AB2.AA2B1B2(li:AxBiyCi0,l2：A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线lil2时，直

24、线11与12的夹角是一.269 .li到b的角公式1k2k1kixbi,l2:yk2xb2,k1k21)AB2A2B1.AA2B1B2B1yC10,l2:A2xB2yC20,0).l2时，直线li到l2的角是一.270 .四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点F0(x0,y0)的直线系方程为yyk(xx°)(除直线xx0),其中k是待定的系数；经过定点F0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xByC10,l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xBiyC1)(A2xB2yC2)0

25、(除l2),其中入是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0),入是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(Aw0,Bw0)垂直的直线系方程是BxAy0,入是参变量.71 .点到直线的距离d1Ax0By0-C-1(点P(%,y°),直线l：A2B2AxByC0).72 .圆的四种方程(i)圆的标准方程(2)圆的一般方程22llxyDxEyF(3)圆的参数方程y(4)圆的直径式方程(xXi)(xX2)(yyi)(yxarcosrsin丫2)0(圆的直径的端77.圆的切线方程(

26、1)已知圆x2y2DxEyF0.若已知切点(x0,y(o)在圆上，则切线只有条，其方程是点是A(x1，yi)、B(x2,y2).73.圆系方程(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是(xXi)(xx2)(yy)(y丫2)(x不)(乂x°xyoyD(x。x)2(xx)(xx2)(yy)(yy)(axbyc)，其中axbyc0是直线AB的方程，入是待定的系数.(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,入是待定的系数.(3)过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆22C2:xyD2xE2yF20的交点的圆系

27、万程是2222xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2),入是待定的系数.74.点与圆的位置关系点P(x0,y°)与圆(xa)2(yb)2r2的位置当(x0,yo)圆外时，y)(yy)(x1x?)0D(xox)E(yoy)x°xyoyF0表示220过两个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为yyok(xx°),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为ykxb,再利用相切条件求b,必有两条切线.222(2)已知圆xyr.过圆上的Po(x0,yo)点的切线方程为2%xy°yr0斜率为k的圆的切线方程

28、为ykxr1k2.关系有三种若d,(aXo)2(by。)2,则dr点P在圆外；dr点P在圆上；dr点P在圆内.75.直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种：§08.圆锥曲线方程2278.椭圆冬当1(aa2b2xacosb0)的参数方程是dr相离0;dr相切0;dr相交0.AaBbC,A2B276.两圆位置关系的判定方法ybsin2279 .椭圆之自1(aba2b22一aPF1e(x)，PF2c80 .椭圆的的内外部，一.x2(1)点P(xo,yo)在椭圆a22内部坐当1.ab0)焦半径公式2ae(cx).设两圆圆心分别为O,Q,半径分别为1,2

29、,O1O2ddr1r2外离dr1r2外切r1r2dr1r2dr1r2内切4条公切线；3条公切线；相交2条公切线1条公切线；0dr1r2内含无公切线.y21(ab0)的x2y2(2)点P(xO,yo)在椭圆一2七1(ab0)的ab22外部碧当1.a2b281.椭圆的切线方程22椭圆今41(ab0)上一点P(x0,yo)ab处的切线方程是xoxa2(2)过椭圆x2ay0yF2yb21.1(ab0)外一点X0Xy°y2121.ab22双曲线4y-a2b21(a0,b0)与直线P(x0,y(J所引两条切线的切点弦方程是xoxyoy22T2-ab(3)椭圆1.2xa291(ab0)与直线Ax2

30、2_222ByC0相切的条件是AaBbc.2296.双曲线x241(aab2aPFi|e(x)|,PF2c82.双曲线的内外部(1)点P(x°,y0)在双曲线0,b0)的焦半径公式2a|e(x)|.c22_222AxByC0相切的条件是AaBbc.100.抛物线y22px的焦半径公式抛物线y22px(p0)焦半径CFx0p.2过焦点弦长CDx1x2x1x2p.22285.抛物线y22px上的动点可设为P(-y,y)2p或P(2pt2,2pt)或P(%,y0),其中y22px。.222y21(a0,b0)的内部与y01.bab(2)点P(Xo,y0)在双曲线2y'1(a0,b0

31、)的外部bXoNo72ab86.二次函数2b24acb24ayaxbxca(x一)(a0)的图象2a4a一，,b4acb2是抛物线：(1)顶点坐标为(,4acb)；(2)焦2a4ab4acb21点的坐标为(,)；(3)准线方程是2a4a83.双曲线的方程与渐近线方程的关系、一x2(1)若双曲线方程为a2y20y-x.ba2yb2渐近线方程:4acb21.4a87.抛物线的内外部点P(x0,y°)在抛物线y22px(p0)的内部(2) 若渐近线方程为22曲线可设为勺1ab2(3) 若双曲线与冬abxy-Xaa2J1有公共渐近线，可设为b22x-2a2yb2(0,焦点在x轴上,2y2px

32、(p0).点P(x0,y)在抛物线y22px(p0)的外部2y2px(p0).(2)点P(x0,y°)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0).点P(x0,y)在抛物线y22px(p0)的外部2y2px(p0).2(3)点P(x0,y°)在抛物线x2py(p0)的内部在y轴上).84.双曲线的切线方程22(1)双曲线与1(a0,b0)上一点abP(x0,y0)处的切线方程是警警1.ab22xy过双曲线221(a0,b0)外一点abP(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是2X2py(p0).2点P(X0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部2X2py(p0).(4

33、)点P(x0,y°)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).点P(x0,y)在抛物线x22py(p0)的外部2X2py(p0).88 .抛物线的切线方程(1)抛物线y22px上一点P(xo,y0)处的切线方程是y°yp(xxo).(2)过抛物线y22px外一点P(xo,yo)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).2(3)抛物线y2px(p0)与直线2AxByC0相切的条件是pB2AC.89 .两个常见的曲线系方程(1)过曲线fi(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是fi(x,y)f2(x,y)0(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22

34、/一，一1,其中kmaxa2,b2.当akbk2.2.kmina,b时，表不椭圆；当mina2,b2kmaxa2,b2时，表示双曲线90 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式ABJ(x1x2)2(yy2)2或ABJ(1k2)%薪|x1x21J1tan2|y1vkxb(弦端点AlxyJB(x2,y2),由方程消F(x,y)0去y得到ax2bxc0,0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).91 .圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线 F(x, y) 的曲线是F(2x0-x,2y0(2)曲线 F(x, y)轴对称的曲线是0关于点P(x0,y°)成中心对称y)0.0关于直线AxByC0成2B(AxB

35、yC)92 .“四线”一方程对于一般的二次曲线2.22一AxBxyCyDxEyF0,用x0x代x,用y0y代y2,用x0yxy0代xy,用x一代x，用22父代y即得方程2x°yxy0x0xy。yAx0xBCy0yDEF222,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.§09.立体几何93 .证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.94 .证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面

36、平行.95 .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.96 .证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.97 .证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行:y21(.1)cot为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.98 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)

37、转化为线面垂直.99 .空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律：入(a+b)=Xa+Xb.100 .平面向量加法的平行四边形法则向空间的推始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，名于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.101 .共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bw0),a/b存在实数入使a=入b.P、AB三院线urnOPAP|ABAPtABuuuluur(1t)OAtOB.uuuuuuAB|CDAB、CD共线且AB、CD不共线uuuuuirABtCD且AB、

38、CD不共线.0102.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数又x,y,使paxby.推论空间一点P位于平面MAErt的存在有序UITuHTUlT实数对x,y,使MPxMAyMB,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使uuuuuuruuuruuurOPOMxMAyMB.103 .对空间任一点O和不共线的三点AB、C,满uuuuuruuuuuur足OPxOAyOBzOC(xyzk),则当k1时，对于空间任一点O,总有P、A、BC四点共面；当k1时，若O平面ABC则P、A、RC四点共面；若O平面ABG则P、A、BC四点不共面.UULTuuuuurAEkC、D四点共面AD与AB、A

39、C共LUTUUTUUT面ADxAByACuuuruuuuuruurOD(1xy)OAxOByOC(O平面AB。.104 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.推论设QA、B、C是不共面的四点，则对空间彳uuu点1uu都存例h%u*序实数OPxOAyOBzOC.x, y, z,使105 .向量的直角坐标运算设a=(a1，a2,a3),b=(Db,b3)则a+b=（a1白且2b?ab3）;（2）ab=（a白且2b2,a3b3）；（3）入a=（a1，a2,a3）（入eR）；（4）ab=a1bla2b2a3b3

40、；106 .设A（x，y1，4）,B（x2,丫22），则uuruuruuuABOBOA=（x2为芈WZ乙）.107 .空间的线线平行或垂直rr设a(为，必，4)，ba2,丫2:2)，则r rrr r raPbab（b 0）Xx2V1Y2 ；4z2xyy2z1z20.109 .空间两点间的距离公式若A(x1，y，z1)，B(x2,y2,z2),则uuruuruurdA,B=|AB|4ABAB(x2x。2(V2y1)2(z2乙)2.110 .点Q到直线l距离h!"(|a|b|)2(ab)2(点P在直线l上，直|a|uuuuuu线l的方向向量a=PA,向量b=PQ).111 .异面直线间的

41、距离uuruud|CDrn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为|n|rn,C、D分别是1/2上任一点,d为l1,l2间的距离).112 .点B到平面的距离uuuuuIABnIrd|一r一|(n为平面的法向量，AB是经过|n|面的一条斜线，A).113 .异面直线上两点距离公式'222dhmnm2mncos.uuuruurd.h2m2n22mncosEA,AF.d,h2m2n22mncos(EAAF).,，一，一.,(两条异面直线a、b所成的角为0,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,-AEm,AFn,EFd).已知斜棱柱的侧棱长是i,侧面积和体积分别是&

42、;斗棱柱侧和V斜棱柱，它的直截面的周长和面积分别是C1和§,则&斗棱柱侧cJ.“斗棱柱S11.114 .球的半径是R则其体积V4R3,3其表面积S4R2.115 .球的组合体(1) 球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体：6棱长为a的正四面体的内切球的半径为a,外一6接球的半径为二6a.4116 .柱体、锥体的体积1V柱体一Sh(S是枉体的底面积、h是枉体的局)31V锥体-Sh(

43、S是锥体的底面积、h是锥体的局)3§10.排列组合二项定理117.分类计数原理(加法原理)Tr 1cnan rbr (r0,1,2, n).N1Tlim2Lmn.118 .分步计数原理(乘法原理)N1mlm2Lmn.119 .排列数公式n!一An=n(n1)(nm1)=.(n,me(nm)!*N,且mn).注：规定0!1.120 .排列恒等式1 1)at(nm1)Afm1；§11、12.概率与统计125 .等可能性事件的概率P(A)-.n126 .互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).127 .n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1+A2+-+A

44、n)=P(A1)+P(A2)+P(An).128 .独立事件A,B同时发生的概率P(A-B)=P(A)-P(B).129 .n个独立事件同时发生的概率AnAT；(4)nAAn；An；(5)a：1aTmAT1.(6)1!22!33!Lnn!(n1)!1.121.组合数公式mAm_n(ncn*一1)(nm1)_n!m!(nm)!*neN,mN,且mn).122.组合数的两个性质cm=c：m；(2)cnm+cnm1=cnm1.注：规定c01.P(A1A2一An)=P(A1)-P(A2)P(An).130 .n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)c：Pk(1P)nk.131 .离散型随机

45、变量的分布列的两个性质(1) P0(i1,2,L)；(2) RP,L1.132.数学期望X1P1x2P2LxnPnL133.数学期望的性质(1)E(ab)aE()b.(2)若B(n,p),则Enp.(3)若服从几何分布，且123.组合恒等式(1)cm(2)cm(3)cmnm1_1;1；mP(k)g(k,P)134.方差2Dx1E2P1X2EP2L2xnEPnL(4)Cnr=2n；r0crrc；1crr2crcnCnr1.(6)c0cnc：c；c：2n135.标准差二.D.136.方差的性质2Daba2D；(2)若B(n,p),则D若服从几何分布，且nP(1P

46、).q_2 .P负整数解有cn1个.nm1124.二项式定理(ab)nc；ancnan1bcn2an2b2cnanrbr5二项展开式的通项公式P(k)g(k,P)qk1P,则D137 .方差与期望的关系22cDbnE2E138 .正态分布密度函数1、2一6 e26 ,x>0)是参数，分别表示个体的平均数与标144.函数的夹逼性定理如果函数f(x) , g(x) , h(x)在点xo的附近满足:(1) g(x) f(x) h(x);(2) lim g(x) a, lim h(x) a (常数)，则 x x)x x)139 .标准正态分布密度函数,x140 .回归直线方程§abx,其中nxixyiyxyi nx y i 1i1limf(x)a.Xx0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立145.几个常用极限1 n(1) lim-0,lima0(|a|1)；nnn/C、.11(2) limxx0,lim.x%x%xx146.两个重要的极限nn22xixxi1i1ybx141.相关系数2nx(1)xim0sinxx,、1(2)lim1一xVe(e=2.718281845).xixyiyi1nn22(xx)2(yiy)2i1i1xxyyi1nnJ(x2nx2)(V：ny2).i1i1|r|<1,且|r|越接近于1,相关程度越大；|r|越接近于0,相关程度越小.147.