现代控制理论-第6章-多变量输出反馈控制和解耦控制

1、第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制 状态反馈控制的确是线性系统综合的有力工具，但通常需用状态观测器解决状态变量测量问题，这并非是简单的事，而输出变量一般是可测量的，设计人员遇到的大多数系统可用输出量至输入的反馈信息来改善系统性能。倒立摆控制点击观看 倒立摆稳定控制就是通过测量倒立摆的摆杆的角度、角速度和其位移和速度来设计稳定控制系统的。 导弹的姿态控制是通过弹上的传感器测得导弹的姿态角和角速度来设计稳定控制系统。 航天器控制 点击观看 导弹控制 点击观看 航天器的姿态控制是通过航天器上的敏感器测得航天器的姿态角和角速度来设计稳定控制系统。 基本思想： 而对于一个多变量控制系统来说，无论采用状

2、态反馈还是输出反馈，其反馈矩阵诸元的选择均包含了很大的自由度，为了简单有效地配置多变量系统的极点，可以人为地限制反馈矩阵的结构形式。6.3 PID输出反馈的设计 在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出反馈形式。水箱PID控制系统转台PID控制系统 对于许多单输入-单输出系统，为满足极点配置需求，基本上都可采用PID输出反馈；而现在对于多输入-多输出系统，同样为满足极点配置需求，是否也可以采用PID输出反馈来设计控制规律呢？设能控能观测线性多变量受控对象动态方程为 xAxBuEdyCxFd，(6-65) 式中 为 维状态向量， 为 维输入控制向量， 为 维输出向量， 为 维扰动向量。采用下列PI

3、D输出反馈控制规律：xnupyqd tee tuvPyQdtRyevy，(6-66) 式中 为 维指令向量， 分别为比例、误差积分、微分输出反馈矩阵，其中 位于反馈通路中， 位于前向通路中。 设计要求是：1.闭环极点处于复平面规定位置，以满足瞬态响应需求；2.稳态时，输出向量 准确跟踪指令向量 ；3.对于终值是常数的任意扰动 ，不影响稳态输出。PD输出反馈可满足第一项要求，而为满足第二、三项要求，需引入积分项。但积分项的引入将增加系统阶数，定义积分器输出 为 vpPQR、 、PR、Qyv d tz00edtttdtzvy(6-67) 选择 为附加的状态向量 ，或(6-65)与式(6-67)联立

4、构成 阶增广受控对象动态方程为*0*xA xB uI vE dyC xFdq维znq(6-68) *0 xA0B0ExABIECC0zC00IF，式中 为了配置极点，增广对象 应具有能控能观测性，这就要求原受控对象具有能控能观测性，以及矩阵 具有满秩 ，后一条件包含着 （即输入向量维数至少与输出向量维数相等）及 。 *0,ABCABC0nqpqqrankC为了工程设计的方便，PID控制器设计通常分三步进行。 第一步：施加初始控制规律 cuQzu(6-69) 作用于增广对象 ， 为任意的满秩 矩阵，结果得到新的增广系统 *0,A B CQpq*1*cxA xB uI vE dyC xFd(6-7

5、0) 式中 应具有相异特征值，于是保证了 是循环的。对于系统 ， 至 的传递函数矩阵 为*1ABQAC0*1A*1,A B Ccuy 1sG *11*111*11adjadjssssssCIABWGCIABHIA (6-71) 式中 *11sdetHsIA *11sdetWCsIAB(6-73) (6-72) 若原受控对象 是循环的，则令 。QIA第二步：以单位秩反馈控制规律 cc uqkzu(6-74) 作用于系统 ，将 个极点配置在希望的规定位置，式中 为 向量， 为 向量， 为 向量。所得闭环系统 为*1,A B C1qq1qk1qcu1p*2,A B C*2*cxA xB uI vE

6、dyC xFd(6-75) *2 AB Q qkAC0 或由式(6-67)及式(6-70)导出闭环系统为 *2*cxA xB uI vE dyC xFd(6-76) 式中*12* xBAB qkxABz0C0IECC0IEIF， 具有相同的特征值 。*12AA与11,q 至 的传递函数矩阵 为 2sGcuy 11*22222sssssWGCIABCIABH(6-77) 式中 *222detdetsssHIAIA *222adjadjsssWCIABCIAB(6-78) (6-79) 其闭环特征多项式 可由分块矩阵的行列式恒等关系 2Hs1112111222111122122detdetdetA

7、AAAA A AAA(6-80) *12*1*111*111*1111sdetdetdet1detdet1det11sqqqqqqsssssss sIAB qkHCsIsIAsICsIAB qksIAICsIAB qksIAkCsIAB qHkWq展开为(6-81) 由于 是循环的，故可任取 使 能控，根据 个希望闭环极点位置应满足*1Aq*1qAB1q 1111,1iiiiqHkWq0(6-82) 来确定 。k第三步：以单位秩反馈控制规律 c upkyqkzrky(6-83) 作用于系统 ，将其余 个极点配置在希望位置，并保持已配置的 个极点不可改变。式中 均为 向量， 为 向量。所得闭环系

8、统为 *2,ABC3p1qpqr、 、1pk1q*33*xA xI vE dF dyC xFd(6-84) 式中*3 R ABpkCRB Q qkqkAC0*3R EBpkFRBrkFEFF0，1RIBrkC闭环特征多项式为 *332222sdet11ss1ssrsHsIAHkWpkWqskWrkCB(6-85) 为保持个极点位置不变，需令 201,1iiqkW(6-86) 以便选择 而与 无关。kpqr、 、验证可知 ，其秩为1，故 只含一个独立的列向量，设以 表示，故式(6-86)又可表为 *2det1,1qiqIA， 2iWiw01,1iiqkw(6-87) 值得指出，这样选择 将使单输

9、出系统 变成不能观测的，这是由于在函数向量 中产生了零极点对消，对消的极点即 。 k*2,AB kC 22ssWkH11,q一个旦确定 以后，其余 希望极点可通过求解下列 个线性方程k3p3p22221,31jjjjjjjqpqHkWpkWqkWr0(6-88) 确定 来实现配置。pqr、 、原受控系统 所需的PID输出反馈控制规律为 , ,A B C0edtt uPyQRy (6-89) 式中 分别为 单位秩比例输出反馈矩阵与微分输出反馈矩阵， 为 满秩 的积分反馈矩阵，将 个闭环极点配置在规定位置。对于 的多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全部 个闭环极点；对于 的多变

10、量系统，则有 个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的 有关。实际上通常是 个小的数目，通过重复设计 及 ，从而重新设计PID控制器，能够得到满意结果。某些 的系统，利用PID控制器可能得不到一个稳定的闭环系统，这意味着将需要一个更加复杂的控制器。 PpkQQ qk qkRrkPR， 与pqQpqq31pq3npnq3np31npQq、31npQ3np为配置极点所需的PID控制器也可以完全位于前向通路中，即 0edtt uPeQRe (6-90) 现在来考虑式(6-84)所示闭环系统的稳态特性。只要闭环系统稳定，对于阶跃指令向量 ，稳态时有 ，即稳态输出向量 ，其稳态误差为零。另外，对于终值为

11、常数的任意扰动d，也有 ，即 ，故稳态时输出向量不受d的影响。值得指出，在系统参数有大的变化而闭环系统仍能稳定，上述稳态特性得以保持的意义上来说，PID控制具有鲁棒性。 1ttvv0z yv0z yv 为了改善闭环系统的瞬态响应，可将求得的PID控制器矩阵 修改为 ，这里 称为调谐参数。独立地改变 ，可分别研究比例项、积分项、微分项对瞬态响应的影响。一般情况下，通过合适地选择极点位置及调谐参数，总能获得满意的瞬态响应。 上述PID控制器的设计方法、能满足许多实际多变量系统的瞬态响应和稳态特性需求。PQR、 、PQR、, , 01000010010000100000001002010000000

12、100124155311xxuyx试设计PID控制器，将闭环极点配置在 。1, 2, 3, 4, 5, 1j 例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为解 该受控对象为双输入-双输出系统， 2pq543242det3515412353433 (1)122ssssssssssssssssIA故不稳定。 已知 能控能观测，且引入积分器以后的增广系统矩阵 , ,A B Crank7ABnqC0故可用 任意配置极点。由于 ，PID控制器可任意配置 个闭环极点，其设计步骤如下：第一步：令 ，已知 是循环的，取 。增广受控对象传递函数矩阵 为PQR、 、356npnqcuQzuA1Q 1sG

13、*111*1126543225432765432adjdet3395269123513103111sssssssssssssssssssssssssCIABWGHIA式中*1 BABQABCC00C0， 第二步：令 ，将 个即1个极点配置在希望位 置 处，任意选择 ，由式(6-82)有 ccqkuzu1q11 1rq1122111113301211121Hkkkk kWq任取 ，故 。所得系统传递函数矩阵 为 1214kk ，则14k 2sG *222*2226543235432765432adjdet33395426912234181726332sssssssssssssssssssssss

14、ssssCIABWGHIA式中 ，它将一个极点配置在规定位置 。*2 AB Q qkAC01 第三步：令 ，使极点 得以保持且配置另外 个极位于 处。为保持极点 ，需满足式(6-87)，即 c upkyqkzrky 13p2, 3, 4, 5, 1j 11222202i12kkkk kW任取 ，故 。闭环特征多项式由式(6-85)给出为1211kk ，则11k 654322221232222122121212221222691299s11115992231229112221pqrprrsssssrrrppqrrppqqssrrqqr H该式表明有一闭环极点位于 而与 无关。为了适当选择 以配置其余六个闭环极点，可令中括号内的表达式与六个希望极点的特征多项式pqr、 、1pqr、 、26542223452216101324570548240ssssssssssss相等，即求解下列线性方程组：12121201000161400010110107090013153361909257256522190