第1章 行列式4-6

1、4 4 行列式的性质行列式的性质1一、行列式的性质一、行列式的性质111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . TDD若记若记 ，则，则 .det(), det()TijijDaDbijjiba 记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .2性质性质2 互换行列

2、式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . DD 0D 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .ji()ijijrr cc3性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于

3、用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .ki()iirk ck41112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa1122331

4、22331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .ki()iirk ck5212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa验证验证我们以我们以4阶行列式为例

5、阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零6性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如例如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 则则111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa7121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 12

6、3123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 8性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则1.DD 验证验证122211132123313323,aaDaaaaaaa 我们以我们以三三

7、阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .ki().ijijrkr ckcj9例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值ijrkr 3 102101044614753124025973313211 D3 解解21010446

8、14753124022010013211312 rr112101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 1242rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 132220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 146000001000211003512013211 612 454rr .12 64000010002110035

9、12013211 352rr 4 15例例2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 216 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 17例例3 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明 18证明证明111111

10、0;kkkkkpDpppp对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp设为设为19对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故20 ( (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位, ,

11、 凡是对行成立的性质对列也同样成凡是对行成立的性质对列也同样成立立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性质个性质215 行列式按行行列式按行(列列)展开展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .22一、引言12233111122122133333213213223

12、1112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？23例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaa

13、aa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式 1ijijijAM ija在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . ijijMijaija结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .24二、行列

14、式按行（列）展开法则定理定理1-5-1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain25例例3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 26 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法( (略略) )例例* * 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111

15、112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)27定理定理1-5-21-5-2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素换成第行的元素换成

16、第2行的对应元素，则行的对应元素，则 0. 285312017252023100414002350D 例例 计算行列式计算行列式解解5312017252023100414002350D 2 5531202311204140235 2923110 072066 7210 ( 2)66 20 ( 4212)1080. 2312 5414235 53204140132021352152 31rr 21( 2)rr 306 克莱姆法则二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121ba

17、Dab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 一、克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa122123,. (2)nnDDDDxxxxDDDD其中其中 是把系数行列式是把

18、系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjn111,11,111,1,11jjnjnn jn jnnnaaaaDaaaabb 那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. .这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论

19、的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在后续章节的一般情形中一并讨论将在后续章节的一般情形中一并讨论. .关于克拉默法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零. .设设11112211211222221122(

20、1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 例例 解线性方程组解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 解解2151130602121476D 122rr 42rr 075131306021207712 75132127712 122cc 322cc 35301077218151930652120476 81D 22851190605121076 =108D 27032181139602521406 27D 42158130902151470 27D 11813,27DxD 221084,27D

21、xD 33271,27DxD 44271.27DxD线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. .11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个解，称为解，称为零解零解. . 因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解不一定有非零解. . 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解. . 齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果齐次