2017年高考理科数学新课标全国3卷逐题解析

1、 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国） 理科数学 （试题及答案解析） 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 已知集合 A （x,y）x2 y2 1 , B （x,y） y x，则 Al B 中元素的个数为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】A表示圆 x2 y2 1 上所有点的集合，B表示直线y x上所有点的集合， 故Al B表示两直线与圆的交点， 由图可知交点的个数为 2,即Al B元素的个数为 2, 故选 B. 4 2.设复数z满足（1 i）z 1 A.- 2 【答案】C O2i，则 z () B. 2 2 2i 1 i

2、 2i 2 , C. . 2 D. 2 【解析】 由题,z 1 i i 1，则 z 12 12 2，故选 C 1 1 i 1 i 2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 2014年1月至2016 4. (x A. 【答案】 【解析】 5 3 3 y)(2x y)的展开式中 x y 的系数为 B. () C. 40 D. 80 C 由二项式定理可得, x 2x 原式展开中含 3 2x x3y3的项为 40 x3y3，则 x3y3的系数为 40,故选 C. 5 .已知双曲线 的一条渐近线方程为 于

3、x，且与椭圆 x y_ 1 有公共焦点. 则 C 的方程为 12 3 2 2 2 2 A. x 二 1 x B. I 1 8 10 4 5 【答案】 B 【解析】 双曲线的一条渐近线方程为 y 2 x C. 5 D. 2 又.椭圆 12 1- 1 与双曲线有公共焦点，易知 3 3，则 b2 c2 9 由解得 a 2,b 5，则双曲线 C 的方程为 B. 月接待游客量(万人) 45 - 20 1245679 101112 101112 12il5 67K9 101112 2014 年 2015 年 2016 年 根据该折线图，下列结论错误的是() A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐

4、年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7, 8 月 D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A. 2 2 () 2 4 n 6设函数 f(x) cos(x -)，则下列结论错误的是() 3 .-. 8 n B . y f (x)的图像关于直线 x 对称 3 【答案】 A. f (x)的一个周期为 2 n C. f (x )的一个零点为 x D. f(x)在(匸，冗)单调递减 2 则圆柱体体积 V n2h ，故选 B. 4【解

5、函数 f x cos x n的图象可由 3 y cosx向左平移n个单位得到, 3 A. B. C. D. 【答案】 5 4 3 2 D 程序运行过程如下表所示: S 0 100 90 初始状态 第 1 次循环结束 第 2 次循环结束 此时 S 90 91 首次满足条件， N 2 为满足条件的最小值，故选 M 100 10 1 程序需在 D. &已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 为() 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积 A. B. 4 【答【解由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 12 3时跳出循环, A24 B. 3 C. 3 【答案】 A 【解析】 a

6、n 为等差数列，且 a2 ,a3,a6成等比数列，设公差为 则a； a2 a6 ，即卩 a 2d 2 a1 d a1 5d 9.等差数列 an的首项为 1 公差不为 0.右 a2, a3, 成等比数列，则 a.前 6 项的和为 () D. 8 又 d 0 ,贝 U d 2 6 5 6 5 24，故选 A S6 6a1 d 1 6 2 2 2 又 a 1，代入上式可得 d2 2d 0 2 2 y_ 1 b2 ay 2ab x a 的圆与直线 bx / 3 A 以 10.已知椭圆 C A. 【答案】 【解析】 又 0)的左、右顶点分别为 A , A，且以线段 A A为直径 B. 0 相切，则 C

7、的离心率为() 乜 C.二 3 3 D. AA为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，二圆心到直线距离等于半径, |2ab a .-2 2 a .a b a 0,b 0 ,则上式可化简为 a2 c2，可得a2 3 2 3b 即 ? a 3 6 6，故选 A 3 11.已知函数 f (x) 2 x 2x x a(e 1 e x 1)有唯一零点， 则 a () A. 1 B. 1 C. 1 2 3 2 【答案】 C 【解析】 由条件， f(x) 2 x 2x / X 1 x 1 / 冃 a(e e )，得： f(2 x) (2 x)2 2(2 2 x 1 (2 x) 1 x) a(e e

8、) 2 x 4x 4 4 1 x x 1、 2x a(e e ) 2 x 2x x 1 a(e e ) f(2 x) f (x), 即 x 1 为 f(x)的对称轴， a 由题意，f (x)有唯一零点， f (x)的零点只能为 x 1 , D. 1 5 2 即 f (1) 1 2 1 a(e e ) 0 , 12 在矩形 ABCD 中，AB 1 , AD 2，动点 UU LUT HIT ，亠 AP AB AD，贝 V 的取大值为（） A. 3 B. 2 2 【答案】A 【解析】由题意，画出右图. 设BD与 eC 切于点E，连接 CE . P在以点 C 为圆心且与 C. ,5 BD相切的圆上.若

9、 D. 2 以A为原点，AD为轴正半轴, AB为轴正半轴建立直角坐标系, 则 C 点坐标为（2,1）. / |CD | 1 , |BC | 2 . 二 BD 12 22 .5 . BD 切 e C 于点E . CE 丄 BD . CE 是 RtA BCD 中斜边BD上的高. 1 -|BC| |CD| : FBDI 、 即 eC 的半径为 2 .5 . 5 / P 在 e C 上. P点的轨迹方程为 (x 2)2 (y 1)2 设P点坐标（X0,y0），可以设出P点坐标满足 的参数方程如下： Xo 2 5 cos 5 A(O) yo 1 n sl uun 而AP luu / AP uuu (xo

10、,yo) , AB (0,1), uum uur AB AD (0,1) uur AD (2,0). (2,0) (2 ,) 1 X 2 两式相加得: 5 cos 5 y。1 VSsin 5 其中 sin 当且仅当 7t 2k n 5 ,cos 5 ,k Z 时, 2 5、 ) 取得最大值 3. 、填空题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 【解析】Q an为等比数列，设公比为. a a2 1 a1 ae 1 a 比 ，即 3 a2 ae 3， 显然 q 1 , a1 0 , 代入式可得 a 1 得1 q 3，即 q 2 , 3 a4 a q 3 1 2 8 . 1 【答案】

11、1, 4 【解析】Q f x x 1,x w 0 2x ,x 0 由图象变换可画出 y f x的图象如下: 1与y 13 若x, y满足约束条件 3x 4y 的最小值为 _ 【答案】1 【解析】由题，画出可行域如图： 目标函数为 z 3x 4y，则直线 y 4x 4 纵截距越大，值越小. 4 4 由图可知：在 A 1,1 处取最小值，故 zmin 3141 14设等比数列 【答案】 8 15.设函数 f(x) 2x二0,则满足 2 ,x 0, f(x) f(x 1 2) 1的x的取值范围是 an 5 2 1 , 1 1 由图可知，满足 f x 2 1 f x的解为 4, 16. ，为空间中两条

12、互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 ，都垂直，斜边 AB以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB与成60角时，AB与成30角； 当直线 AB与成60角时，AB与成60角； 直线AB与所成角的最小值为 45 ； 直线AB与所成角的最大值为 60 . 其中正确的是 _ (填写所有正确结论的编号) 【答案】 【解析】由题意知， a、b AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图. 不妨设图中所示正方体边长为 1, 故 |AC| 1 , AB J2 , 斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A点保持不变， B点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆. 以

13、 C 为坐标原点，以 CD 为轴正方向，CB 为轴正方向， CA 为轴正方向建立空间直角坐标系. 则 D(1,0,0) , A(0,0,1), 直线的方向单位向量 a (0,1,0) , |a| 1 . B点起始坐标为(0,1,0), 直线的方向单位向量 b (1,0,0) , |b| 1. cos 设B点在运动过程中的坐标 B (cos ,sin ,0), 其中为 BC 与 CD 的夹角， 那么AB在运动过程中的向量 Au与所成夹角为 (cos , sin - Ua lABl cos 0导 0,2 n. uiur AB ( cos , sin J)10)占sin | 0 2 2 n n ,，

14、所以正确，错误. 4 2 Au与所成夹角为 uuur r AB b b|- (cos ,sin ,1) (1,0,0) n 0,2】, sin ,1), ujur _ |AB | 2 . -ub AB % |cos 2 与夹角为 60 时，即 -2 cos 2 cos 3 n 3， .21 2 2 2 1 , 2 2 cos sin |cos 二 cos j|cos | 1 2 2 二=上，此时 AB 与夹角为 60 3 正确，错误. 三、解答题：（共 70 分第 17-20 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分. 17. （ 12 分） A

15、BC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 sin A - 3 cos A 0, a 2 7 , b 2 . （1 ）求 c ； （2 ）设D为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD的面积. 冗 1)由 SinA 3C0SA 0 得2Sin A 3 0 , AC AD，即AACD为直角三角形, 则 AC CD cosC，得 CD . 7 . 由勾股定理 AD J|CD|2 |AC|2 爲. 又 A 3,贝y DAB 3 3 3 2 6 SAABD 1|AD| |AB sin - 3. 2 6 18. （ 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4

16、 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验， 每天需求量与当天最咼气温（单位：C）有关.如果最咼气温不低于 25,需求量为 500 瓶; 如果最咼气温位于区间 20,25 ,需求量为 300 瓶；如果最咼气温低于 20,需求量为 200 瓶, 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数 分布表: 最高气温 10 ,15 15,20 20 ,25 25 ,30 30 ,35 35,40 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.22, 23 题为选考 【解即

17、A n 3 kn k Z，又 A 0, n , 冗 二 A 3 n,得 A 2n A亍 由余弦定理 2 a b2 c2 2bc cos A.又 2 c 1 25， 故 c 4. (2)v AC 2,BC 2.7, AB 4 , 由余弦定理 cosC 2 .2 a b c2 247 2ab 7 * a 2疗b 2 (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位：瓶)的分布列； (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y (单位：元)当六月份这种酸奶一天的进 货量(单位：瓶)为多少时， Y的数学期望达到最大值？ 【解析】易知需求量可取 200,300,500 P X 200 2 16 1 30

18、 3 5 P X 300 36 2 30 3 5 P X 500 则分布列为： 25 7 4 230 3 5 X 200 300 500 P 2 5 当 n 200 时：丫 n 6 4 2n，此时 Ymax 400，当 n 200 时取到 当200 n 300 时： Y 上 1 2n 200 2 n 200 2 5 5 8 800 2n n 6n 800 11 5 5 5 此时 Ymax 520，当 n 300 时取到. 当 300 n 500 时，易知一定小于的情况 . 综上所述：当 n 300 时，取到最大值为 520. 19. ( 12 分)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角

19、形, AB= BD . (1)证明：平面 ACD A平面 ABC ; (2 )过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分.求二 面角D- AE- C 的余弦值. 【解析】取 AC 中点为 O，连接 BO , DO ； Q ABC 为等边三角形 BO AC AB BC AB BC BD BD ABD CBD . ABD DBC AD CD ,即 ACD 为等腰直角三角形, 为直角又 O 为底边 AC 中点 ACD 是直角三角形. ABD CBD , ADC A DO AC 令 AB a，贝 U AB| | AC |BC | BD a 易得：OD 手 a

20、 , OB fa 2 2 2 |OD | OB |BD| 20. ( 12 分)已知抛物线 C : y2 = 2x，过点(2, 0)的直线交 C 于A , B两点，圆M是以线 段AB为直径的圆. (1 )证明：坐标原点 O 在圆M上； (2)设圆M过点P (4, - 2 )，求直线与圆M的方程. 【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意. 设 l : x my 2 , Ag yj , Bgy?), 联立： 2 y 2x + 2 得 y 2 my 4 x my 2 即OD OB OD AC OD OB AC I OB O AC 平面 ABC OB 平面 平面 ABC 又 O

21、D 平面ADC 由面面垂直的判定定理可得 由题意可知 V 即B , D到平面 ACE 的距离相等 即E为BD中点 以O为原点，OA 为轴正方向， COD 为轴正方向，设 AC 系， 平面 ADC 平面 ABC OB 为轴正方向, 建立空间直角坐标 则 O 0,0,0 A a,0,0 2 a 0,0,- 2 ，B a,0 0, 4 4 iuu 易得：AE a 3 2,Ta,_ uuir AD uuu ，OA 詁。 设平面AED的法向量为 uuu iu AE 0 贝 U uuu iu , AD ri 0 AEuu uuu in OA r2 n1，平面 AEC 的法向量为n2 , 3,1, 3 解得 uu )0,1, 3 C 为, 易知为锐角, 由勾股定理的逆定理可得 OD 4m 16 恒大于，y1 y2 2m, y1 y2 4. uir uuu OA OB x/2 yy (m% 2)( my2 2) 2 (m 1)%y2 2m(y1 y?) 4 2 4(m 1) 2m(2m) 4 0 ULT urn OA OB， 即 O在圆M上. UUU uir 右圆 M过点P，贝 U AP BP 0 则圆 M：(x 4)2 (y 1)2 85 yo 崔严 1，xo yo 2 3, 半径 r |OQ | .32 12 2 2 则圆 M :(x 3