正弦函数余弦函数的性质（课堂PPT）

1、11.4.2正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质第一课时第一课时2周期性周期性31.每每间隔相同的时间间隔相同的时间就会出现相同的现象称就会出现相同的现象称为为周期现象周期现象周期现象周期现象 2.现实生活中有很多周期现象现实生活中有很多周期现象: 每隔一年，春天就重复一次，因此每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春春去春又回又回”是周期现象，一年是它的周期；奥运会每是周期现象，一年是它的周期；奥运会每隔四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象，隔四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象，4年是它的周期等等。年是它的周期等等。4思考：1。今天是。今天是2013年年11月月25日，星期一

2、，那么日，星期一，那么7天后是星期几？天后是星期几？30天后呢？为什么？这是天后呢？为什么？这是周期现象吗？周期现象吗？2.我们学习的函数具有周期现象吗？如果有，我们学习的函数具有周期现象吗？如果有，我们就说它是周期函数，具有周期性。我们就说它是周期函数，具有周期性。今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周期性期性5一、一、 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x),f(x),如果存在一个非零如果存在一个非零的常数的常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值时，都取定义域内的每一个值时，都有有f(x+f(x+T T)=f(x)=f(x)，那么函数，

3、那么函数f(x)f(x)就叫做就叫做对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),f(x),如果在它所有的周期如果在它所有的周期中存在一个中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小的正数就那么这个最小的正数就叫做叫做f(x)f(x)的的非零常数非零常数T T叫做这个函数的叫做这个函数的说明：我们现在说明：我们现在谈到三角函数周期谈到三角函数周期时，如果时，如果不加特别说明，一般都是不加特别说明，一般都是指的最小正周期。指的最小正周期。6知识回顾知识回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象正弦曲线、余弦函数的图象思考思考1 1：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗？：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗？x6yo-1

4、2345-2-3-41余弦曲余弦曲线线x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲线线7XX+2yx024-2y=sinx(xR)自变量自变量x增加增加2时函数值时函数值不断重复地不断重复地出现的出现的oyx48xoy612二、三角函数的周期性二、三角函数的周期性: :8xyo-2 - 2 3 4 结合图像：在定义域内任取一个 ，k2由诱导公式可知： 正弦函数正弦函数)(sinRxxyxxkxsin)2sin()()2(xfkxf 正弦函正弦函数数 是周期函数，周期是是周期函数，周期是)(sinRxxy即9思考思考2：余弦函数是不是周期函数？如：余弦函数是不是周期函数？如果是，周期是多少？果

5、是，周期是多少？性质性质1 1：正弦函数：正弦函数y=sinxy=sinx，余弦函数，余弦函数y=cosxy=cosx都都是周期函数，且它们的周期为是周期函数，且它们的周期为)0,(2kzkk由诱导公式可知：xkxcos)2cos(即)()2(xfkxf最小正周期是最小正周期是210例：求下列函数的周期：例：求下列函数的周期：cosx是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数. .(2)sin(2 )sin(22 )sin 2() ,sin2xxxyx Q是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数. .解解:(1)对任意实数对任意实数 有有 RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2

6、sin)2(,cos3) 1 ()2()2sin(3sin3)(xfxxxfx11(3)112sin()2sin(2 )262612sin(4 ),26xxxQ12sin()26yx是以是以为周期的周期函为周期的周期函数数12你能从上面的解答过程你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些周期与解析式中的哪些量有关系吗？量有关系吗？2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy 函数 周期sin()yAx2TT4T?T 213解：解： sinfxAxQsin2Axsin2Ax2sinAx2fx2Tsin(),yAxxR探求:函数的周期公式14s

7、in(),cos(),(, ,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT 一般地，函数及函数其中为常数 且的周期为归纳归纳:15P36 练习练习1练习2：求下列函数的周期课堂练习：课堂练习：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin() 4 (,cos21) 3 (,4cos) 2 (,43sin) 1 (24823334T242T221T223613T16当堂检测当堂检测 （1 1）下列函数中，最小正周期是的函数是（ ）2cos21sinxyBxyA、xyCcos、xyD2cos、（2 2）函数xysin的最小正周期为_。0),3sin(xy3_（3 3）已知函数的周期为，则17练习题

8、练习题.求下列函数的周期：求下列函数的周期：32T6T8T2TTxy3sin) 1 (3cos)2(xy 4sin3)3(xy )10sin()4(xyRxxy),32cos()5(18(1)周期函数、周期及最小正周期的概念.；课堂小结课堂小结 -本节课所学知识方法：(2)正（余）弦函数的周期.(3)函数函数 y=Asin(x+) 及及y=Acos(x+) （其中（其中A ,为常数，且为常数，且 A0, 0 ）的周）的周期是期是:2 (0)T (4)求周期的方法：定义法、公式法19课外作业：课外作业： P46 习题习题1.A组组 第第3题题 201.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时21奇

9、偶性、对称性22复习回顾复习回顾 1.周期函数的意义: 若若f(x+T)=f(x)，则，则f(x)就是就是T就是它就是它的的 2. 3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？ 什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？sincos ()yxyx xR与周期是2最小正周期T=2()-f(x),fx奇函数的图像关于原点对称()f(x)fx，偶函数的图像关于y轴对称23正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？x22322523yO23225311x22322523yO23225311一一. .奇偶性奇偶性24(1) ( )sin

10、,f xx xR xR 任意任意()sin()fxx sin x ( )f x ( )sin ,f xx xR 为为奇奇函数函数(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxx cosx ( )f x ( )cos ,f xx xR 为为偶偶函数函数25x22322523yO23225311PP正弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222LLx 对称轴：对称轴：(,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)LL 对称中心：对称中心：二、对称性二、对称性,2xkkZ (,0)kkZ 26余弦函数的图象余弦函数的图象, 0, 2LLx 对称轴：对称轴：35(,0),(

11、,0),(,0),(,0)2222LL 对称中心：对称中心：PPx22322523yO23225311,xkkZ (,0)2kkZ 27例题解析例题解析例例1.函数函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：经验证，当解：经验证，当.12C x 时时232x12x 为对称轴为对称轴28 例例2.求函数求函数 的对称轴和对称中心的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令则则sin(2)sin3yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称

12、轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0) ,kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0) ,Z62kk 29解解（1）令）令则则的对称轴为的对称轴为解得：对称轴为解得：对称轴为的对称中心为的对称中心为对称中心为对称中心为练习：练习：求函数求函数 的对称轴和对称中心的对称轴和对称中心1cos()24yx 421xzzcos1cos()24yx zycoskz kx421Zkkx,22zycos)2(zkk),0 ,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0 ,22(Zkkx,22我练我掌握我练我掌握301.正弦函数正弦函数（1

13、）对称轴：对称轴：（2）对称中心：对称中心：课堂小结：课堂小结：sin ,yx xR（3）奇函数奇函数2.余弦函数余弦函数cos ,yx xR（1）对称轴：对称轴：（2）对称中心：对称中心：（3）偶函数偶函数,2xZ (, 0 ) ,Z ,xkkZ (,0)2kkZ 31作业 求下列函数的对称轴、对称中心： （1） （2）sin(2 x),4yxR1cos(),26yxxR32第三课时33单调性、最值单调性、最值34x22322523yO23225311复习：正弦函数对称性复习：正弦函数对称性对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：,2xk k Z (,0)kkZ 35复习：余弦函数对称性复习：余

14、弦函数对称性对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：x22322523yO23225311,xkkZ (,0)2kkZ 361、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数.)()(21xfxf复习：函数的单调性复习：函数的单调性函数函数( ),yf x若在指定区间任取若在指定区间任取 ，12x x、且且 ，都有：，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是减减函数函数.)()(21xfxf增函数：上升增函数

15、：上升减函数：下降减函数：下降37探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性25232223,25，、，、 当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357,22222 222、，、 ， 、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yO2322531138归纳：正弦函数的单调性归纳：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间)(22,22Zkkk都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而

16、在每个闭区间而在每个闭区间32,2()22kkkZ上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。39探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性 3 , 2 0 2 3 ,4 LL、，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11 2 , 0 23 LL、，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，x22322523yO2322531140归纳：余弦函数的单调性归纳：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期

17、性知：其值从其值从1减小到减小到1。在每个闭区间在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，2,2(kZ)kk 其值从其值从1增大到增大到1 ；在每个闭区间在每个闭区间2 ,2(kZ)kk都是都是增函数增函数，41探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：2x当当 时，时， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x当当 时，时， 有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零点：零点：)(Zkkx42探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：0 x当当 时，时， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x当当

18、 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零点：零点：)(2Zkkx43例例1. 写出写出下列函数下列函数取最大、最小值时的自变量取最大、最小值时的自变量x的集合，并写出的集合，并写出最大、最小值分别是什么最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，的集合，就是使函数就是使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |2,x xkkZ 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最小值

19、的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2，最小值是，最小值是-1+1=0.cos1,yxxR单调性的应用单调性的应用 ： 一、求最值一、求最值44例例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合

20、是3sin ,yt tR |2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ 同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2 ,yx xR 45练习练习1：求使下列函数取得最大值、最小值的自变：求使下列函数取得最大值、最小值的自变量量X的集合，并写出最大值、最小值各是多少？的集合，并写出最大值、最小值各是多少？（1）(2)2sin ,yx x R2 cos ,3

21、xyxR 解：(1) 函数函数 取得最大值的自取得最大值的自变量变量X的集合是的集合是 使函数函数 取得最小值的自变量取得最小值的自变量X的集合是的集合是 |2,2x xkkZ|2,2xxkkZ 函数函数 的最大值是的最大值是2 函数函数 的最小值是的最小值是2(2)使函数函数 取得最大值的自变量取得最大值的自变量X的集合是的集合是 |6,x xkkZ |36,x xkkZ 使函数函数 取得最小值的自变量取得最小值的自变量X的集合是的集合是函数函数 的最大值是的最大值是3函数函数 的最小值是的最小值是146练习2：观察正弦曲线、余弦曲线，写出满足下列条件的区间x22322523yO23225311x(1)sin 0:x22322523yO23225311(0,) 2k 2k (2)sin0:x ()0, 2k 2k (1)cos0:x ()22, 2k 2k kZ kZ kZ (2)cos0:x (22,3) 2k 2k kZ 47练习3：观察函数 的图像，完成课本40页4题x22322523yO232253444sinx,x , y 选B48分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑自变量是否在同一单调区间上，若是，即可