转子动力学求解转子临界转速与固有频率

1、 旋转机械在当今机械行业有着非常广泛的应用，如水轮机、汽轮机、加工车床和机械传动轴系等。转子是旋转机械的主要部件。旋转轴系转子存在自身固有频率，当转子旋转频率接近或等于其固有频率时，旋转系统会发生剧烈振动，这时的转速称为临界转速。临界转速的求解是转子动力学中非常重要的研究课题。 目前对临界转速的计算方法主要有： 传递矩阵法先把转子分成若干段，每段左、右端四个截面参数（挠度、挠角、弯矩和剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递矩阵，再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，藉试凑法得出各阶临界转速，并随后求得相应的振型。 有限元法将连续系统分割成适当

2、大小的单元，单元内的位移等状态量用以节点的相应状态量为未知数的一系列函数表示，使系统的能量之差即动能、势能之差为最小来调整节点的状态，从而得到相应的矩阵方程。 选取一篇硕士论文高速列车传动齿轮箱齿轮转子动力学特性研究中传动齿轮箱中低速轴进行研究。 实际的转子是一个质量连续分布的弹性系统，具有无穷多个自由度。在转子动力学中经常把转子简化为具有若干个集总质量的多自由度系统。即沿轴线把转子质量及转动惯量集总到若干个节点上，这些节点一般选在叶轮、轴颈中心、联轴器、轴的截面有突变处以及轴的端部等位置，并按顺序编号。 将转子质量及转动惯量集总到28个节点之后，模型可以简化为 把低速轴分成27段之后，可以计

3、算出每段等截面轴的长度、质量、极转动惯量和直径转动惯量。各段参数列表如下： 假设两个相邻节点之间的轴段是第j个轴段，这个轴段是由s个截面尺寸不同的等截面轴段组成的。 将各个变截面轴段所具有的质量和转动惯量都集总到左右的两个端点位置，形成集总的刚性刚性波圆盘。 对于简化后的节点j,它具有的直径转动惯量 ，极转动惯量 以及总质量 的计算方法分别如下： 其中，djJpjJjm(d)1(d)1(d)1RLdjdjdjdjRLPjpjpjpjRLjjjjJJJJJJJJmmmm1sRkjkjlaml11ssjLRkjjkkkjl lamlml2221sRkPjpk kkkkkaJj lala2221sk

4、kLPjpk kkkkklaJj lala23221112sRkdjdjkkkkkaJj llla laala23221112skkLdjdjkkkkklaJj llla laala 低速轴集总后的参数列表为： 对于转子中的第i个轴段，其左右两端截面的编号分别为i与i+1，则截面i的挠度 ，斜率 ，弯矩 及剪力 所组成的列阵，称为该截面的状态向量 。即： 任一部件两端截面的状态向量总存在一定的关系，即： 即称为该部件的传递矩阵。对于质量模型，有iXiAiMiQ iz X,A,TiizM Q 1iiizTz iT 211zTz 321221zTzTTz 111121iiiiizTzTTTz 传递

5、矩阵法是将集总了转动惯量和质量的刚性薄圆盘和没有质量的等截面弹性轴结合起来，作为一个组合构件来考虑，组合构件的传递矩阵为： 其中 为第j个节点处的支撑总刚度，E为弹性模量，I为轴段的截面矩，l为轴段长度， 为考虑剪切影响的系数。322322222222211162261221001sjpdsjpdisjpdsjllllmKlJJEIEIEIEIllllmKJJTEIEIEIEIl mKJJlmK 26tEIk GAl 传统传递矩阵法： 转子系统右端终止截面状态向量 与左端开始截面状态矢量 之间的关系为： 假设转子模型左右端面都是自由端，则其边界条件为 ，于是该式存在非零解的条件为这是传统传递矩

6、阵法的系统的频率方程，也就是求解临界转速的方程式。1NZ1Z11111NNNNZT TTZA Z110,0,0,0NNMQMQ123411NNaaMXaaQA122340Naaaa RiccatiRiccati传递矩阵法传递矩阵法 在计算过程中引入了一个Riccati变换，可以将一开始求解微分方程两个边界条件的问题转变为一个初始值的问题，这种转变一方面保留了传动传递矩阵法求解过程中所具有的优点，另一方面直接提高了传递矩阵方法计算过程中数值的稳定性。 把状态矢量Z进行分组，具有0值的元素为一组,用矢量f表示，非0值为另一组，表示为矢量e，于是状态向量简化成为 ，左右端面都是自由端时，弯矩和剪力为

7、0，而 径向位移和挠角不为0，于是有iifZe TiifMQTiieXA于是得到展开可以得到其中，111221221iiifuufeuue 1111212122iiii iiiii ifufu eeufue11101iilu221220sjpdisjil mKJJumK 232121262iillEIEIullEIEI322222222116212sjpdisjpdillmKlJJEIEIullmKJJEIEI引入Riccati变换， ，得到，可知，对于右端截面N+1则有由初始边界条件可知，存在非零解的条件为这就是Riccati传递矩阵法进行求解临界转速时的系统频率方程式。ii ifS e121221iiieu Sue 1111122122iiiifu Suu Sue 1111122122iiiSu Suu Su111NNNfSe11110,0,0,0NNfefe10NS支承刚度计算：根据高等转子动力学中计算第j个支承的总刚度为其中K为油膜刚度， 为转子的涡动角速度， 是轴承座的参振刚度， 是轴承座的