从Durer魔方跨入线性代数思维之门

1、12Drer魔方魔方：4阶，每一行之阶，每一行之和为和为34，每一列之和为，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和对角线（或次对角线）之和是是34，每个小方块中的数字，每个小方块中的数字之和是之和是34，四个角上的数字，四个角上的数字加起来也是加起来也是34.版画创造时版画创造时间：间：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！Drer魔方魔方什么是什么是Drer魔方魔方 该魔方出现在德国著该魔方出现在德国著名的艺术家名的艺术家 Albrecht Drer于于1514年创造的年创造的版画版画Melancolia。134阶阶Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=对角线（或次对对角

2、线（或次对角线）之和角线）之和=每个小方块之和每个小方块之和= 四个角之和四个角之和.铜币铸造时铜币铸造时间：间：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？什么是什么是Drer魔方魔方 110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7和为和为48.2Drer魔方魔方44阶阶Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=对角线（或次对对角线（或次对角线）之和角线）之和=每个小方块之和每个小方块之和= 四个角之和四个角

3、之和.你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？什么是什么是Drer魔方魔方 A=B=设设A,B是任意两个是任意两个Drer 魔方，魔方，对任意实数对任意实数k，kA 是是Drer魔方吗？魔方吗？ A+B 是是Drer魔方吗？魔方吗？110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 73Drer魔方魔方5你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？设设A,

4、B是任意两个是任意两个Drer 魔方，魔方，对任意实数对任意实数k，kA 是是Drer魔方吗？魔方吗？ A+B 是是Drer魔方吗？魔方吗？松驰问题的讨论松驰问题的讨论允许构成魔方的数取任意实数允许构成魔方的数取任意实数任意两个任意两个Drer魔方的任意魔方的任意的线性组合仍是的线性组合仍是Drer魔方。魔方。记记 D=A=(aij) R44|A为为Drer魔方魔方 将将A看成看成16维列向量，则维列向量，则D构成一构成一个向量空间，称为个向量空间，称为Drer魔方空间魔方空间.无穷多个无穷多个求出魔方空间的一组基求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构基的任意线性组合都构成一个成一个Dre

5、r魔方魔方.4Drer魔方空间魔方空间6令令R为行和，为行和，C为列和，为列和，D为对角线和，为对角线和，S为小方块和为小方块和类似于类似于n维空间的维空间的基本单位向量组，基本单位向量组，利用利用0和和1来构造一来构造一些些R=C=D=S=1的的最简单的方阵。最简单的方阵。求求Drer魔方空间的基魔方空间的基5Drer魔方空间魔方空间71在第一行中有在第一行中有4种取法，第二行中的种取法，第二行中的1还有还有两种取法。当第二行的两种取法。当第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8个不同的最个不同的最简方阵，称为基本魔方简方阵，称为基本

6、魔方Q1,Q8 令令R为行和，为行和，C为列和，为列和，D为对角线和，为对角线和，S为小方块和为小方块和类似于类似于n维空间的维空间的基本单位向量组，基本单位向量组，利用利用0和和1来构造一来构造一些些R=C=D=S=1的的最简单的方阵。最简单的方阵。求求Drer魔方空间的基魔方空间的基Q1=000000000000000011116Drer魔方空间魔方空间800101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001

7、001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基1在第一行中有在第一行中有4种取法，第二行中的种取法，第二行中的1还有还有两种取法。当第二行的两种取法。当第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8个不同的最个不同的最简方阵，称为基本魔方简方阵，称为基本魔方Q1,Q8 7Drer魔方空间魔方空间9 显然，显然， Drer空间中任何一个魔方空间中任何一个魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但来线性表示，但它们能否构成它们能否构成D空间的一组基呢？空间的一组基呢？0010100001000001

8、1Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基8Drer魔方空间魔方空间1000101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q0001010010000

9、0108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基145823670QQQQQQQQ Q1,Q8线性相关线性相关 显然，显然， Drer空间中任何一个魔方空间中任何一个魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但来线性表示，但它们能否构成它们能否构成D空间的一组基呢？空间的一组基呢？9Drer魔方空间魔方空间11Q1,Q2,Q8能否构成能否构成D空间的一组基？空间的一组基？00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q000

10、11000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基145823670QQQQQQQQ Q1,Q8线性相关线性相关由由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr0ir127,Q QQ线性无关。线性无关。Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任意空间的一组基，任意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.1012Q1,Q2,Q8能否构成能否构成D空间的一组基？空间的一组基？Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任意空间的一组基，任意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQ

11、rQrD构造构造Albrecht Drer的数字魔方的数字魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16 3213510 11896712415 14 1=12345678,8,7,6,2,3,4rrrrrrr 122345678876234DQQQQQQQ 11Drer魔方空间魔方空间13Q1,Q2,Q8能否构成能否构成D空间的一组基？空间的一组基？Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任意空间的一组基，任意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.77665544332211QrQrQr

12、QrQrQrQrD随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =？=dij所得的线性方程组有所得的线性方程组有 个方程？个方程？ 个变量？个变量？1623如何求解该线性方程组呢？如何求解该线性方程组呢？12Drer魔方空间魔方空间14随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13、0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016维变量维变量 y (A, E) = 0ry13Drer魔方空间魔方空间15 A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0

14、 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %变量变量r对应的系数矩阵对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵系数矩阵(A, E ) C1=rref(C) %求行最简形求行最简形C1=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

15、0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1

16、0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1

17、-10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4414Drer魔方空间魔方空间16随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) Ar y = 016维变量维变量 y (A, E) = 0ry自由变量可取为自由变量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416 3213510 11896712415 14 1110

18、 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 715Drer魔方空间魔方空间17%程序程序mymagic.m%输入输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个，得到整个Drer魔方魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1

19、0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %变量变量r对应的系数矩阵对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵系数矩阵(A, E ) x=null(C,r); %求齐次方程组的基础解系求齐次方程组的基础解系y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基础解系的线性组合基础解系的线性组合y=y(8:23,:); %y为为16维魔方向量维魔方向量D=vec2mat(y,4,4) %将将y转化为转化为4阶魔方阵阶魔方阵mymagicpl

20、ease input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:6 3 15 20 09 12 7随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 716Drer魔方空间魔方空间18(2)任给任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就的一组值，就可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.110 17 2011 26 5616 314 1520 09 12 7还不够随心所欲？还不够随心所欲？赋予魔方更赋予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由变量的选取不唯

21、一自由变量的选取不唯一(3)任给任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也的一组值，也可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.1258611467101719还不够随心所欲？还不够随心所欲？(3)任给任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也的一组值，也可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.赋予魔方更赋予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由变量的选取不唯一自由变量的选取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何选取自由变量？如何选取自由变量？由由x+2

22、6=x+24+d14.xx+2x+3x+46x 39x+54由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.1820还不够随心所欲？还不够随心所欲？(3)任给任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也的一组值，也可得唯一确定可得唯一确定Drer魔魔方的其他值方的其他值.赋予魔方更赋予魔方更大的威力吧！大的威力吧！自由变量的选取不唯一自由变量的选取不唯一125861146710由由d43+26=d43+62+d13.如何选取自由变量？如何选取自由变量？由由x+26=x+24+d14.由由x+26=3x+24.可得可得 x = 1.1344755-381921

23、还不够随心所欲？还不够随心所欲？能否将能否将Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再增强吗？的限制再增强吗？赋予魔方更赋予魔方更大的威力吧！大的威力吧！令令R为行和，为行和，C为列和，为列和，D为对角线和，为对角线和，S为小方块和为小方块和(1) 7维维Drer魔方空间魔方空间D D：R=C=D=S(2) 要求所有数都相等要求所有数都相等:一维向量空间一维向量空间 G G = rE,rR，其中其中eij=1, i,j.(3) 特别的，当特别的，当r =0: 0维向量空间维向量空间 O2022能否将能否将Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再增强吗？的限制再增强吗？Drer空间的子空间空间的子

24、空间能否将能否将Drer魔方魔方“和相等和相等”的限制再的限制再放宽放宽吗？吗？令令R为行和，为行和，C为列和，为列和，D为对角线和，为对角线和，S为小方块和为小方块和(1) 7维维Drer魔方空间魔方空间D D：R=C=D=S(2) 要求所有数都相等要求所有数都相等: 一维向量空间一维向量空间G G = rE,rR.(3) 特别的，当特别的，当r =0: 0维向量空间维向量空间 OO G G D D魔方空间魔方空间 维维 数数 0 1 7(4) 8维维魔方空间魔方空间Q Q：R=C=D(5) 16维维数字空间数字空间MM：数字可任意取值数字可任意取值 Q Q 8 MM 16和扩张和扩张21D

25、rer魔方空间魔方空间232. 培养观察问培养观察问题分析问题的题分析问题的能力能力1. 培养化繁为培养化繁为简的思考模式简的思考模式(1) 转换思考转换思考角度，训练思角度，训练思维的求异性维的求异性(2) 探讨变换探讨变换问问题的条件题的条件 3. 培养发散思培养发散思维维(4) 将结论作为将结论作为条件倒退条件倒退 (3) 培养多角度培养多角度看问题看问题 (5) 利用精炼的利用精炼的语言比拟语言比拟4. 培养培养归纳总结的归纳总结的能力能力2224根据根据1的取法，确定了的取法，确定了8个基本魔方个基本魔方Q1,Q8 求求Drer魔方空间的基魔方空间的基1. 培养化繁为简的思考模式培养

26、化繁为简的思考模式类似于类似于n维空间的基本单位向量组，利用维空间的基本单位向量组，利用0和和1来构造一些来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。的最简单的方阵。但是，但是，Q1,Q8线性相关，而任意线性相关，而任意7个都线性无关个都线性无关.可取可取Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任空间的一组基，任意意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.凭空构造魔方空间的一组基是很难的凭空构造魔方空间的一组基是很难的2325分阶段处分阶段处理复杂问理复杂问题的题的“水水泵泵”思思维维化化繁为简繁为简1. 培养化繁为简的思考模式培养化繁为简的思考模式2426. 证明：证明： (1) (2)

27、 (3) = a11A11= aijAij25274阶阶Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=对角线（或次对角线）之和对角线（或次对角线）之和=每个小方块每个小方块之和之和= 四个角之和四个角之和.你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？允许构成魔方的数取任意实数允许构成魔方的数取任意实数任意两个任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。魔方。D=A R44|A为为Drer魔方魔方 构成构成Drer魔方向量空间魔方向量空间.求求Drer魔方魔方空

28、间的一组基空间的一组基, 任意一个任意一个Drer魔方都可由这组基线性表示魔方都可由这组基线性表示.2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力2628十秒十秒钟钟加加数数3455891442333776109871597+2584?时间到时间到！答案是答案是 67106710。请请用十秒，用十秒，计算计算出出左左边边一一列数列数的的和和。272. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力29“斐波那契斐波那契数数列列”v若一若一个数个数列，列，前两项前两项等等于于1 1，而，而从从第三第三项项起，起，每一每一项项是是其其前前两项两项之和之和，则称该数列为则称该数列为

29、斐波那斐波那契契数数列列。即：。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 意大利数学家斐波那契的意大利数学家斐波那契的算盘书算盘书（1202年）年）282. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力30“十秒十秒钟钟加加数数”揭揭密密右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710v数学数学家家发现发现：连续连续 1010个个斐波斐波那契那契数数之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7个个数数的的 11 11 倍！倍！292. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力31Fibonacci兔子问题

30、兔子问题 假设假设一一对对初生兔子要初生兔子要一个月一个月才到成熟才到成熟期，而一期，而一对对成熟兔子每月成熟兔子每月会会生一生一对对( (雌雄雌雄) )兔子，那兔子，那么么，由一，由一对对初生兔子初生兔子开开始，始，12 12 个个月月后会后会有多少有多少对对兔子呢？兔子呢？302. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题32解答解答1 1 月月 1 1 对对312. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题33解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对322. 培养观察问题分析问

31、题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题34解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对332. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题35解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对342. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题36解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5

32、5 对对352. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题37解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对362. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题38解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对372. 培养观察问题分析问题的能力

33、培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题39 1)1) 分析问题、抓住本质、简化。分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为简称为大兔子大兔子；新生的兔子不能生殖，简；新生的兔子不能生殖，简称为称为小兔子小兔子；小兔子一个月就长成大兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。求的是大兔子与小兔子的总和。 2 2）深入观察发现规律）深入观察发现规律 每月每月小兔小兔对数对数 =上个月上个月大兔大兔对数对数. 每月每月大兔大兔对数对数 =上个月上个月大兔大兔对数对数 +上个月上个月小兔小兔对数对

34、数.=上个月上个月大兔大兔对数对数 +上上个月上上个月大兔大兔对数对数.2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力382. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力Fibonacci兔子问题兔子问题40 1)1) 分析问题、抓住本质、简化。分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为简称为大兔子大兔子；新生的兔子不能生殖，简；新生的兔子不能生殖，简称为称为小兔子小兔子；小兔子一个月就长成大兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。求的是大兔子与小兔子的总和。 2 2）深入观察发现规律

35、）深入观察发现规律 每月每月小兔小兔对数对数 =上个月上个月大兔大兔对数对数. 每月每月大兔大兔对数对数 =上个月上个月大兔大兔对数对数 +上个月上个月小兔小兔对数对数.= 前两个月大兔对数之和前两个月大兔对数之和. .2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力392. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力1 1）分析问题、抓住本质）分析问题、抓住本质41 月月 份份 大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子总数兔子总数 1 2 3 5 8 1

36、3 21 34 55 89 144 23312121,3,4,5nnnFFFFFn二阶递二阶递推公式推公式 2 2）深入观察发现规律）深入观察发现规律 每月每月小兔小兔对数对数 =上个月上个月大兔大兔对数对数. 每月每月大兔大兔对数对数 =上个月上个月大兔大兔对数对数 +上个月上个月小兔小兔对数对数.= 前两个月大兔对数之和前两个月大兔对数之和. .Fn2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力402. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力2 2）深入观察发现规律）深入观察发现规律42 3 3）深入研究问题）深入研究问题12121,3,4,5nnnFFFFFn二

37、阶递二阶递推公式推公式123214321FFFFFFFF由21320111FFFF可得23340111FFFF2120111FF 2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力412. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力3 3）深入研究问题）深入研究问题43 3 3）深入研究问题）深入研究问题12121,3,4,5nnnFFFFFn二阶递二阶递推公式推公式因此23340111FFFF2120111FF 11120111nnnFFFF2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力422. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力3 3）深入研

38、究问题）深入研究问题441 1）树杈）树杈的的数数目目13853211生活中的斐波那契数生活中的斐波那契数432. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力生活中的斐波那契数生活中的斐波那契数452 2）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数 种子按顺、逆时针的种子按顺、逆时针的螺线排列，螺线排列，两组螺两组螺线的条数线的条数往往成往往成相相继继的两个斐波那契的两个斐波那契数，一般是数，一般是34和和55; 89和和144; 144和和233条螺线。条螺线。442. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力生活中的斐波那契数生活中的斐波那契数46

39、松果松果种种子的排列子的排列的螺线数的螺线数(8-13)452. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力生活中的斐波那契数生活中的斐波那契数47菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5 5- -8 8）462. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力生活中的斐波那契数生活中的斐波那契数48分析：分析： (1) 若若A是对角阵是对角阵 ，则易求，则易求 A = .A = P 1 Q 1 (2)一般方阵一般方阵A可与对角阵可与对角阵 相抵，即存相抵，即存在在n阶可逆阵阶可逆阵P,Q, 使得使得 PAQ = . Ak = (P 1 Q 1) (P 1 Q 1)(P

40、1 Q 1)若若Q 1 =P ,则则 Ak =P 1 k Q 1 = Q k Q 1(3) 因此，当存在因此，当存在n阶可逆阵阶可逆阵Q, 使得使得 Q 1AQ = (对角阵对角阵 )时时, 易求易求方阵方阵Ak.此时称方阵此时称方阵A可与对角阵可与对角阵 相似。相似。2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力 3 3）深入研究问题）深入研究问题472. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力3 3）深入研究问题）深入研究问题49问题：问题：当当A可与对角阵可与对角阵 相似相似, Q 与与 的关系如何的关系如何 ?当方阵当方阵A可与对角阵可与对角阵 相似，即相似，

41、即存在存在n阶可逆阵阶可逆阵Q, 使得使得 Q 1AQ = (对角阵对角阵 )时时, 易求易求方阵方阵Ak.QQ设设Q 的列向量为的列向量为q1, q2, , qn. 显然显然它们线性无关它们线性无关.2. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力 3 3）深入研究问题）深入研究问题482. 培养观察问题分析问题的能力培养观察问题分析问题的能力3 3）深入研究问题）深入研究问题50(1)任给任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就的一组值，就可唯一确定可唯一确定Drer魔方魔方.Drer魔方空间魔方空间是是7维的维的.110 17 2011

42、26 5616 314 1520 09 12 7(1) 转换思考角度，训练思维的求异性转换思考角度，训练思维的求异性自由变量还有其他的选取方式吗？自由变量还有其他的选取方式吗？只要选取系数矩阵只要选取系数矩阵23列中列中16个线性无关的个线性无关的列，其余列，其余7列对应的变列对应的变量就可取为自由变量量就可取为自由变量.x32 xx+4x 117 xx 523 x 26 x3.3.培养发散思维培养发散思维49511111111111111111A 求逆阵的方法：求逆阵的方法：(1) 定义法：定义法：AB=BA=E(1) 转换思考角度，训练思维的求异性转换思考角度，训练思维的求异性(2) 公式

43、法：公式法：A =A*/ |A| (3) 初等变换法：初等变换法：(A,E) (E,A )解：解：且且 A AT = A2 = 4E所以所以 A = A/ 43.3.培养发散思维培养发散思维503. 培养发散思维培养发散思维(1) 转换思考角度，训练思维的求异性转换思考角度，训练思维的求异性52Drer空间的子空间和扩张空间的子空间和扩张(3) 7维维Drer魔方空间魔方空间D D：R=C=D=S(2) 要求所有数都相等要求所有数都相等: 一维向量空间一维向量空间G G = rE,rR.(1) 0维向量空间维向量空间 OO G G D D魔方空间魔方空间 维维 数数 0 1 7(4) 8维维魔

44、方空间魔方空间Q Q：R=C=D(5) 16维维数字空间数字空间MM：数字可任意取值数字可任意取值 Q Q MM 8 16(2) 探讨变换探讨变换问题的条件问题的条件 3.3.培养发散思维培养发散思维513. 培养发散思维培养发散思维(2) 探讨变换探讨变换问题的条件问题的条件 53(2) 探讨变换探讨变换问题的条件问题的条件 ,0,n nARr Arn 0,B 证明：证明：(1)证：证： 设设 x 是是Ax = 0的非零解的非零解.,n nBR 0,AB 0.AB 令令B=(x,0,0),则则 .r Bn r (2)证证1： 设设 x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基础解系的基础解系.0

45、.AB 令令B=(x1,x2,xn-r),则则(2)证证2： ,r Ar rEOAPQOO 则存在则存在n阶可逆阵阶可逆阵P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 则则523. 培养发散思维培养发散思维(2) 探讨变换探讨变换问题的条件问题的条件 54(2) 探讨变换探讨变换问题的条件问题的条件 ,0,n nARr Arn 0,B (3)证明：证明：,n nBR 0,AB .r Bn r (2)证证1： 设设 x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基础解系的基础解系.0.AB 令令B=(x1,x2,xn-r),则则(2)证证2： ,r Ar rEOAPQOO 则存在则存在n阶可逆阵

46、阶可逆阵P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 则则,BA (3)证：证： ,r Ar rEOAPQOO 则存在则存在n阶可逆阵阶可逆阵P,Q, 使得使得令令11n rOOPBQOE 0.ABBA 则则533. 培养发散思维培养发散思维(2) 探讨变换探讨变换问题的条件问题的条件 55ABBAE0Ax 只只有有零零解解Axb 有有唯唯一一解解n阶方阵阶方阵A可逆可逆 0A r An A与与E相抵相抵的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为E. A = P1P2Ps, Pi为初等阵为初等阵. (3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 A的行的行(列列)向量组线性无关向量组线性无关 任一任一

47、n维向量维向量 都可由都可由行行(列列)向量组线性表示向量组线性表示A的的 A的行的行(列列)向量组的秩都是向量组的秩都是n.(非奇异阵、非退化阵非奇异阵、非退化阵)(满秩满秩) A的行的行(列列)向量组是向量组是Rn的基的基. A为为Rn的两组基下的过渡矩阵的两组基下的过渡矩阵. A的解空间的维数为的解空间的维数为0. A的列空间的维数为的列空间的维数为n.ATA543. 培养发散思维培养发散思维(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 560Ax 有有非非零零解解n阶方阵阶方阵A不可逆不可逆 0A r AnA的一个的一个2,n nARAA AE | 0.A 证明：证明：证证1：| 0.A

48、(反证法反证法)则则A可逆可逆.121A AA A AE 产生矛盾产生矛盾.假设假设利用可逆性利用可逆性 (3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 一题多解一题多解553. 培养发散思维培养发散思维(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 570Ax 有有非非零零解解n阶方阵阶方阵A不可逆不可逆 0A r AnA的一个的一个证证2：AE 利用利用 r(A)n. 0AE2AA 0A AE 0.A r Ar AEn 1r AE r Anr AEn 2,n nARAA AE | 0.A 证明：证明：(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 一题多解一题多解563. 培养发散思维培养发散思维(3) 培

49、养多角度看问题培养多角度看问题 580Ax 有有非非零零解解n阶方阵阶方阵A不可逆不可逆 0A r AnA的一个的一个证证3：AE 利用齐次方程组有非零解利用齐次方程组有非零解. 0AE2AA 0A AE 0Ax 有有非非零零解解0.A 2,n nARAA AE | 0.A 证明：证明：(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 一题多解一题多解573. 培养发散思维培养发散思维(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 590Ax 有有非非零零解解n阶方阵阶方阵A不可逆不可逆 0A r AnA的一个的一个证证4：AE 利用利用A的一个的一个 0AE2AA 0A AE 0Ax 有有非非零零解解 所以所以A的一个的一个|0.iA 2,n nARAA AE | 0.A 证明：证明：(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 一题多解一题多解583. 培养发散思维培养发散思维(3) 培养多角度看问题培养多角度看问题 600Ax 有有