第6章刚体力学

1、第6章刚体力学（1）提 要刚体的性质刚体的力和力矩刚体的定轴运动刚体定轴转动举例 1. 1. 刚体的性质刚体的性质刚体是一种特殊的质点系。刚体是一种特殊的质点系。刚体中各刚体中各质点的相对位置始终质点的相对位置始终不变不变形变忽略不计形变忽略不计刚体运动刚体运动的描述的描述刚体刚体的运动方式分为：平动、转动（绕定轴转动、绕定的运动方式分为：平动、转动（绕定轴转动、绕定点转动）和滚动（平动转动）点转动）和滚动（平动转动）转动：转动：刚体上所有质点都绕同一直线（转轴）作圆周运动。刚体上所有质点都绕同一直线（转轴）作圆周运动。刚体的一般运动可以分解刚体的一般运动可以分解为：为：基点基点的的平动平动+

2、绕绕基点的转动。基点的转动。平动：平动：1）自由刚体的自由度为6，非自由刚体的自由度小于6。2）对称刚体的质心在对称轴上，非对称刚体可先设法分割为若干对称刚体，再找其质心位置。3）刚体内力作功为零。4）刚体内力矩为零。刚体运动的性质：（自学并证明）由于刚体不形变的特点，使其具有下列力学特性：刚体运动刚体运动的描述方法：的描述方法：通常以角量描述刚体的运动！通常以角量描述刚体的运动！（角位置（角位置、角速度、角速度 、角加速度、角加速度）为什么？为什么？1).角速度矢量角速度矢量rv2).2).角位置角位置( (是矢量还是标量？）是矢量还是标量？）请思考？请思考？dtd/但是但是dtd证明角速度

3、的矢量性。第一第一步步(合运动方向满足矢量合成法合运动方向满足矢量合成法则则) ：证明合运动绕证明合运动绕OC轴，即轴，即OC为为定轴定轴。Vo=Vc=0(C为为OA和和OB构成的平行四边形的对角线上的顶点。构成的平行四边形的对角线上的顶点。)第二步第二步：证明某点：证明某点P绕绕OC轴运动轴运动的角速度为：的角速度为：OCp |一刚体同时参与两种转动，角速度分别一刚体同时参与两种转动，角速度分别为为21和Pp11p22rOCrr即：POCPOAPOBSSS思思路路凡是矢量就应该服从平行四边形合成法则，而平行四边凡是矢量就应该服从平行四边形合成法则，而平行四边形法则服从交换率。形法则服从交换率

4、。请看下图：请看下图：abba应该怎样思考如何解决这一矛盾？（请同学们应该怎样思考如何解决这一矛盾？（请同学们展开讨论）展开讨论）结论：当角位移为无穷小量时，为矢量，否结论：当角位移为无穷小量时，为矢量，否则为标量。（可与路程对照）则为标量。（可与路程对照）3).3).角加速度角加速度dtd/dtd请根据请根据角位置角位置、角速度、角速度 、角加速度、角加速度一一般关系导出匀角加速转动的刚体的角运动般关系导出匀角加速转动的刚体的角运动方程。方程。刚体角速度的绝对性：刚体转动的角速度刚体角速度的绝对性：刚体转动的角速度与基点的选择无关。与基点的选择无关。注意！注意！证明刚体角速度的绝对性3. O

5、2 相对相对O1 的运动的角速度的运动的角速度随随O1 的平动的平动+绕绕O1的转动的转动1.以以O1为基点研究刚体运动的为基点研究刚体运动的角速度角速度 ：12.以以O2 为基点研究刚体运动的角速为基点研究刚体运动的角速度度 ：24.结论：结论：21角角量关系及角量和线量的量关系及角量和线量的关系关系222 rararvdtddtddtdnt 、本来是矢量本来是矢量，但是在，但是在定轴转动定轴转动中轴的方位不中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。替。2. 2.施施于刚体的于刚体的力系的简化（自学）力系的简化（自学）作用作用在刚体上

6、的力是滑移矢量在刚体上的力是滑移矢量作用在刚体上的力不能随便平移，但可以沿力的作用线滑动。作用在刚体上的力不能随便平移，但可以沿力的作用线滑动。几种几种特殊力系特殊力系共点力系共点力系：可以等效为一个力。：可以等效为一个力。 所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。 平行力系：平行力系：当两平行力同向等大或反向但大小不等时，可等当两平行力同向等大

7、或反向但大小不等时，可等效为一个力。（求重心）效为一个力。（求重心）当其等大反向时，称为力偶。当其等大反向时，称为力偶。(1) F1, F2 (1) F1, F2 同向，如图同向，如图6.56.5所示。所示。 (2) F1, F2 (2) F1, F2 反向，但大小不等。反向，但大小不等。 (3) F1, F2 (3) F1, F2 反向，且反向，且 F1 =F1 =F2 F2 。 没有合力，这一对平行力称为力偶。没有合力，这一对平行力称为力偶。容易验证，该力偶对于垂直于该平面的容易验证，该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩相同。（称该力矩为力任何轴线的力矩相同。（称该力矩为力偶矩）偶矩）

8、仍可用上法求合力。合力仍可用上法求合力。合力 F = FF = F1 1 + + F F2 2与与 F F1 1, F, F2 2 平行，大小为平行，大小为 F F1 1, F, F2 2 大小大小之差，方向与之差，方向与 F F1 1, F, F2 2中的较大者相同，中的较大者相同，但作用线发生了改变。但作用线发生了改变。 讨论： (1)(1)求多个平行力的力系的合力，先求求多个平行力的力系的合力，先求 F1, F2 F1, F2 的合力，的合力，再求该合力与再求该合力与 F3 F3 的合力，等等。由上述可知，其结的合力，等等。由上述可知，其结果或为一个合力，或为一个力偶矩。果或为一个合力，

9、或为一个力偶矩。 (2)(2)可用此法求若干可用此法求若干 n n 个质点的重心，即个质点的重心，即 n n 个重力的合力。个重力的合力。(3)(3)选取平动参考系统研究刚体时，刚体中各质点所受的选取平动参考系统研究刚体时，刚体中各质点所受的惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好象出现了某种象出现了某种“附加重力场附加重力场”，该力场的合力自然作，该力场的合力自然作用于用于“重心重心”，即作用于质心。因而惯性力系对于通，即作用于质心。因而惯性力系对于通过质心的任一轴线的力矩当然为零。过质心的任一轴线的力矩当然为零。 异异面力系面力系：所有力

10、的作用线不在同一平面内。：所有力的作用线不在同一平面内。可等效为作用于某一点的一个力和一对力偶，其力偶矩等可等效为作用于某一点的一个力和一对力偶，其力偶矩等于各力对该点的力矩的矢量和。于各力对该点的力矩的矢量和。F1F2F3F 3 F刚体力系简化原则：作用在刚刚体力系简化原则：作用在刚体上的任何力系，最终可以等体上的任何力系，最终可以等效为一个作用于刚体上某一点效为一个作用于刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。行的力偶。共面力系共面力系：所有力的作用线位于同一平面。：所有力的作用线位于同一平面。可分解为共点力系或平行力系处理。可分解为共点力系或平行力系处理

11、。zOirifiFitFi3.3.刚体刚体定轴转动定轴转动切向分量式为：切向分量式为：Fit+fit= miait= miri切向分力与圆的半径及切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直转轴三者互相垂直两边乘以两边乘以ri ,有：有：Fit ri +fit ri = miri2 外力矩外力矩内力矩内力矩 miiiiiamfFfit转动转动定律定律对对 m mi i用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：对所有质元的同样的式子求和：对所有质元的同样的式子求和：Fit ri +fit ri = miri2 一对内力的力矩之和为零，所以有一对内力的力矩之和为零，所以有: :Fit ri = （ miri2） 令

12、令I miri2 ，I为为刚体对刚体对于转轴的于转轴的转动惯量转动惯量用用M表示表示Fit ri （合外力矩合外力矩）则有则有 M I fij mj mifjirorjriOiZ刚体所受的对于刚体所受的对于某一固定转动轴某一固定转动轴的的合外力矩合外力矩等于刚体等于刚体对此转轴对此转轴的转动惯量与刚体的转动惯量与刚体在在此合外力矩此合外力矩作用下所获作用下所获得的角加速度的乘积。得的角加速度的乘积。几点说明：M I 与与 Fm a 地位相当地位相当2）1 1）刚体是特殊的质点组，所有质点组的规律均适用于刚体。）刚体是特殊的质点组，所有质点组的规律均适用于刚体。但由于刚体不形变的特点，在研究刚体

13、转动问题时可借用角量但由于刚体不形变的特点，在研究刚体转动问题时可借用角量简化对运动的描述。简化对运动的描述。3 3） m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性， I反映刚体的转动惯性。与转动反映刚体的转动惯性。与转动惯量有关的因素为刚体的质量分布和轴的位置。惯量有关的因素为刚体的质量分布和轴的位置。4 4） 借助转动惯量可讨论借助转动惯量可讨论刚体定轴转动刚体定轴转动问题，计算转动惯量前，问题，计算转动惯量前，必须先明确定轴的位置。必须先明确定轴的位置。2i iiImr若质量连续分布若质量连续分布2Ir dmdm为质量元，简称质元。其计算方法如下：为质量元，简称质元。其计算方法如下：dldm

14、dsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布面分布面分布体分布体分布转动惯量转动惯量的的计算计算例例1 1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RdmO例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。lORrdr例例3 3、求长为、求长为L、质

15、量为质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX前例前例中中I I C C表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， I I A A表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距距L/2L/2。可见：可见：222211121243ACLIImmLmLmL推广上述推广上述结论：结论：若若有任一轴与过质心的轴有任一轴与过质心的轴平行，相距为平行，相距为d d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为I I，则有则有：I I Cmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理

16、。1 1）平行轴定理）平行轴定理平行轴定理证明平行轴定理证明 ABCdxmi =dmriiri iiCmrI2 对对C A轴平行轴平行C 轴（质心轴）轴（质心轴）对对AiiAmrI2 由图由图 drdrdrriiii 2222)(drmdmrmIiiiiiA 22故：故： 2mdIIcA 平行轴定理平行轴定理 0 Ciiiirmmrmmrm定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。量之和。zxyIIIxozyxydm2 2）垂直轴定理）垂直轴定理3 3）主轴）主轴惯量定

17、理惯量定理222123IIII123, ,I I I为刚体相对于三根相互垂直的对称轴的转动惯量, 为任意轴与三根主轴的夹角的余弦定理表述：刚体相对定理表述：刚体相对于任意轴的转动惯量于任意轴的转动惯量与其主转动惯量和方与其主转动惯量和方向余弦有如下关系：向余弦有如下关系：几种常见刚体定轴转动的I右图所示刚体对经右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如的轴的转动惯量如何计算？何计算？( (棒长为棒长为L、圆半径为圆半径为R）例例4 4、一个质量为、半径为、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮绕有细绳，绳的一

18、端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。mg类比法质点直线运动与刚体定轴转动m平动惯性平动惯性I转动惯性转动惯性质点直线运动质点直线运动d角位移角位移dr位移位移速度速度角速度角速度角加速度角加速度a加速度加速度P动量动量L 角动量角动量刚体定轴转动刚体定轴转动运动学量的类比FMPmLI 212kEm212krEIdFAFrdmAM动力学量的类比质点直线运动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动类比法质点平动与刚体定轴转动力学规律

19、的类比MI Fm addPFmtaddLMIt 2201122dAII2201122dAmm质点直线运动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动类比法质点平动与刚体定轴转动刚体刚体的重力势能的重力势能hhihcxOmCm一一个质元：个质元：iighm()iiPiiiiEm g hgm h重p GcEm g h整个刚体：整个刚体：一个不太大的一个不太大的刚体（刚体（重心相对位置不变重心相对位置不变）的）的重力势能重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。转动转动中的功和能中的功和能力矩力矩的功的功|cosrdFrdFdW力矩对转动物体作的功等

20、于相应力矩和角位移的乘积。称为力矩的功。称为力矩的功。rdF cos MrFrFcoscosMddW xOrvFPdrd功的另一种表示方法功的另一种表示方法刚体刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。功的效果来解释。iiiiiiKrmvmE22)(2121刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为：22221)(21Irmiii将定轴转动的转动定律两边乘以将定轴转动的转动定律两边乘以d d 再同时对再同时对 积积分有分有: :21222121II21dIdtdtdI21ddtdI21合外

21、力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量刚体的转动动能的增量。12KKEEW上式即为：上式即为：这个结论称为定轴转动的动能定理。这个结论称为定轴转动的动能定理。转动动能之差转动动能之差21Md刚体刚体的角动量、的角动量、角动量定理角动量定理1 1）刚体）刚体的角动量的角动量刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕固定轴做圆周运动角动量为绕固定轴做圆周运动角动量为：vmrPrL质点对点的角动量为：质点对点的角动量为：iiiiiimrvmrL2所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：IrmLLiiiii)(2刚体对固定转动

22、轴的角动量刚体对固定转动轴的角动量L L, ,等于它对该轴的转动惯等于它对该轴的转动惯量量I I 和角速度和角速度 的乘积。的乘积。2 2）刚体）刚体的角动量定理的角动量定理dtLdM 质点的角动量定理为：质点的角动量定理为：A A：微分形式：微分形式：对质点组讨论对质点组讨论:dtiLdiM内外iMiMiM ijijMiM内 jj iMiM外 iiMidtiLddtLdMiiMiM)( 内外iijijMM外 ZmjmifjirorjriOifijdtLdMM外 刚体是特殊的质点组刚体是特殊的质点组, ,在定轴转动中只考虑力矩和角在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为动量平行

23、于转轴的分量，设转轴为z z 轴轴, ,取角动量定取角动量定理沿理沿z z轴的分量式有轴的分量式有: :dtdLMzz外0 iijijM在定轴转动中，可用标量表示：在定轴转动中，可用标量表示：IdtdIIdtdLdtdM)(刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固定轴方向的分量式的一种特殊形式。B:B:积分形式积分形式LLLdLMdttLL12021左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为的积累效果，称为冲量矩冲量矩；右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。刚体定轴转动中的守恒定律动量守恒动量守恒对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程如果在运动过程中所受合外力中所受合外力为零为