高等结构力学2-1

1、高等结构力学汪时机西南大学 工程技术学院Email:电话考书籍1.包世华包世华 结构动力学结构动力学 武汉理工大学出版社武汉理工大学出版社2.龙驭球龙驭球 结构力学教程（） 高等教育出版社3.王焕定王焕定 结构力学（） 高等教育出版社主要内容1.绪论2.单自由度体系的振动分析3.多自由度体系的振动分析4.结构动力学中的数值方法第二章 单自由度体系的振动 单自由度体系动力分析的重要性：分析比较简单，可以对许多实际的动力学问题进行初步的估算，具有实际应用价值。多自由度体系动力分析的基础。主要内容2.1 运动方程的建立2.2 无阻尼自由振动 2.3 有阻尼自由振动 2.4

2、对简谐荷载的响应 2.5 对周期荷载的响应 2.6 对冲击荷载的响应 2.7 对一般动力荷载的响应 2.8 阻尼理论与阻尼比的量测2.1运动方程的建立 1、水平振动my.mky(t)作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力：荷载 、弹簧弹性力 和阻尼力 ；惯性力 ( )p tsfIfDf 弹性力 等于弹簧刚度k与位移y(t)的乘积，与位移方向相反： 惯性力 是质量m与加速度 的乘积，与加速度方向相反： 阻尼力 是阻尼系数 与速度 的乘积，与速度方向相反:( )sfky t ( )fmy t c( )y tsfIfDf( )y t( )Dfcy t 注：坐标轴y的坐标原点取在弹簧自然放松的位置；

3、位移 ，速度 、加速度 和动载荷 均以向右为正方向。( )y t( )Dsfffp t根据力的平衡条件得:( )y t( )y t( )p t( )( )( )( )my tcy tky tp t单自由度体系的运动方程 2、竖向振动 质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程，考虑重力的影响。mky(t)13 根据平衡条件，体系的振动方程： ( )( )( )my tcy tky tp tW( )( )sty ty t 是由重力W产生的静力位移，是不随时间变化的，即： 是动力位移，由静力平衡位置开始计算。 ststWk)(ty)(ty质量块m的总位移 分解为两部分：总位移 代入，弹簧力部分可写

4、成：( )( )sstfky tkky t ( )( )( )( )my tcy tky tp t( )( )sty ty t 相对于静力平衡位置所写出的振动方程不受重力影响，即重力对动力位移无影响。 振动方程：注：1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移即为动力响应。2、在求总绕度和总应力时，要把动力分析的结果与静力分析结果相加。 3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动；2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备基底的运动等等。 地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移 表示。 )(

5、tyg地震动问题的简化模型 假定：（1）刚架内水平横梁是刚性的，且包含了结构所有的运动质量，（2）柱无重量且在轴向不能变形，抵抗刚架侧向位移的恢复力由两根柱的侧向刚度来提供。 0SDIfff一个自由度即可描述刚架的运动情况。 刚架体系的平衡方程可写为：弹性力 和阻尼力 与前相同而惯性力 则由下式计算：sfDfIf( )Itfmy t( )ty t表示横梁相对于参考轴的总位移，即：( )( )( )tgy ty tyt( )( )( )( )0gmy tmytcy tky t( )( )( )( )( )geffmy tcy tky tmy tPt 或0SDIfff ：等效荷载，即在地面加速度

6、影响下，结构的响应，就和在外荷载 作用下的响应一样，只是等效荷载 等于质量和地面加速度的乘积。负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。)(tPeff( )gyt)(tp运动方程平衡方程)(tPeff2.2 无阻尼自由振动 自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形态称为自由振动。振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后，质点将围绕静力平衡点作自由振动。m y1）自由振动微分方程的建立(依据

7、原理：达朗伯原理) (DAlembers principle)mky(t)y(t)a、刚度法(stiffness method)kmymky从力系平衡建立的自由振动微分方程： 0.( )mykyamymy1、运动方程建立及其解的形式b、柔度法(flexibility method)从位移协调角度建立的自由振动微分方程。取振动体系为研究对象，惯性力：柔度系数与刚度系数互为倒数，所以，振动方程为：=1/kIfmy () .( )Iyfmyb 0myky0myky令mk /22( )( )0y ty ttCtCtycossin)(21齐次微分方程，其通解为：系数 和 可由初始条件（initial c

8、ondition）确定。 1C2C0t0y0v00(0),(0)yyyv0201,/yCvC设在初始时刻 时，有初始位移 和初始速度 ，即： 求得：tytvtycossin)(00解振动微分方程1)没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的规律变化；2)没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按 的规律变化；3)既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态按方程 进行。2200()(/)ayv00arctanvytycos0tvsin0比较两式得： tytvtycossin)(00( )sin()y tat( )sin()y tat简谐振动的标准形式a:振幅， :初相位角。Amplitude of v

9、ibrationinitial phase angley(t)ty0y0y(t )tv0/v0/TtaaT/tytvtycossin)(00( )sin()y tat T:自由振动的周期，单位为秒（s）。 :频率或工程频率，表示单位时间内的振动次数，单位为1/秒（1/s），或称为赫兹（Hz）。 :圆频率或角频率，表示在 个单位时间内的振动次数。/2T)()/2()(tytyTtyTf/1f22当时间t 增加一个 时，上式保持不变，即： /2T2、结构的自振周期经过一个周期T后，质点又回到了原来的位置，因此周期T称为自振周期或固有周期（natural periold）)()/2()(tytyTt

10、y计算自振周期的几种形式：（1）由周期和圆频率的定义可知：kmT2（2）将 代入上式，得：k1mT2gWT2gTst2gWm/（3）将 代入上式，得：stW（4）令 ，得： 结构自振动周期重要性质： 自振动周期与结构的质量和刚度有关，而且只与这两者有关，与外界的干扰因素无关。 干扰力的大小只能影响振幅a的大小，而对结构自振周期T的大小没影响。 自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。 自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。 a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差

11、很大； b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致，地震中常出现这样的现象。 圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为固有频率或自振频率（natural frequency）。 stgWgmmk1圆频率计算公式的几种形式： 例2-1 悬臂梁长度L=1米，其末端装一重量Q=1221N的电动机，梁为钢梁，弹性模量E=2.11011N/m2，惯性矩I=7810-8m4，与电动机重量相比梁的重量可以略去。求结构的自振圆频率及周期。 例题 解：悬臂梁在竖向力Q作用下，端部的竖向位移为 EIQLst3311833

12、33 2.1 1078 109.862.8(1/ )1221 1.0stgEIgsQL220.1( )62.8Ts自振周期：自振频率：例2-2 ： 求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。解：使横梁发生单位位移所需外力k为: 3122hEIk324mhEImk自振频率： 例2-3：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求EIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732EIl19233311481mlEIm3227768

13、1mlEIm3331921mlEIml/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得：结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率其自振动频率也越大。也越大。123:1:1.512:2l/2l/2ml/2l/2k1ACB396CBEIQl3396)2/(12lEIlEIQCAQCAQCB3192CACBEIkQQl3192mlEImk用刚度法：例2-4:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3315hEIk315mhEImk解：274l272l9l113l33145(2)63 273 94374llll llEIEI3143745EImmll/32l/3m解：例2-5 :求图示结构的自振频率。l/2lm12l311212()2 2 2 3 22 2 2 38l llllllEIEI318EImml解：例2-6 :求图示结构的自振频率。h1例2-7 :求图示结构的自振频率。解法1：求 k=1/hMBA=kh = MBCk1hmI=EIBAClhEIlEI3323kEImm