高等数学1-07

1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强1.7 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强一、一、无穷小的比较无穷小的比较 0 x 2,2x xx 引例引例 观察下表，当观察下表，当时，对函数时，对函数的变化进行对比的变化进行对比 当当0 x 时，函数时，函数x2比比x趋近于零的速度要快得多，趋近于零的速度要快得多，而函数而函数2x与与x趋近于零的速度相当趋近于零的速度相当 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例如例如, ,xxx2

2、lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, , 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同. .;22要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比. ., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（00上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o 定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中

3、的两个无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地， 低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，02lim20 xxx，1sinlim0 xxx;202高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比时，时，当当xxx ).0()2(2 xxox即即是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如，

4、例如，上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例1 1.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的的三三阶阶无无穷穷小小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强的主要部分的主要部分是是称称为为必要条件必要条件是等价无穷小的的充分是等价无穷小的的充分与与定理定理 ).(1o证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即，即)()( oo

5、充分性充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如, ,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,sin2xxxx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例解解)1ln(lim1

6、lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则当则当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx时，时，即，当即，当上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例20tan 2lim.1cosxxx

7、 求求解解210, 1cos,tan2 2 .2xxxxx当当时时202(2 )lim12xxx 原原式式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .

8、注意注意例例0(1)sinlim.arcsinxxxx 求求解解0, sin,arcsin.xxxxx当当时时0(1)limxxxx 原原式式. 1 )1(lim0 xx上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例30tansinlim.sin 2xxxx 求求解解0,tan,sin.xxxxx当当时时30lim(2 )xxxx 原原式式. 0 解解0,x 当当时时)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx33012lim(2 )xxx 原原式式.161 错错 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例6 60tan5cos1lim

9、.sin3xxxx求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx 22015( )()2lim3( )xxo xxo xxo x 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强三、小结三、小结1 1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, , 两无穷小趋于零的速度快两无穷小趋于零的速度快慢慢, , 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较. .2 2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换: :求极限的又一种方法求极限的又一种方

10、法, , 注意适用条件注意适用条件. .高高( (低低) )阶无穷小阶无穷小; ; 等价无穷小等价无穷小; ; 无穷小的阶无穷小的阶. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题思考题任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时x上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强一、一、 填空题：

11、填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . .8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二

12、、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强三、三、 证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 . .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式 . . 2 2、确定、确定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5