高中数学竞赛教案集

1、www.HOOO.co第六章不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质In。过程：一、引入新课1 .世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2 .过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称(例略)1 .“同向不等式与异向不等式”2 .“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系(充要条件)1 .从实数与数轴上的点一一对应谈起ab：二a-b0a=b=a-b=0a：b=a-b：02 .应用：例一比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小解：(取差)(a3)(a-5)-(a2)(a-4

2、)二(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7：0(a3)(a-5)<(a2)(a-4)2242例二已知x#0,比较(x+1)与x+x+1的大小解：(取差)(x21)2-(x4x21)4c2/42/2=x2x1-x-x-1=xx/0x2>0从而(x2+1)2>x4+x2+1小结：步骤：作差一变形一判断一结论1wwwjc5000.cori例二比较大小1.-和j103-.2解:.3 - 2u.j3.2.(.3,2)2_(.10)2=.2,6_5=。,24_25：:0<,10cb力bm/,2 .一和(a,b,mRR;aam(a, b, m R )解：(取差)b3(aama

3、(am)bbmbbmbbm，当b>a时一>；当b=a时一=；当b<a时一<aamaamaam1,t1,3 .设a>0且a=1,ta0比较-logat与loga的大小22解：U_t/I2 _0t +1.一_、t21, t-1当 a > 1 时 一 log a t w log a22四、不等式的性质1, L1；当 0 < a < 1 时 一 log a t > log a221 .性质1:如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b（对称性）证：:a>b.ab>0由正数的相反数是负数-(a -b):二 0b

4、 -a ： 0b ： a2 .性质2：如果a>b,b>c那么a>c(传递性)证：a>b,b>ca-b>0,b-c>0.两个正数的和仍是正数(a-b)+(b-c)>0a-c>0a>c由对称性、性质2可以表示为如果c<b且b<a那么c<a五、小结：1.不等式的概念2.一个充要条件3.性质1、2六、作业：P5练习P8习题6.11-3补充题：1.若2x+4y=1,比较x2+y2与1的大小20育<§>www.HOOO.co解“一y221xy-202=(5y-1)5_0221,-x+y封202 .比较2si

5、nsin28的大小(0</2力略解：2sin二_sin2子2sin1cos?当ew(0,另时2sin0(1wos日)>02sinQ>sin2Q当日w(兀2坨时2sin0(1wos6)<02sin0<sin2日3 .设aa0且a¥1比较loga(a3+1)与loga(a2+1)的大小解：(a31)一(a21)=a2(a-1)当0<a父1时a3+1<a2+1，loga(a3+1)>loga(a2+1)当a>1时a3+1>a2+1loga(a3+1)>loga(a2+1)，总有loga(a31)>loga(a21)第二

6、教时教材：不等式基本性质(续完)目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1.性质3：如果a>b,那么a+ob+c(加法单调性)反之亦然证：-.1(a+c)-(b+c)=a-b>0，a+c>b+c从而可得移项法则：abc=ab(-b)c(-b)=-ac-b推论：如果a>b且 c Ad ,那么 a +c >b + d(相加法则)推论：如果a>b且 c <d ,那么 a -c >b -d(相减法则)证：c:二d或证：(a-c)-(b-

7、d)=(a-b)-(c-d)=上式>0aba-b0c：dc-d:二02 .性质4:如果aab且c>0,那么ac>bc；一教育-如果a>b且c<0那么ac<bc（乘法单调性）证：ac_bc=（a_b）ca>ba-b>0根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：c>0时（ab）c>0即：acabcc<0时（a-b）c<0即：ac<bc推论1如果a>b>0且c>d>0,那么acabd（相乘法则）、十ab,c0=acbc,ac.bdcd,b0=bcbdab推论1'（补充）如果a>b>0且

8、0<c<d,那么9Ab（相除法则）cd0ab证：,dAc>。,cd>=>一ab0cd推论2如果abA0,那么an>bn（nN且n>1）3 .性质5：如果a>b>0,那么n/a>Vb（nwN且n>1）证：（反证法）假设n.aEn.b则：若nZ（匹=2<。这都与2*矛盾，n/an/ba=n.b=a=b三、小结：五个性质及其推论口答P8练习1、2习题6.14四、作业P8练习3习题6.15、6e e>a-cb-d五、供选用的例题（或作业）11<a -c b-de : 0e e >a - c b - d1 .已知a

9、>b>0,c<dc0,e<0,求证:证:a>b>0a-c<b-d>0:c:d:0112 .右a,b二R,求不等式aAb,>同时成立的条件ab1 _1二0解：abab=ab:0ab=b-a0教京育<3>wwwjc5000.ccwwwjc5000,cc11I-3.设a,b,cwR,a+b+c=0,abc<0求证+_+_A0abc222_证：.a+b+CnOa+b+c+2ab+2ac+2bc=0又abc 丰 0a2 +b2 +c2>0ab ac bc : 0abc <0 ab + ac + bc < 0.111

10、abbcca一+=abcabc111+-abc4 .ab>0,|a|>|b|比较1与1的大小ab11ba解：=当a>0,b>0时|a|>|b|即a>babab1 <1a bb-a<0ab>0ba<0ab当a<0,b<0时,|a|a|b|即a<bb-a11b-a>0ab>0.>0一>一abab5 .若a,b>0求证：b>1ub>aa解：b1=b-a>0a>0b-a>0a<baa,-bb-abb(banb-a>0a>0-1=-1>0>

11、;1aaa6 .若aAb>0,c<d<0求证：log2Jog2a-cb-d证：: 0 : sin ： ； 1佗11 logsma <0又a>b>0,-c>-d>0a-c>b-d<a-c b-d原式成立第三教时教材:算术平均数与几何平均数目的:要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程:定理：如果a,bwR,那么a2+b2>2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：a2b212ab=(a-b)2-fi2卜二 a当a=b时,(a-b)2=0当a#b时,(ab)2>01.指出定理适用范围：a,

12、bR2.强调取“="的条件a=b、定理：如果a,b是正数，那么alb之JOE（当且仅当a=b时取“二”）2证明：（Ji）2+（而）222jaba+b>2ab即：alb>Vab当且仅当a=b时alb="'茄22注意：1.这个定理适用的范围：aWR+2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果a,b,c=R*,那么a3+b3+c323abc（当且仅当a=b=c时取“二”）证明：.a3b3c3-3abc=（ab）3c3-3a2b-3ab2-3abc=(abc)(ab)2-(ab)cc2-3ab(abc)二(abc)a22abb

13、2-ac-bcc2-3ab/I、/2,22,、=(abc)(abc-ab-bc-ca)1 222(abc)(a-b)(b-c)(c-a)2_3331a,b,cR上式>0从而a+b+c3abc指出：这里a,b,cWR'-a+b+c<0就不能保证推论：如果a,b,cR*,那么abc>Vabc3(当且仅当a=b=c时取“二”)证明：(")3+(%'b)3+(3,'c)3233/aRb闱c=a+b+c233'abc=a_b_c_3abc3四、关于“平均数”的概念1 .如果a1,a2,，anwR,na1且nwN则：wwwjc5000.c(a1

14、a2 an叫做这n个正数的算术平均数n.-，a1a2"ian叫做这n个正数的几何平均数2 .点题：算术平均数与几何平均数3.基本不等式:a1+a2+ +an>y?nN*,aiR+,1<i<n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明(这里从略)语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4.a+。之JOb的几何解释:2以a+b为直径作圆，在直径则CD2=CACB=ab从而CD=ab而半径a_b_CD=Jab2AB上取一点C,过C作弦DD±AB.22b c ab bc ca证: c2 a22 (ca)三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求

15、学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式-,、 x yA(x, y)= G(x, y)= xy 222二、若x,yWR+,设Q(x,y)=JX2yH(x,y)=12求证：Q(x,y)>A(x,y)>G(x,y)至H(x,y)十xy加权平均；算术平均；几何平均；调和平均22_22222证：:(x_l)2二xy2xy工xyxy二xy24一42至20即：Q(x,y)>A(x,y)(俗称哥平均不等式)2由平均不等式A(x,y),G(x,y)一2xy2xyH(x,y)=Jxy=G(x,y)即：G(x,y)之H(

16、x,y)xy2vxy综上所述：Q(x,y)一A(x,y),G(x,y),H(x,y)1 21 2例一、右 a+b =1,a,b w R 求证(a + ) +(b+ ) ab1.1：252证：由哥平均不等式：(a - -)2 (b - 1)2 _ ab(a - b )a b2a b(1 a22ba 2)2(3)2= ab2_(3 2)2一 2252三、极值定理已知x,y都是正数，求证:1。如果积xy是定值p ,那么当x = y时和x + y有最小值2 J p2*如果和x+y是定值s,那么当x = y时积xy有最大值1 s24www.ic5000.coix-y证：x,y匚R>xxy2、1 哨

17、xy=p（定值）时，xy之JP-x+y>22上式当x=y时取“="，当x=y时有（x+y）min=2Jp2 哨x+y=s（定值）时,Jxy<xy<-s22412;上式当x=y时取=，当x=y时有（xy）max=s4注意强调：i僵值的含义（“>”取最小值，y取最大值）2期极值定理求最值的三个必要条件:一“正”、二“定”、三“相等”四、例题i.证明下列各题：igxiogxi0-2（xi）证：:x>11lgx>0logx10>0于是lgxlogx10-2.lgxlgx10=2若上题改成0<x<1,结果将如何？解：:0:二x：1lgx:二

18、0logx10:二0于是（ngx）（*10）-2从而lgxlogx10-21若a+b=1则abW14解：若a,bwR'则显然有0<ab<41若a,b异号或一个为0则ab£0ab<242.求函数y=x2（1x）的最大值（0<x<1）求函数y=x(1x2)的最大值(0<x<1)一一一，x一2解：0<x<11-x>0，当一=1x即x=一时23xx41-xxx94442y=4-（1-x）M4（2）=即x=一时ymax223273W2711www.ic5000.coi:0<x<10<1x2<1.222、

19、21o222-y=x(1x)=2x(1一x)(1x)212x2(1-x2)(1-x2)344272.3y max 二9一2(3)一27.近c22.32当2x=1-x,x=时ymax313.若xA-1,则x为何值时x+有最小值，最小值为几？x1一.,一1一斛：x>-1x+1>0>0x11 11x=x1-1_2(x1)1=2-1=1x1x1;x11 1当且仅当x+1=即x=0时(x+)min=1x1x1五、小结：1.四大平均值之间的关系及其证明2 .极值定理及三要素六、作业：P12练习3、4习题6.24、5、6补充：下列函数中x取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？一一、

20、111y=x(2-3x)x=时ymax=33一12y=1-4xx=1,ymn-25-4x3.6-3x<0时y=12xx=,ymin=1+46x2第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：一、复习：基本不等式、极值定理3一、例题：1.求函数y=2x2+,(x>0)的最大值，下列解法是否正确？为什么？xI解一：y=2x23=2x211一332x212=334xxx，xx.ymin=33.4-*京教育-13www.ic5000.cor15解二:2323y=2x+之22x=26x当2xymin-26=26324答：以上两种解法

21、均有错误。解一错在取不到“:即不存在x使得2x2=1-;解二错在2x6x不x是定值（常数）正确的解法是：y=2x23c233一=2x一2x2x233o933_332x2=333362x2x;22当且仅当2x22x口36即x=3时ymn2.若-4<x<1,求-2x+2的最值2x-2解:2_-x-2x212(x-1)12x-2x-111,=-(x-1)-2-(x-1)一4：x：1-(x-1).0-(x-1)从而-(x-1)-(x-1)1-2-(x-1)2-(x-1)x2-2x2即(x2x2)2x-2min=-13.设xWR%x2+匕=1,求x1+y2的最大值2解：x0y2<2xi

22、x2(-)=(x2)2l-x.1y2J3、3、2工2(2i)www.ic5000.cor19即(x；1y2)max3,24ab4.已知a,b,x,ywR+且一+=1,求x+y的取小值xyab斛：xy=(xy)1=(xy)():xy之a+b+2j-ay,独=(Va+Vb)xy当且仅当y=即'=J三时(x+y)min=(Ja+Jb) -axyy.b三、关于应用题1.P11例（即本章开头提出的问题）（略）2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少?解：设剪去的小正方形的边长为x2a、则其容积为

23、 V = x(a -2x) , (0 :二 x :二 a) 21V 4x (a -2x) (a -2x)41 4x (a -2x) (a -2x) s432a327a当且仅当4x = a 2*即x =一时取6a即当剪去的小正方形的边长为 a时,6铁盒的容积为2a327四、作业：P12练习4习题6.2 7max2a3)27补充:1.求下列函数的最值:-6 o2. 1、A0时求y=+3x2的最小值,x62 x+ 3x的最小值9 3(9，2自1y=2x2,(xR)(min=6)x一、r1X.一.2咬X=-,27,求y=log3log3(3x)的取大值9273喏0<x<1,求y=x4(1x

24、已知a, b, m都是正数，并且 a < b,求证：am)的最大值(£?=空3)2734喏x,ywR'且2x+y=1,求1+1的最小值(3+2£'万)xy13 .右a>b>0,求证：a+的最小值为3b(ab)4 .制作一个容积为16孙证 a m a _ b(a m) -a(b m) _ m(b -a)的圆柱形容器（有底有盖），问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R = 2m, h = 4m)第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一一一比较法，要求学生能

25、教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程：一、复习：1 .不等式的一个等价命题2 .比较法之一（作差法）步骤：作差一一变形一一判断一一结论二、作差法：（P13-14）求证：x2+3>3x2.b(b m)b(b m)证：.(x2+3)-3x=x2-3x(3)2-(-)23-(x-3)230,a,b,m都是正数，并且a<b,b+m>0,m(b-a)>0即：alm”b(bm)bmb变式：若a>b,结果会怎样？若没有“a<b”这个条件，应如何判断?3 .已知a,b都是正数，并且a#b,求证：a5+b5>a2b3+a3b2证：(a5+b5)-(a2b3+a3

26、b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)育m行走，另一半时间以速度 n行走；有一半路程乙以速度 m行走，另一半路程以速度n行走，如果m# n,问：甲乙两人谁先到达wwwjc5000(cc=a3(a2_b2)_b3(a2_b2)=(a2_b2)(a3_b3)=(a+b)(a_b)2(a2+ab+b2)a,b都是正数，a+b,a2+ab+b2>0又a#b,.(a-b)2>0，(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b24 .甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度#指定地点?解：设从出发地到指定地点的路程为S,甲乙

27、两人走完全程所需时间分别是则:;fn=S, S2m 2n=t2 可得:t12St2S(m n)2mn122 _2S S(m n) S4mn -(m n)_2S(m -n)m n 2mn2(m ' n)mn2mn(m n)n都是正数，且m卉n,，t1 - t2 < 0即:从而：甲先到到达指定地点。变式：若m=n,结果会怎样?三、作商法5.设 a, b w R+,求证:aabb _(ab) 2 _ abbaa -bb -a证：作商:a -b2(ab)2当a = b时,(b)2二1时,a一 1, ba -b2a -b时,二 1,<0, aabb - (ab) 2（其余部分布置作业

28、）作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。四、小结：作差、作商五、作业：P15练习P18习题6.314京放育www.ic5000.co第七教时教材：不等式证明二(比较法、综合法)目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：一、比较法：a)复习：比较法，依据、步骤比商法，依据、步骤、适用题型2b)例一、证明：y=2x在2,+b)是增函数。2,-Qx1-4x1322证：设2<X1<X2,则幺=2x2X2"=2(x2")(xfy22x24x23Vio-X2_xi>0,xi+X2_4>0-22=1V2又yi>

29、;0,.yi>y2，y=2'"'%在2,)是增函数二、综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。i. 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证：b2+c2>2bc,a>0,1-a(b2+c2)>2abc同理：b(c2+a2)>2abc,c(a2+b2)>2abc1- a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数2-

30、a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abcii. 设a,b,cwR,1 球证:Va2+b2>(a+b)22 球证：Ja2+b2+db2+c2+cc2+a2之。2(a+b+c)3 若a+b=i,求证：ja十二十Jb;E2证：i,a2+b2>(a+b)2>0，工b24e户山22222i5<>ywwwjc5000x(7b 1 11+ 之33：,两式相乘即得。-击b)2洞理：b2+c2之2(b+c),Jc2+a2>(c+a)22三式相加：a2-b2"b2'c2-Jc2a2.2(abc)3喃哥平均不等式：,1八1、23a 2

31、(a b 1)(a2)(b2)2iii.a,b,_111、/c三R求证：1a+b+c)(+)之9abc/.、,112(abc)(abbcca)-1证：1祛一：a+b+c之33/abc,法二：左边abcabcabco,ba、，ca、，cb、二3()(-)(-)abcabacbcabbcca3,2 三+2+率(a+b)(b+c)(c+a)-331,(ab)(bc)(ca)两式相乘即得11193 口由上题：(a+b+c)(十+)至9abbcca2cab9111-abbcca2即：abc_a b cabcbccaab2三、小结：综合法四、作业：P1516练习1,2P18习题6.31,2,316京型“救

32、育<§>-www.jc5000.ee)25补充:1.已知a,21b三R+且a#b,求证：(a)2b2111b77二1+(一)2>a2+b2(取差)a2.设：-R,2x,y.R,求证：xsin2.ycosa<x+y(取商)3.已知a,bR+,求证：(a-)323,3ab<2证：a, b三R+4(a3 b3)_a3 3ab(a b) b3 = (a b)3-1(a-b)220a2-ab+b23.32_2、ab=(ab)(a-abb)_ab(ab)1-3(a3b3)_3ab(ab)3b324.设 a>0, b>0,且证：- ,ab Maab1 2

33、(a -)aa41 2(b -) b - -4 ab25> 一2/1 2 (a -) a1 2(b b)-21b a2二2111 a b21 1ab2-2ab1ab2第八教时教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。过程：一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、例一、求证：V3+<7<2J5www.ic5000.ee)27证：<3+yj7>0,2J5>0综合法:；/21 < 25I II：. . 21 :二 5I II二 2.21 ：二 10I

34、 *I.：10 2 21 :二 20II t. .；( . 3 7)2 ：二(2,5)2只需证明：（,3.7）2:二（2、.5）2展开得：102.21：二20即：2,21：二10.21:二5即：21<25（显然成立）3.7:二2.511例二、设x>0,y>0,证明不等式：(x2+V2f>(x3+y3"证一：（分析法）所证不等式即：（x2+y2）3>（x3+y3）2即：x6- 33/ 33、2x y 2x y = (x y )11- x > 0 , y > 0 , (x2 +y2)2 >(x3 + v3"例三、已知：a + b

35、+ c = 0 ,求证：ab + bc + ca < 0证一：(综合法)= a + b + c = 0(a + b + c)2 = 0y63x2y2(x2y2)x6y62x3y322/2233即：3xy(xy)2xy只需证：x2y22xy322_2x+y22xy>xy成立311(x2y2)2(x3y3)3、-r一/少八、八一/22、366-22,22、66-33证一：(综合法)(xy)=xy3xy(xy)-xy6xy展开得:abbcca=-,22bcab+bc+caw0证二：(分析法)要证ab+bc+caw0/a+b+c=0故只需证ab+bc+ca<(a+b+c)2即证：a2

36、b2c2abbcca-0www.HOOOco即：工（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2之0（显然）2原式成立证三：a+b+c=0，_c=a+bab+bc+ca=ab+（a+b）c=ab_（a+b）2=-a2-b2-abr/b、23b八=-（a-）<024例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。2证：设截面周长为1,则周长为l的圆的半径为,截面积为n,2n12n）214,（1.周长为1的正方形边长为-,截面积为-|40Jr1弋?12问题只需证：ni!>-iJ<4）22即证：>2

37、2证:由 x > 0 , y > 0 , 2x + y = 1 ,可设 x= -sin & y cos 口4二216,一4r11两边同乘:,得:'1二4因此只需证：4>n（显然成立）f1、2八>2，兀一i>-也可用比较法（取商）证，也不困难。<2nJ44j三、作业：P18练习13及习题6.3余下部分补充作业：01.已知0<0<几证明：2sin28Wcot-21cos?略证：只需证：4sin9cos90<6<nsin日>0sin1故只需证：4sin2ccos:1-cosu即证：4(1+cos8)(1-cos8)co

38、s8«1+cos8-1+cos8>0只需证：4(1-cosu)cos:1即只需证：4cos21-4cos1_0即：（2cos91）2之0（成立）一-育_29www.ic5000.co2 .已知a>b>0,劭锐角，求证：asec日btane之Ja2-b1，略证：只需证：（asec?-btan32：二a2-b2即：a2tan2e+b2sece22abtanQsecQ=（atan0-bsec®2>0（成立）3 .设a,b,c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b2+4ab至4J3s略证：正弦、余弦定理代入得：_2abcosC+4ab士2j3ab

39、sinC即证：2-cosC_2.3sinC即：，3sinCcosC三2即证：sin（C+'）El（成立）6第九教时教材：不等式证明四（换元法）目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。过程：一、提出课题：（换元法）二、三角换元：一，、一121例一、求证：-_X-.1-x22证一：（综合法）|xJ1_x2HX|V1-X2=vx2(1-x2)<X+(2-X)j=即：|xJi-x2|E1，-1ExJi-x2<1222证二：(换元法)-1<x<1，令x=cos仇曰可0,n1 .则x1-x=cos-sin-ssin22-一1wsin日

40、63;1-1<x、'1一x2M12211例二、已知x>0,y>0,2x+y=1,求证：+>3+2v'2xy证一：1+1(2x+y)=3+2+、之3+272即：1+->3+2<2<xyJyxxy31教自www.ic5000.co-教 育3311212、，2、贝U一=22=2(1-cot:工)-(1-tan:工)xysin:cos:一_22一=3(2cot:工qtan.不)二32.2例三：若x2+y2<1,求证：|x2+2xy一y2|<22证：设*=since,y=rcosot,(0<r<1),则|x22xy-y2|

41、=|r2cos2二：2r2cos：sin二一r2sin2：|=r2 | cos2 ：.，sin 2 ： |_ . 2r2cos 2a - - 'i < < 2r2 < <2<4 J例四：若 x > 1 , y > 1 ,求证：v-'xy >1 +、'(x 1)( y 一1)证：设 x = sec2 ：, y = sec2 :, (0 ：二二，：二一)2贝U1 - J(x -1)( y -1) =1 tan : tan := cos(-) _1r = xycos 工cos : cos 工cos :例五：已知：a > 1

42、, b > 0 ,a - b = 1 ,求证：0二 fva 一1 ) bb + al 7 a 人1<1b证：a > 1, b > 0 , a - b = 1，不妨设2=$3，日，b = tan2 0, (0 < 曰 < ')2加 1广 1 丫二 + 1 11 f 口 1 丫，目 . 1 、7a vb2sec8tan。a I 启人b ) sec 6 <sec8 人tan6)sec 1冗0 < 0 < ,0 < sin 9 < 12小结：若0WxW1,则可令 x = sin 6 ( 0若 x2 + y2 = 1 ,则可令 x

43、 = cos g,若 x2 - y2 =1 ,则可令 x = sec Q若 x>1,则可令 x = sec 6 ( 0 < 6tan2 1 sec2sin 1sec tan?1fL 1 丫 厂 1、'. - 0 < Va - Jb+- <1a <Va A <b )E6£_)或 x = sin 2Q ( - <Q<)O 222y = sin 0( 0 W 0 W 2n) oy = t an6 ( 0 M 日 M 2工)。冗 %)。产教A育若xeR,则可令x=tane(<q<o22三、代数换元：I例六：证明：若a>

44、0,则1a2十二一J2至a十12aa.、-111证：设x=a,y=a+2，(a0,x_2,y_12)aami22f1)jF_21c则x-y=a+i-Ja+(=2<aJJaJx+y=a+二+Ja2+口之2+J2(当a=1时取"=")a'a22cx-y.299-X。y=-=2-2Xy2、2即y一J2>x-2，原式成立四、小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。五、作业：1 .若a2+b2=1,求证：asinx+bcosx<12 .若|a|<1,|b|<1,则|ab±J(1a2)(1b2)怪13 .

45、若|X|W1,求证：(1+x)n+(1x)nW2n4 .若a>1,b>0,a-b=1，求证：0<1"十石一JX/b+J<1a1:;ab5 .求证：0<d'1+x-Vx<16 .已知|a|wi,|b|wi,求证：|a二b7b*；1a2区1第十教时教材：不等式证明五(放缩法、反证法)目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、放缩法：www.ic5000.cor35例一、若a,b,c,dwR+,求证：1证：记m=aa<abdc例二、证:例三、证:a,+abdbc

46、acdbb,c,d三R+-1<m<2当n>2时,.bbcad+dacd:二2dac+abcacdabcd+=2cddc即原式成立求证：logn(n-1)logn(n1)<1logn(n-1)0,logn(n1)0logn(n-1)logn(n1)二1logn(n-1)+logn(n+1)Tlogn(n2-1)12r2一lognn2F二1n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1求证:十1222J32三、反证法:例四、设n(nT)11+_2222321+3111c2二2n-1nn0<a,b,c<1求证：(1-a)b,(1-b)c,(1一1-

47、c)a,不可能同时大于一4证：设(1-a)b>-,(14-,(14、1c)a>4则三式相乘：ab<(1-a)b?(1-b)c?(1一c)a<又<0<a,b,同理：(1-b)b.J4以上三式相乘:(1原式成立64,0产川(1-c)c-一.一1一一一-a)a?(1-b)b?(1-c)c<一与矛盾64www.ic5000.con例五、已知a + 证：设a < 0, 又由a +c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证：a,b,c>0abc>0,bc<0c>0,则b+c=-a>0、城教 育37ab+bc

48、+又：若a=0ca=a(b+c)同理可证：b>0,四、作业：证明下列不等式：abc>0c>0+bc<0与题设矛盾矛盾，必有a>0设x>0,y>0,放缩法:2.lg9?lgg91g11<pg9+lg11=pg99式但；：二11ogn(n-1)1ogn(n1)<1logn(n-1)logn(n1)<-：1ogn(n*2_1)1<_log'2一J,11右a>b>c,贝U+a-bb-c(a-b)(b-c)+1+2n二1-21(ab)+(bc),(nR,n-2)2-n2n6.+n2L：12n2n7.已

49、知n工中式工na,b,c>0,1且a2+：二1b2=求证:an+bn<cn(n>3,nR)cb,c>0,an8.设0<a,b,c<2,求证:(2一a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同时大于1www.ic5000.co-P)+ - ct1(、工. l：')(:姨. 1)厂显然2< a<Pa - P > 0, aP - 1 > 0,Otp仿例四1，y一1，x.9.右x,y>0,且x+y>2,则和中至少有一个小于21-y1-x反设>2,>2.x,y>0,可得x+y<2与x+y>2矛盾第H

50、一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程：一、构造法：1.构造函数法一一1例一、已知x>0,求证：x十x1.一证：构造函数f（x）=x+（xA0）则x.-1-1由f(二)-f(：)=:一-()=(：ap4京 、城教 育39x）在2,收）上单调递增，左边>f（2）例二、求证:x210y:2一x9证：设 t = , x2 9(t .3)则 f (t) = y =t2 1用定义法可证：f（t）在3,）上单调递增人，t12-1令:3wt<2则f(t1)-f(t2)=1t1t22t2(t1川弘-1)0"2x210y-一

51、2一,x29-f(3)=331102.构造方程法：例三、已知实数a,b,c,满足a+b+c=0和abc=2,求证：a,b,c中至少有一个不小于2。证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0,bc二一a22即b,c是二次方程x2+ax+=0的两个实根。bcaawww.ic5000.cor28=a00即：a>2a21sec二-tan?二、例四、求证：_2-3(了；k二一，k-Z)3sec二tan22.,、丁、几sec二-tan.,2证：设y=-2则：(y1)tan日+(y+1)tan日+(y1)=0sec二tan?当y=1时，命题显然成立当y#1时，=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y3)>01一_y三3综上所述，原式成立。(此法也称判别式法).构造图形法：例五、已知0<a<1,0<b<1,求证：.a2b2,(a-1)2b2.a2(b-1)2,(a-1)2(b-1)2-22证：构造单位正方形，O是正方形内一点B| AC |=| BD 尸 /2O到ADAB的距离为a,b,则|AO+|BO+|CO+|DO刁AC+|其中|AO|=Ja2+b2,|BO|=(a-1)2b2|CO|=,(a-1)2(b-1)2|DO|=Ja2+(b-1