2017年全国高中数学联赛预赛浙江模拟试题

1、2017年浙江省高中数学竞赛模拟试题一、填空题（每题8分，共80分）l在多项式a-iya+2严的展开式中式的系数为一.2 .已知1明卢（5一3）=1口8行5,则实数a ='.3 .设/（© = / +而+ 6在0,1中有两个实数根，则/一2b的取值范围为.in f n sin3 jr-cos2 x +COS2 xcos2 y-sin2 xsinJ y 1 mrl4,设工,ye匾，.ft= = H x-y = _.sin（j： + y）5 .已知两个命题，命题p:函数八f） = logM E>0）单调递增;命题小函数 £（x） = x2+ + l>0（xe

2、R）.若pyg为真命题，/?1为假命题,则实数我的取 值范围为.6 .设S是0”）中所有有理数的集合，对简分数？e，（pM = 1,定义函数 8P里）二里里，则幻=2在，中根的个数为.P P37 .已知动点户，历，N分别在,轴上，IMI1和圆（x-3）:+（-4）2=3±,则俨M + |/W|的最小值为.区已知棱长为I的正四面体F-XSC,尸C的中点为D,动点E在线段4。L 则直线BE与平面月日C所成的角的取值范围为.9*已知平面向量a7b,c f满足我= 2, lc =3 , 0<2<1.若"c = 0,则 a - Xb- -A）c所有取不到的值的集合为._2

3、 j 工 < o ' fffi/W + 2Vl-x2 +/（T）-2Vl-x2 -2g 4 = 0 x2 - 1,尤 > 0、有三个根$<x2 <x3.若马-3=2（/ -苞），则实数d=0二、解答题11 .(本题满分 20 分)设，(x) =,<+(幻=J/+了工(x), = 对每个，求<(x) = 3x的实数解.12 .(本题满分20分)已知椭圆工+亡=1的右焦点为尸，过尸的直线y = A(x-2) 62交椭恻于尸，。两K(£工0).若尸。的中点为N, O为原点，直线ON交直线x = 3于(1)求股 的大小； (2)求 丝 的破大值.M

4、F13 .（本题满分20分）设数列叫 满足：an+-2an = 2y |勺区2, = 1,2,3产.证明：如果q为有理数，则从某项后q为周期数列.证：（1）若为有理数，则/为一个有理数数列.（2）对于任意的，设勺=2,（乂）=1 ,由已知条件，有且仅有下述一个等式 成立14.（本题满分30分）设%,%,%也也也£2、证明：存在不全为零的数4,4,4 g0,1,2,使得+4% + 4%和她+她+她同时被3整除.2017年浙江省高中数学竞赛参考答案一、填空题(每题8分，共80分)1 .在多项式(x-l)3(x + 2)io的展开式中d的系数为一.解答：d 系数为 27c：-3-26C：

5、+ 3-2SC：-24cl =-4128 .2 .已知 logy(5a-3) = log则实数 a =.解答将原式化简为log7(5ti-3) = log , 5 o由于/Cr) = log7(5x-3)为上的增函数，g(x) = logs(/+ l)为R上的增函数，且/(2) = g(2) = l。因此可得实数3 .设/。) = /+水+分在0, 1中有两个实数根，则的取值范围为.2解答因为/(幻=/+d+力=5+与+6-在0中有两个实数根，所以24满足 /(0) = /)0,/(l) = a + /)+ l>0,o2-4/)>0,0<-l.由此可得到a?-2的取值范围为0

6、,2 o彳小 sin2x-cos2x + cos2.vcos2 v-sin2xsin2 y . I11H4 .设 x,yeK ,且： = 1,则 x _ y =.sin(x + y)解答： 由于 sin2 x - cos2 x + cos2 x cos2 j - sin2 xsin2 y = sin(x + y) sin(x - y) 且 sin(x + y) # 0 ,所以sin(x-y) = I。故 x-y = 24+ , k eZ o5 .已知两个命题，命题p:函数/(x) = log“K (x>0)单调递增：命题q:函数 g(x) = x; +av + l >0 (xeR)

7、.若pvq为真命题，p八夕为假命题，则实数"的取 值范围为.解答：命题p成立当且仅当a>命题g成立当且仅当若pvq 为真命题,八夕为假命题，则ae(-2Ju2,+oo).6 .设S是（0最）中所有有理数的集合，对筒分数里wS,（p,g） = l,定义函数 8P八£）=空1,则/（© = 在S中根的个数为P P3解答 由于/(x) = 3，令 q = 2m-l,p = 3m , m wZ ,则有 0 <1 < ? 1 < , < g33ni 8 2由此检验可得方程的根的个数为5.7 .已知动点?，A/,N分别在x轴上，圆（x-l）2+G

8、，-2）2=l和圆 （x-3）、（y-4）2=3 上，则|PM + pN| 的最小值为.解答：圆（x-l）2+（y-2）2=l的圆心坐标为（12）,圆（x-3）2+（y-4）2=3关于 x轴对称的圆的圆心坐标为（3, -4）.则I尸M + PM 的最小值为 7（3-1）2+（-4-2）2-1 -73 = 2710-5/3-1 o8 .已知棱长为1的正四面体0-48C,的中点为。，动点E在线段/I。上, 则直线与平面714c所成的角的取值范围为.解答：记6c中点为。点，以。为原点，/仁为x轴正向，为了轴正向，建 所以%噜净。从而可设硝亭等恪）3Y1）， 于是砺心+；用-等，步。设所求角为，则立空

9、间直角坐标系，则40,坐,0), 5(-1,0,0), eg,0,0), P(0,2 产717tan2 0 =-；o 所以 cot2 = 6/ 2 -6z 1 += 6(r 1f+22一,7厂一+ 12222这里最后一个不等式是由于单调性以及尸21。因此有OVtan。4孚, 即 10, arctan9 .已知平面向量1，满足同=明=2用=3, 0<4<1.若=" = 0'则解答 将向量加之的起点平移至原点。，再以&Z分别为XJ轴正向建立平面直角 坐标系。则向量超+ (1 -2。对应的点坐标为P(243(1T)。于是。=而I7二而3,0匕,=答。而口一北一(

10、1一九吊表示的是点尸到单位 圆危上的蛇高,则的最大值为4,最小值为卷J万-I.因此所有取丕到的值的 集合为-1)54,中») o_2K x < 0Ji10 .已知/(x) = I=''方程/(x) + 2j12 +，(x)-2jl-x2 -2 上4 = 0有三个根X <2 <&.若*3-2 =2。2-*1)，则实数"=o 解答：设g(x) = 2jZ ,定义域为74x41,max f(x),g(.r) = -(/(x) + g(x) + |/(.v)-g(x)|).方程可变形为 max(/(x),g(x) = ax + 2.由-2x

11、N2ji二P'得x«-孝，从而有max(/(x),g(x) = <-2x,xe-l,-y-2V1-X2 xe-yj于是 一 2x = at +2nx = ( -1,可得 04a42&-2 ;4 + 22/、4 a2l"x2 =&t + 2 = x = 0,x =；o 由于$Xr-x, = 2(xy -x),可得cr +40 H mn 42a.2=3%即,有V17-3 a =2二、解答题11 .(本题满分 20 分)设/(x) = Jx? +32 ,工.(x) = Jx' 十9Z,(x)， = L2,.对每个，求，(x) = 3工的实数解

12、.证明：利用数学归纳法.(1) x = 2是£(x) = 3x的解.5分当 n=l 时，x = 2 是工(x) =+32 =3的解。当 n = k 时，设，(2) = 6,则加= j + .(2) = 6。由此可得x = 2是，(x) = 3x的解(可于所有的n) .10分3当 x>2 时，f99(x)<3x<-x2.当 n =1 时，/(x) = *7x24-32 <3x<x2 (x>2).当 n 二 k 时，iifk(x)<3x<x2,则加(x) = J/+g/(x) < J+8/ =3x。由此可得戈>2都不是，(x)

13、= 3x的解(对于所有的n) 15分(3)当 0<xv2 时，fn(x)>3x.当 n =1 时，f(x) = Vx2 + 32 > Vx2 +8x2 = 3x ( 0<x<2).当 n 二 k 时，设，(x)>3x,则，+(/) = J/+与，(x)>G"7F>3x。由此可得0<x<2都不是，(x) = 3x的解(时于所有的n).因此，对每个，) = 3x的实数解为x = 2o 20分2i12.（本题满分20分）已知椭圆三十亡=1的右焦点为尸，过户的直线y = k（x-2） 62交椭圆于P,0两工（AwO）.若P0的中点为

14、N, O为原点，直线ON交直线工=3于M.（1）求NMFQ的大小： （2）求丝的最大值.MF解答：（1）联立（不十了 ,可得（3犬+ 1）/-12公x+12、6 = o. y = k（x-2）设P点的坐标为（七，匕,），Q点的坐标为（外,乂），则12K12K6P Q 3 公+ 1 I 3r + 1_4k于是有 /+筋="(x0+%)-4 = y。O/C > 1因为尸。的中点为N,所以N（F7r品）。因此。'的斜率为心 一记因为直线ON交直线戈=3于M ,所以例（3,-，）。故MF的斜率为人仆=-， kk即得 3% = 7。因此MF与PQ垂直，4MFQ吟。10分人居

15、9;y："""=虫R=人,+%）用 ',+F15分14432K-32 /+15r 24 = 24K ；-(3k2+ )23K+1(3 产+1/A f2 ., c(-l)( + 2)16z 111、16rz 1I、？9.令 = 3K+,则 / = 8-、-=(r)=() 13w23 u22m23 416由于=3公+ 1>1 ,故因此人=3 （当 =4时取到最大值，也即=±1 ）。综上所述，得的最大值为52。分 13.(本题满分20分)设数列“满足：|%2qJ = 2, |a小2, = 1,23. 证明：如果可为有理数，则从某项后凡为周期数列.

16、证：(1)若q为有理数，则，.为一个有理数数列.(2)对于任意的“，设为二(乂x) = l ,由已知条件，有且仅有下述一个等式 成立% =24 + 2= 2y+ 2x ,或 al=2a-2 = 2y2x.(*)XX为 与。田有相同的分母(不进行约分)5分(3)设q=V,(p,q) = l,则q=2，”为整数。由于|勺区2, = 1,2,3,，因此 PP-2p<bn<2p.10 分(4)若存在两个自然数</,使得则由中得到的(*)递推公式以及 甩|42, = 1,2,3,，可得&从第k项开始是一个周期数列，周期为 l-k.15 分(5)由可知对于任意的n, 的值只有4p

17、 + l (有限个)，故总能找到£</, 使得a=%,从而有为=q.综合上述，如果可为有理数，则从某项后4为周期数列. 20分14.（本题满分30分）设可吗吗力也也wZL证明：存在不全为零的数4,回自 0,1,2，使得布+彼+乩和44+贴+她同时被3整除.证明:不妨设q 三勺（mod3）, 三，（mod3）, A;,/, e50,1,2）, / = 1,2,3.则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数4,4,乙£付,2,使得4勺 +刍人 +s /j + A2ly + Aj/Jmod3) s0(mod3) 0(*)记 k1kJ、三 c（mod 3）,这里 c w 0,

18、1,2 0情形（1）当c = 0时，则人=/尸0,或者44不全为零。若勺=/I =0,则取4 = i，4 = 4 =0,有（*）式成立.若K4不全为零，不妨设产o,则取4=&4=-尢，4=0,且f 4 勺 + 芯 2 + 4A3 = k乱一 k& = 0( mod 3) Ah + Z,/, + 帖=k2lrk/2 = 0(mod 3)即（*）式。20分情形（2）当。=1或2时，即/三（mod3）0记与人 一3/2）三。】（mod3）,c伏/ 一4/）三°2（mod3）,这里e 0,1,2 0令4 =g，4 =。2,4 = 1，则4,w付.1.2且不全为零，且4年 + 盯2 + 4A3 = cR + c2kz + k3sc(k2ly -k、l2)k1 + c(贴-kl3)k2 + k、(mod3),三以3(A/V) + & (mod 3),s (1 -c2 )k% (mod 3) s 0 (mod3),30分类似可以证明+"2 +必三0（mod3） o综上所述，可以取到不全为零的数4,4,4c0J2,使得（*）式成立.15.（本题满分30分）设。=4用,。,为1,2,的一个排列，记 .b（o） = Zqq“，勺.|=q，求 minF（a）. z°解答：问题等价于圆周上放置n个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值 记