高中数学有关圆锥曲线的经典结论

1、专业.专注学习参考有关解析几何的经典结论一、椭圆1 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2 .PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.225.若Po(Xo,yo)在椭圆三十与=1上，则过Po的椭圆的切线方程是券+邛=1.abab22,xy一6.若Po(Xo,yo)在椭圆二十，=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切ab点弦P1P2的直线方程是xox+耳=1.a2b222一xy7. 椭圆二十一=1(a&

2、gt;b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点ab/F1PF2=不，则椭圆的焦点角形的面积为S缶pf2=b2tan-.22一xy8. 椭圆一十彳日(a>b>0)的焦半径公式：ab|MFJ=aex0,|MF2|=a-e%(F1(-c,0),F2(c,0)M(x°,y°).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFXNF.10.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点P、Q, Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和11.12.A2Q交于点A2P和AiQ交于

3、点N ,则MF，NF.22一,一 x yAB是椭圆一十彳=1的不平行于对称轴的弦，a bM (x0, y0)为AB的中点，则kOM kAB = ，a即 Kab = -brx0。a V。x2y2若P0(x0, y0)在椭圆w + =1内，则被Po a b所平分的中点弦的方程是22XoXy°yXoyo-2,2-2,2.abab22xy13.若Po(Xo,yo)在椭圆+22-=1内，则过Po的弦中点的轨迹万程是ab22XyXoXyoy'7T=-2',2.abab二、双曲线1 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2 .PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线

4、PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)22xy5 .右Po(Xo,yo)在双曲线=1(a>o,b>o)上，则过Po的双曲线的切线万ab程是笺_写=1.ab22xy6 .右Po(Xo,yo)在双曲线二、=1(a>o,b>o)外，则过Po作双曲线的两条切ab线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是第-岑=1.ab22xy7 .双曲线J=1(a>o,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线

5、上任a2b2y意一点NF1PF2=¥,则双曲线的焦点角形的面积为S限pf2=b2cot-.22xy8 .双曲线0=1(a>o,b>o)的焦半径公式：(F1(cQ),F2(cQ)ab当M(xo,yo)在右支上时，|MF1|=exo+a,|MF2|二e%a.当M(xo,yo)在左支上时，|MF1|=xo+a,|MF21=exoa9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFXNF.10 .过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,Ai、A2为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q

6、交于点M,A2P和AiQ交于点N,则MF，NF.22xy11.AB是双曲线），=1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦，M（Xo,yo）为ABab的中点，则Komb2x。a y。Kb2x0,KAB=-2aV。12.22x y 右Po（xo,y。）在双曲线-a b=1 （a>0,b >0）内，则被 Po所平分的中点弦的2方程是第一誓:"222aba2 y。b213.22x y若Po（xo,y。）在双曲线二4=1 a b（a>0,b>。）内，则过Po的弦中点的轨迹方2y _ x°x2 二 -Tb aVoV b2椭圆与双曲线的对偶性质（会推导

7、的经典结论）22，一xy1 .椭圆2+2"=1（a>b>o）的两个顶点为A1（a,。），A2（a,。），与y轴平行的直ab2 2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2一4=1.ab222.过椭圆二+4=1（a>0,b>。）上任一点A（x0,y。）任意作两条倾斜角互补的直ab线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=毕°（常数）.aVo22xy3.若P为椭圆下十与=1（a>b>。）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点a2b2:,a-c,-,-/PF1F2=豆，/PF2F1=F,则=tan-cot-.ac222

8、2、一xy4.设椭圆2"+T=1（a>b>。）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴漏点）为椭圆a2b2上任意一点，在PF1F2中，iEF1PF2=»,NPF1F2=P,/F1F2P=¥,则有sin二_c_sin:sina22xy5.若椭圆二+上？=1（a>b>。）的左、右焦点分别为F1、E,左准线为L,则当。abvew，2-1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的226.P为椭圆二十1=1(a>b>0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，a2b2则2a-|AF21qPA|+|PFi52a+|

9、AFi|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成7.椭圆(x -x0)22aB2b22- + (y y0) =1与直线 Ax + By + C =0有公共点的充要条件是 b22一(Ax。By。C)2.28. x y已知椭圆-2十2=1 (a>b>0),bO为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP _OQ .、111 )2 +2|OP |2 |OQ |21+ ; (2) |OP|2+|OQ| 2 的取大值为 b22, 24a b-22 ;(3)a bSmPQ的最小值是a2b9.22一 x y过椭圆 丁+三=1 (a>b>0)的右焦点a2b2F作直线交该椭圆右支于M,N两点

10、，弦|PF |MN的垂直平分线交x轴于P,则| MN | 210.2,2a - b:二 x0:二a11.设P点是椭圆x y=1 ( a>b>0)上异于长轴漏点的任一点b2,日、F2为其焦点12.13.记/F1PF2 =日，设A、B是椭圆2b22则1即叶四二工.SPF1btan3.22xy.+ =1 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点， abZPAB=« , /PBA =P ,/BPA =¥ , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有22. 2- 2ab |cos |二 2 八 2ab |PA|=122 .(2) tan = tan =1 -

11、 e .(3) Sab=2 cot .a -c cosb - a2 X 已知椭圆-2 ab2=1 ( a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点22，一xy已知椭圆二十彳=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平aba2,b2分线与x轴相交于点P(x0,0),则aF的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右7B线l上，且BC_LX轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半

12、径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线22xy1.双曲线-2-=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴ab22平行的直线交双曲线于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是'+4=1.a2b222xy2.过双曲线=-匕=1(a>0,b>o)上任一点A(Xo,

13、yo)任意作两条倾斜角互ab补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=-b2°(常数).aV。2 2,，一xy3 .右P为双曲线2一一T=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任ab点,F1,F2是焦点，/PF1F2="，/PF2F1=P,则"ca=tan%cot?(或ca22c-a工=tancot).ca2222，-xy4.设双曲线下一22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)a2b2为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记/F1PF2=0t/PF1F2 = P ,/FiF2P =尸，则有二(s

14、in一sin ：)c一二e. a22xy5.若双曲线工_马=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为abL,则当1vewJ2+1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.22xy6.P为双曲线-=1(a>0,b>0)上任一点，Fi,F2为二焦点，A为双曲线ab内一定点，则|AF2|2a目PA|十|PFi|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线条件是22x y0 F=1 (a>0,b>0)与直线 Ax+By十C =0有公共点的充要a2b2A2a2 -B2b2 <

15、C2.228.已知双曲线32一看=1(b>a>0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两ab动点，且OP_LOQ.11(1) 2+2|OP|2 |OQ|211-;(2)|OP|2+|OQ|2a2b2.2.2的最小值为粤，；(3)b-aSaPQ的最小值是9.2,2ab222.b-a2y-22=1(a>0,b>0)的右焦点Fb作直线交该双曲线的右支于10.11.M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则|PF|=e|MN|222xy已知双曲线%=1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的a2b2垂直平分线与2,22,2ab,abx轴相父于点P(x0,

16、0),则x0之或x0w-aa22xy设P点是双曲线-=1(a>0,b>0)上异于头轴漏点的任一点，Fi、F2a2b2为其焦点记/f1Pf2=at2b2°、则(1)|PFi|PF2|=1_cosr.(2)C.2，SPF1F2=bcot2.22a>0,b>0）的长轴两端点，P是双曲线上的12.设A、B是双曲线x2_4=1ab一点，/PAB=o（,/PBA=P,/BPA=¥,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有|PA|二2 ,2ab |cos 二 |r222.| a -c cos |(2)tan : tan ： = 1 - e2 .(3)- 2, 2o

17、2abSPAB =-2-2 b acot22xy13 .已知双曲线Fq=1（a>0,b>0）的右准线l与x轴相交于点E,过双曲ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC_LX轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴

18、交点分别称为内、外点）.17 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：|ab=J1+k2|x1-x2=J1+j|y1y22、直线的一般式方程：任何直线均可写成出+W+C=O（a,b不同日为0）的形式。3、知直线横截距工。，常设其方程为工二期+10（它不适用于斜率为0的直线）与直线上出+阶+。=。垂直的直线可表示为所-功+。二。d_.一叫4、两平行线*山+孙+c1=o,4：出+e+G=°间的距离为5、若直线v小+跖=0与直线k&x+B/G=0平行则里44二。（斜率）且&CC】*Q（在y轴上截距）（充要条件）6、圆的一般方程：，+/+烝+即+£=°俨+£?-4?>0）,特别提醒：只有当（££）D3e）4F0时，方程/+/+%+珈+尸=0才表示圆心为2'2,半径为+'行的圆。二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+的+F=0表示圆的充要条件是幺二C，0,且目=0且+我一4HF-。A=a+rcos7、圆的参数方程：O=8+rsinS（J为参数），其中圆心为&切,半径为。圆的