高中数学数列的概念与简单表示法学案新人教A版必修

1、§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1 .从函数的观点看数列一方而，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题.例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法.即：数列4单调递增=a=）生.对任意n（n£M）都成立：数列QJ单调递减0而为对任意aGcN）都成立.例如：己知=另一方面，还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是M或它的子集1,2,川，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是（）n-A/993

2、1939Ao，一展+J99-J98，点（m力）在函数y=V99-V98-v-/99+ 1的图象上.在直角坐标系中作出函数'=言请+1的图象.由图象易知当x£（0,强）时，函数单调递减./.4<a：<a<1,当x£（相，+8）时，函数单调递减.310>511：古0>1所以，数列QJ的前30项中最大的项是须，最小的项是以答案c2. 了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列QJ,若存在一个大于1的自然数7(7为常数)，使&，=为,对一切/ISM恒成立，则称数列&为周期数列，7就是它的一个周期.易

3、知，若7是4的一个周期，则H(ACN)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期.-1例如：己知数列QJ中，a,=a(a为正常数)，=(h=l,2,3,)，则下列能十1使捻=&的a的数值是()A.15B.16C.17D.18-解析&=a,”二=以十,_一-al丁+11-1-13'主+1-a-,a，a-1-1砥=-1=中，a=色，含=比，依次类推可得：a2=小，4为周期数列，周期为3.<*=a,/卜2=a=&答案B3 .数列的前a项和夕与a的关系对所有数列都有：2=备+土+4$+烝，£一1=鼻+充+&1(422).因此，当2时，有：捻=S&

4、#163;当n=1时，有：=S,所以djjS?的关系为：捻=S,/?=1、.注意这一关系适用于所有数列.SSiG2例如：己知数列QJ的前项和£=(-1)-2”+1,贝Ija产.解析当A=1时，5i=Si=L当n22时，a=£-S-=(n-l)2fl+l-U-2)21+1=U-1)2-G2)2E=n21所以通项公式可以统一为a=n2厂'.答案4 .由简单的递推公式求通项公式(1)形如飞1一4=，(),且f(l)+f(2)+F(向可求和,采用累加法求小即：&=盘+(全一国)+(上交)+(必-HlJ=z+f(l)+f(2)+£(/?1)ir-1=z+&#

5、163;f(。i-i(2)形如&，尸f34,且fF(2)fG)可化简,采用累乘法求品充小区,.fl-X即a=a：>-=a：f(l)f(2)FIf(f)a：a2a-i1(注：£为连加求和符号，n为连乘求积符号)(3)形如%-=力圆十万(的声0且月Wl).设“小一才=月(施一x),则：升为+(1-月)*由(1一月)x=5,=（1一尸）旦+4&1A一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律.根据此规律便可写出一个相应的通项公式.注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构

6、成规律，可把序号1,2,3,标在相应项上，这样便于突出第A项区与项数A的关系，即4如何用表示.(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作.如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试.(3)当一个数列出现“+”、“一”相间时，应先把符号分离出来，即用(一1尸或(一1尸一1表示，然后再考虑各项绝对值的规律.(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式.1一个通项公式：,N 1 4 2于亍IT T -(3)1, 3,6,10,15

7、, 根据数列的前几项，写出下列各数列的,、1925(2)亍 2, 5，8,;(4)7,77,777,:(5)0, 3, 8,15, 24, (6) L1V 13f 214444解(1)注意前四项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为.婷77,0O11144于是它们的分母相差3,因而有a=不把分母统一为2,则有:1 4 9 16 2529 5' 29 工'T，因而有注意6=2X3,10=2X5,15=3X5,规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2,1X2 2X3 3X4 4X5T"' 29 29 25X6T-因而有口=一n+12(4)把各项除以7,得1

8、,11,111,，再乘以9,得9,99,999，.7因而有=-(101).(5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,2:,3:435%,则有取=必一L(6)显然各项的分子均为1,其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21,，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4,，其规律也就明显了.如1故属尸产行？二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性.例2在数列QJ中，a=（刀+1）怖6£10.试问数列QJ的最大

9、项是第几项？解方法一（aCN）,，a»+LA=（a+2）（当）"（a+1）（当）=（卧右当时，&&递增，即士a3瓯,Z|a=9时,由=a0.当210时，&a匕，a递减，即&0的如.1O10乂由=盘。=115.数列/的最大项是第9项和第10项.方法二令士21G22）,整理得小然.解得后1。令三21,及卜4即RF整理得，解得G9.A十411所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减.因此数列QJ先递增，后递减.二2（七Y39，、口1O102。如2二,旦小=%。=五？.数列QJ中的最大项是第9项和第10项.三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，

10、数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解.3己知数列aJ,5i=1h=3.i*G123）,那么充°,。与So”依次是（）A.1,3B.3,1C.2,2D.2,2解析a尸&T- sin1=&?&r=（a启-二）-&r=-'a二II&，*=1/.aR»6=a,3="（-a.J=& 4为周期数列，且周期7=6. 比010-&6=土a：-SLz"2./.2+

11、充+小+团+叁+恁=（a+ai）+（正+屈）+（央+.）=0+04-0=0,且2010是6的倍数， *S二oio=0. S：009=Szoxo-a：oxo=0-a：oio=0-（2）=2.答案C四、已知前A项和£，求通项4方法链接：已知数列QJ的前项和S,求a，先由n=l时，备=£,求出2,再由&=£一$,（刀22）求出小，最后验证盘与施能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示.例已知下列各数列QJ的前n项和2的公4式，求&的通项公式.(1)2=(-1)"'m(2)$=3。一2.解(1)当=1时，鼻=£=1；当

12、时，a»=-S»5r-i=(l)a(n)(l)a*(n1)=(-1)'(2n+l).由于a：也适合此等式，因此4=(一1尸(-2a+1)(£").(2)与n=1时，a：=SI=1；当时，4=S-St=235'.1n=l23”1后2.五、由递推公式求通项为方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法需要理解一点，对为-G22）不仅仅是一个式子而是对任意的）22恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在己知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为为，就是解题的关键所在.另外递推公式具有递推性，故由为再加上递推公式可以

13、递推到5由下列数列的递推公式求数列a的通项公式：2=1,七一41=A(G2)：/、aA1/一、(2)a=l,=G>2)1h解(1)由题意得，当n22时，七一a&La二=/2-1,，一上=3,正一由=2.将上述各式累加得，一ai=h+(72-1)+3+2,即&=a+(a-1)+3+2+1=，乙由于2也适合此等式.una+1故属尸-.由题意得,当a，2时，为a-1ann-2史_2生aRin'a"n-Va：3'a：2'将上述各式累乘得，-=i即=±nn由于2也适合此等式，故a=1n六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常

14、生活中有着广泛的应用.构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：（1）求初始值：（2）建立递推关系；（3）利用递推关系分析解决问题.其中构建递推关系是关键.6某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图、（2）、（3）、（4）分别有1个、5个、13个、25个.如果按照同样的方式接着摆下去，记第a个图需用f。）个“福娃迎迎”，那么An+l）-f（n）=；/（6）=.解析Vf(l)=l,f(2)=5,K3)=析,4)=25,/.£(2)-Al)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,/.f(血+1)f(n)=

15、4a.:.f(6)=f(l)+jf(2)/(I)+A3)f(2)+/(4)jf(3)+/(5)f(4)+f(6)f=1+4+8+12+16+20=61.答案4n61区突破1.对数列的概念理解不准而致错1 已知数列届是递增数列，且对于任意的a£N，升=步+4/2恒成立，则实数a的取值范围是.错解因为a=力+是关于的二次函数，且所以一方W1,解得422 .点拨数列是以正整数M(或它的有限子集1,2,，6)为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点.正解1因为4=/+4功其图象的对称轴为=一，由数列QJ是单调递增数列有一得2：如图所示，当2(一丹一日一1,即1>一3时，数列QJ也是

16、单调递增的.故乂的取值范围为，4>-2U3r>3=川/>一3.即4一3为所求的范围.正解2因为数列含是单调递增数列，所以a4>0(n£N*)恒成立.又品=力+4a(n£N*),所以3+1尸+A(jj+1)所+4a)>0恒成立,即2n+H-DO.所以a>-(2n+l)(a£N)恒成立.而h£N*时，一(2n+l)的最大值为一3(a=1时)，所以4>一3即为所求的范围.!温豪山评利用函数观点研究数列性质时，一定要注意:数列定义域是2,3,4,，小或其子集这一特殊，性，防止因犷大定义域而出错，2.对公式使用条件考虑不周

17、而致错2已知数列尾的前n项和为£=3'+2口+1,求错解&=£一£-=(3fl+2n+l)-31+2(n-l)+l=23”&+2.%n=l点拨公式区=是分段的，因为n=l时，S一无意义.在上5一£-G2述解答中，应加上限制条件n，2,然后验证a=1时的值是否适合时的表达式.正解a=£=6：口22时，牛=£一£-1=(3"+2+1)3”7+2(刀-1)+1=235'+2.由于/不适合此式,所以231+2n=l422温馨点评因为在薮列I%）中1%户。这样的符号是没：有任何意义的,因此Q=

18、5-5|仅适用于/1/2时求:区第一项4要利用叼:51单独求解,若能统一妾统一T:I否则妥分段写出，i3也多解例设QJ是首项为1的正项数列且（a+1）h：,l遍+61a=0（a£N*）,求力.分析先求出相邻两项4-与4的关系，再选择适当的方法求为.解方法二（累变法）由（n+1）苏门/2五+&.”：&=0得（2匕+&）（/?r-n+&）=0.由于4,1+a0,（a+1）H"1?&=0.含11n&n+T%33盘az193=1X.XX,X.X4&nrn-11二T=Z,方法二（换元法）由已知得（a+1）a-/2a=0,设b尸血,则6小一4=0.8是常数列.'6启=6=1义&=19I'P/2&r=L；Ea=.n赏析1.（2009北京）已知数列QJ满足:a