高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法课时训练含解析新人教A版必修4

1、高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法课时训练含解析新人教A版必修4【课时目标】经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.知识梳理i.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a/b(bw。)？(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a,b,a±b?.求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos9=(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|=2.直线的方向

2、向量和法向量(1)直线y=kx+b的方向向量为,法向量为.(2)直线Ax+By+C=0的方向向量为,法向量为.作业设计一、选择题1.在ABC3,已知A(4,1)、R7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是()A.2事B.2/5C.3木D.2/52 .点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA-OB=OB-OC=OC-6A则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点3 .已知直线l1：3x+4y12=0,I2：7x+y28=0,则直线l1与12的夹角是()A.30°B.45°C.135°D

3、,150°4 .若。是ABCf在平面内一点，且满足|OB-OC=IO跳OO20A,则ABM形大是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5 .已知点N尊1),R0,0),C(V3,0),设/BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=入CE其中入等于()A.2B.1C.-3D.-123,ABAC->ABAC1八,，一匚6 .已知非零向量ABfA。荫足+BC0且=-,则ABC勺形状是IABIACIABIAC2()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形题号123456答案二、填空题7.如图，在ABC点O是BC的中点，过

4、点O的直线分别交直线ABAC于不同的两点MN,若AB=mAMAC=nAN则班n的值为.8 .已知平面上三点ABC满足|AB=3,|BC=4,|CA=5.则ABBBCtBdCavCavAb=9 .设平面上有四个互异的点ABC、D,已知(DMDC-2丽(AB-AC)=0,则ABd形状"定是.10 .在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点R3,4),若点C在/AOB勺平分线上且|Oc|=2,则OC=.三、解答题11 .在ABC,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求/A的平分线的方程.12 .P是正方形ABCD寸角线BD上一点，PFC时矩形.求证：PA=EF且PA!EFI能力

5、提升：13 .已知点QN,P在ABO在平面内，且|OA=|OB=|OC,N廿NBmNC=0,PA-PB=PB-咯P>P则点O,N,P依次是ABC()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心14.求证：ABCW三条高线交于一点.反思感悟1 .利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.2.在直线l:Ax+By+C=0(代+百金0)上任取两点Pi(

6、xi,yi),B(x2,y2),则PP(入CR且入W0)也是直线l的方向向量.所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l:Ax+By+C=0(A2+B2w0)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接应用.丫;kx+b的方向向量v=(1,k),法向量为n=(k,-1).Ax+By+C=0(芥+甘金0)的方向向量v=(B,A),法向量n=(A,B).§2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法答案知识梳理1. (1) a= X b xiy2-x2yi = 0a - bxix2+ yiy2= 0面鬲xix2+

7、yiy24x2+ y2 x2+ y2(4),x2+y22.(1)(1,k)(k,-1)(2)(B,-A)(A,B)作业设计_3-5_1. BBC中点为D2,6,AD=2,5,-'-IAD|=2V5._f2. DOAOB=OB-OC一-一一.(OA-OCOB=0.-Ob-CA=o.OBLAC同理OALBCOCLAR.O为垂心.3. B设li、l2的方向向量为vi,V2,则vi=(4,-3),V2=(1,-7), . |cos V1 , V2| =| Vi , V2|2521 Vi| - I V2| 5x 5 ：22 .l 1与12的夹角为45 .4. B I OB- OC=|CB = |

8、AB- AQ,|ObOc-20A=| AB+AC|,：. AB-AC=| Afe+AC,四边形 ABDO矩形，且/ BAC= 90°.ABC直角三角形.5. C,一 一，一。 ，一。_ #| BC->->如图所不，由题知/ ABC= 30 , / AEC= 60 , CE=拳 .怎!=3,BC= - 3CEAb Ac6. D 由-+ |AB | ACBC= 0,得角A的平分线垂直于 BC，AB= AC-AB AC , 1 , 一 而-= cos AB A。=二，又AB A。C 0| AB |AC2故ABE正三角形，选D.7. 2解析 :。是BC的中点，1 nr .AO=

9、2( AEBf AC =2AMf /ANBAC= 60°m mn> .MO= AO- AMh (万一1)AMTAN _又MN= AN- AM MIN/ MO，存在实数入，使得MO=入MN即n2=入,化简得m+n=2.8. 25解析ABC43,B=90,cosA=3,cosC=',55Ca- Ab= 5X3X3 一-=一 9.545=i，.AB-BC=0,BC-CA=4X5X.ABBOBC-CACAAB=25.9. 等腰三角形解析-.(Db+DC-2DA(AB-Ac)_.力，一.，一，一，一=(DB-DA+(DC-DA.(AB-AC=(超丽-(ab5-ac)=ab2-XC

10、2=1丽2-1的2=0,.|丽=|AC,ABB等腰三角形.10. d噌解析已知A(0,1),B(-3,4),设日0,5),D3,9),四边形OBDE;菱形./AOB勺角平分线是菱形OBDE勺对角线OD设Qxi,yi),|Od=3W，2OG=OD31010 3、105 '52,一(xi,yi)=3J10X(-3,9)=O一近场.5'511.解Ab=(3,4),AC=(8,6),/A的平分线的一个方向向量为:AbAcI AB I AC35'4 3g' 515'.一/A的平分线过点A所求直线方程为-7.1.、一5(x-4)-5(y-1) = 0.整理得：7x+

11、y29=0.612.证明 以D为坐标原点,DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1,|DP=入，则A(0,1),P手,手,E1，g，呼入,0，于是PA=乎入，1¥入，EF=考入T,乎入pa=yj*入-2+_当入2=a入+1,同理由=q1二取人+1,.|丽=|由，PA=EF函弄=当入号1+1乎入乎入=0,.PAiEf.-.palef13 .C如图，:Nv幅心0,N为 ABC勺重心.- NB+N(C=NA依向量加法的平行四边形法则，知|nA|=2|而,- .PA-Pb=Pb-PC,- (PA-PCPB=CAPB=0.同理AB.PC=0,BbPA=0,，点P为ABC勺垂心.由OA=OB=Oc,知点o为