现代控制原理精华总结

1、机电工程系1.状态空间表达式状态空间表达式：状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。Y:输出向量 u:输入向量A:系数矩阵 B:控制矩阵（输入矩阵）C:输出矩阵D:直接矩阵状态方程：由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量，系统状态变量的数目是惟一的系统状态变量的数目是惟一的如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（线性定常（LTI）系统。系统。如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统线性时变系统。2.2.由系统微分方程求其状

2、态空间表达式步骤由系统微分方程求其状态空间表达式步骤1）假设初始条件为零，将系统微分方程的拉氏变换2）移项变为系统的传递函数3）拼凑分开输入输出变量4）反拉氏变换，写出输入输出微分方程5）用X替换Z，写出X和Y的含X的微分方程6）将微分方程改写为矩阵形式7）画模拟结构图。传递函数传递函数系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。1.3.3 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入）传递函数是系统在初

3、始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；

4、用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。数。综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。机电工程系2. 化矩阵化矩阵 A 为约当形为约当形如果矩阵如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。这时不能化为对角阵，只能化为约当形。机电工程系例例1-71-7 将矩阵将矩阵 化为对角阵化为对角阵3210A解解0)2)(1(321detdetAI1122解出解出111

5、q212q211121qqQ变换矩阵变换矩阵1112211111QP20012111321011121PAP求线性变换的目的：将求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。便于求解状态方程。机电工程系系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵DHGICGyu1)(zz例例1-61-6 已知线性定常离散系统方程为已知线性定常离散系统方程为)(10)(3 . 04 . 010) 1(kukkxx)(1011)(kkxy求其脉冲传递函数矩阵求其脉冲传递函数矩阵解解103 . 04 . 011011)(11zzzzHGICGy

6、u)5 . 0)(8 . 0()5 . 0)(8 . 0(1zzzzzz脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵机电工程系状态空间表达式的模拟结构图buaxx一阶标量微分方程 的结构模拟图 1 从状态空间表达式画系统模拟框图机电工程系例例1-41-4 系统状态方程式为系统状态方程式为u105610 xx x11y求系统传递函数。求系统传递函数。解解：1056111)(11ssssgbAIC22151adj0065611 11 11115656det65sssssssssss 机电工程系例例1-51-5 线性定常系统状态空间表达式为线性定常系统状态空间表达式为uxx100100211340010 xy1

7、00001求系统的传递函数矩阵。求系统的传递函数矩阵。解解10010021134001100001)(11sssssBAICGyu)4()1(323116123sssssss机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系例例2-12-1 线性定常系统的齐次状态方程为线性定常系统的齐次状态方程为21213210 xxxx求其状态转移矩阵求其状态转移矩阵ttAe)( 解2211221221112112213)2)(1(132111sssssssssssssssAI于是于是ttAe)( L Ltttttttts222211e2ee2e2eeee2AI机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系机电工

8、程系机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系例例3-16 系统方程如下，要求按能控性进行结构分解。系统方程如下，要求按能控性进行结构分解。u112112xx x10y解解211111rankrankranknAbbQC系统不能控系统不能控111pCQ由于由于 的秩为的秩为1。说明。说明 中线性独立的列向量只有一列。中线性独立的列向量只有一列。选择选择 ，再补充一个列向量，且与其线性无关，再补充一个列向量，且与其线性无关，CQ102p110111011121ppPC1CCAPPABPBC1CCPC经过线性变换后经过线性变换后u013011CCCCxxxxCCxx11y机电工程

9、系机电工程系机电工程系机电工程系例例4-24-2 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。系统的状态方程如下，判别系统稳定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx将状态方程代入上式，化简后得将状态方程代入上式，化简后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx选取选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足函数，显然是正定的，即满足00)(00)(xxxxVV可见，可见， 是负定的，即满足是负定的，即满足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致渐进稳定的。是一致渐进稳定的。 0ex当当 ，有，有 ，故系统，故系统

10、是一致大范围渐进稳定的。是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV机电工程系例例4-34-3 系统的状态方程为系统的状态方程为1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。为大于零的实数。判别系统的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而221122)(xxxxVx将状态方程代入上式，化简后得将状态方程代入上式，化简后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可见，当可见，当 和任意的和任意的 时，有时，

11、有 ，而，而 和任意和任意 时，时， 。又因为。又因为 ，只要，只要 变化变化 就不为零，因此就不为零，因此在整条状态轨线上不会有在整条状态轨线上不会有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV因此，因此， 是一致渐进稳定的。是一致渐进稳定的。 0ex当当 ，有，有 ，故系统，故系统 是一致大范围渐进稳定的。是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV机电工程系例例4-44-4 系统的状态方程为系统的状态方程为1221xxkxx其中，其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选

12、取选取Lyapunov函数：函数：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 为为Lyapunov意义下一致稳定。意义下一致稳定。 0ex机电工程系定理定理4-44-4 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数，具有连续一阶偏导数，并且满足：并且满足： 1） 为正定；为正定； 2） 为正定或半正定；为正定或半正定； 则则 为不稳定的。为不稳定的。)(xV例

13、例4-54-5 系统的状态方程为系统的状态方程为21221xxxxx分析系统平衡状态的稳定性。分析系统平衡状态的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不稳定的。是不稳定的。 0ex机电工程系例例4-64-6 线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为xx1110-判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex为

14、简单起见，可以令为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵阵为单位矩阵I。IPAPAT1001111011102221121122211211PPPPPPPP解得解得121212322211211PPPP022211211PPPP011P有有可见，可见， P 为正定的矩阵，故为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。为大范围一致渐近稳定的。0ex机电工程系例例4-74-7 线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。)(02110) 1(kkxx解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex为简单起见，可以令为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵阵为单位

15、矩阵I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各阶主子式均大于零，即的各阶主子式均大于零，即0380035可见，可见， P 为正定的矩阵，故为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。为大范围一致渐近稳定的。0ex机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系机电工程系例例5-15-1 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流通过霍尔电流传感器测得电枢电流 ，即，即 。已知折算到电。已知折算到电动