第九章电磁场

1、（1 1）掌握法拉第电磁感应定律与楞次定律，并能熟练应用这两个定律分）掌握法拉第电磁感应定律与楞次定律，并能熟练应用这两个定律分析研究电磁感应现象问题；析研究电磁感应现象问题；（2 2）理解动生电动势及感生电动势的本质，掌握动生电动势和感生电动）理解动生电动势及感生电动势的本质，掌握动生电动势和感生电动势的计算方法；势的计算方法；（3 3）理解电磁场能量密度概念，会计算电磁场的能量；）理解电磁场能量密度概念，会计算电磁场的能量；（4 4）理解自感与互感的概念，会计算自感系数与互感系数；）理解自感与互感的概念，会计算自感系数与互感系数；（5 5）了解涡旋电场与位移电流的概念；）了解涡旋电场与位移

2、电流的概念；（6 6）了解麦克斯韦方程组积分形式的物理意义。）了解麦克斯韦方程组积分形式的物理意义。重点：重点：掌握法拉第电磁感应定律与楞次定律的内容、物理意义及其应用。掌握法拉第电磁感应定律与楞次定律的内容、物理意义及其应用。难点：难点：涡旋电场的计算。涡旋电场的计算。教学要求教学要求第九章第九章教学要求教学要求 授课学时（建议）：授课学时（建议）：810作业（建议作业（建议）：）：P P388 388 9 96 6、9 97 7、9 99 9、9 91010、9 91111、9 91414、9 91515 9 91616、9 91919、9 92121。9.19.1预备知识（预备知识（1

3、1） 9.19.1预备知识预备知识 一、电源一、电源图图9.1-1 在导体中有稳恒电流流动就不能单靠静电力，必须有非静在导体中有稳恒电流流动就不能单靠静电力，必须有非静电力把正电荷从负极板搬到正极板才能在导体两端维持有稳恒电力把正电荷从负极板搬到正极板才能在导体两端维持有稳恒的电势差。这种的电势差。这种能够提供非静电力的装置叫作电源能够提供非静电力的装置叫作电源。电源的作。电源的作用是把其它形式的能量转变为电能。用是把其它形式的能量转变为电能。（1）电源的种类电源的种类电解电池、蓄电池电解电池、蓄电池化学能化学能电能电能光电池光电池 光能光能 电能电能发电机发电机 机械能机械能电能电能（2）电

4、源的表示法）电源的表示法电势高的地方为正极，电势高的地方为正极，电势低的地方为负极。电势低的地方为负极。+ 说明：说明：二、电动势二、电动势 1.1.引入引入: :为了表述不同电源转化能量的能为了表述不同电源转化能量的能力，引入了电源电动势这一物理量。力，引入了电源电动势这一物理量。+2.定义定义:非静电场强度（非静电场强度（E Ek k）: :单位正电荷所受的非单位正电荷所受的非静电力，即静电力，即 kkqFE非静电力 正电荷正电荷q通过电源绕闭合电路一周时，静电力通过电源绕闭合电路一周时，静电力与非静电力对它所作的功为与非静电力对它所作的功为kLWqdEElkLqdEl(0)LdElkLW

5、dqEl表示，把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源非静电力做的表示，把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源非静电力做的功定义为功定义为电源的电动势电源的电动势。kWEdlq9.19.1预备知识（预备知识（2 2） 电动势是标量，但有方向；其方向为电源内部电势升高的方电动势是标量，但有方向；其方向为电源内部电势升高的方向，即从负极经电源内部到正极的方向为电动势的方向。向，即从负极经电源内部到正极的方向为电动势的方向。说明：说明：因为电源外部没有非静电力，所以可写为：因为电源外部没有非静电力，所以可写为：kdEl表示：电源电动势的大小等于把单位正电荷从表示：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内

6、部移到正极时非静电力所作的功。负极经电源内部移到正极时非静电力所作的功。图图9.1-2电动势的大小只取决于电源本身的性质，而与外电路无关。电动势的大小只取决于电源本身的性质，而与外电路无关。电动势的单位为伏特。电动势的单位为伏特。电源内部也有电阻（称为内阻），对含有内阻的电源通常用图电源内部也有电阻（称为内阻），对含有内阻的电源通常用图9.1-2所示的符所示的符号表示。号表示。三、闭合电路的欧姆定律三、闭合电路的欧姆定律 图图9.1-3IRr如图如图9.1-39.1-3所示的电路中，有：所示的电路中，有： 四、路端电压：四、路端电压：电源两端的电电源两端的电压或外电路的电势降落。由压或外电路的

7、电势降落。由图图9.1-39.1-3可知：可知：ababVVVIRIr9.19.1预备知识（预备知识（3 3） 9.2.19.2.1电磁感应的基本规律电磁感应的基本规律 人物简介人物简介：法拉第：法拉第（Michael Faraday，17911867） 一、电磁感应现象一、电磁感应现象 电电 流流磁磁 场场电磁感应电磁感应感应电流感应电流 1831年法拉第年法拉第闭合回路闭合回路变化变化m 实验实验产生产生产产 生生?1.问题的提出问题的提出：9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（1 1） GNS2.几个典型实验：几个典型实验：感应电流与感应电流与N-S的磁性、速度有关

8、的磁性、速度有关 ab abSN 感生电流与磁感应强感生电流与磁感应强度的大小、方向，与度的大小、方向，与截面积截面积S变化大小有关变化大小有关。感生电流与磁感应强度的大小、方向，感生电流与磁感应强度的大小、方向，与线圈转动角速度大小方向有关。与线圈转动角速度大小方向有关。R12Gm当回路当回路 1中电流发生中电流发生变化时，在回路变化时，在回路 2中中出现感应电流。出现感应电流。9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（2 2） 3.结论：结论：通过一个闭合回路所包围的面积的磁通量发生变化时，不管这通过一个闭合回路所包围的面积的磁通量发生变化时，不管这种变化是由什么原因引起

9、的，回路中就有电流产生，这种现象称种变化是由什么原因引起的，回路中就有电流产生，这种现象称为为电磁感应现象电磁感应现象。感应电流感应电流：由于通过回路中的磁通量发生变化，而在回路中产：由于通过回路中的磁通量发生变化，而在回路中产生的电流。生的电流。感应电动势感应电动势：由于磁通量的变化而产生的电动势叫感应电动势。：由于磁通量的变化而产生的电动势叫感应电动势。二、电磁感应定律二、电磁感应定律 1.1.内容：内容：路中由于磁通量变化而引起的感应电动势正比于磁路中由于磁通量变化而引起的感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值。其数学表达式为：通量对时间变化率的负值。其数学表达式为： dtdki -(

10、9-1)-(9-1) 当各量的单位都为当各量的单位都为SI制时制时iddt -(9-2)-(9-2) 负号表示感应电动势负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化总是反抗磁通的变化9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（3 3） （1 1）电路中感应电动势的大小只与穿过回路的磁通量对时间的变化率有关，）电路中感应电动势的大小只与穿过回路的磁通量对时间的变化率有关，而与穿过回路的磁通量及回路的材料无关；而与穿过回路的磁通量及回路的材料无关； 注：对法拉第电磁感应定律的说明注：对法拉第电磁感应定律的说明：（2 2）感应电动势的方向与磁通量变化之）感应电动势的方向与磁通量变化之间的关系

11、：间的关系： 如果选定回路如果选定回路L的绕行方向并规定与绕行方的绕行方向并规定与绕行方向成右手螺旋关系的磁通量为正，反之为负，向成右手螺旋关系的磁通量为正，反之为负，那么，当穿过闭合回路所包围面积的磁通量那么，当穿过闭合回路所包围面积的磁通量增加（）时增加（）时, ,则感应电动势，则感应电动势，其方向和绕行方向相反当穿过闭合回路所包其方向和绕行方向相反当穿过闭合回路所包围面积的磁通量减少（）时围面积的磁通量减少（）时, ,则感应则感应电动势，其方向和绕行方向相同。电动势，其方向和绕行方向相同。 d 0dt0id0i图图9.2.1-3（3 3）若有若有N匝线圈，它们彼此串联，总电动势等于各匝线

12、圈所产生的电匝线圈，它们彼此串联，总电动势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为动势之和。令每匝的磁通量为 1、 2 、 3 则总电动势为：则总电动势为： 121()NNiiiddddddtdtdtdtdt -(9-2)-(9-2) 1231Nii 其中为磁通链数其中为磁通链数: :9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（4 4） 若每匝磁通量相同为若每匝磁通量相同为，则则dtdNdtd -(9-4)-(9-4) （4）闭合回路中的）闭合回路中的感应电流：感应电流：iiIR-(9-6)-(9-6) （5 5）在）在t t1 1到到t t2 2时间间隔内通过导线任一

13、截面的时间间隔内通过导线任一截面的感应电量感应电量idqI dt21titqI dt211ttddtR dt 212111()dRR 表示：回路中的感应表示：回路中的感应电量只与磁通量的变电量只与磁通量的变化有关，而与磁通量化有关，而与磁通量无关无关 -(9-5)-(9-5) 三、楞次定律三、楞次定律 ( (判断感应电流方向判断感应电流方向) )人物简介：楞次（人物简介：楞次（18041860） 1834年楞次提出一种判断感应电流的方法，再由感应电流来年楞次提出一种判断感应电流的方法，再由感应电流来判断感应电动势的方向。判断感应电动势的方向。1.内容：内容：当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变

14、当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，感应电动势产生的感应电流方向，总是使化时，感应电动势产生的感应电流方向，总是使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通量感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通量的变化。的变化。 9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（5 5） 注：对楞次定律的说明注：对楞次定律的说明（1 1）楞次定律中的）楞次定律中的“阻碍阻碍”是指阻碍是指阻碍“原磁通量的变化原磁通量的变化”，而不是磁通量本，而不是磁通量本身；身；（2 2）阻碍并不意味着抵消，如果磁通量的变化完全被抵消了，则感应电流也）阻碍并不意味着抵消，如果磁通量的变化完全被抵消了，则感应电

15、流也不存在了。不存在了。 感应电流的感应电流的效果效果反抗引起感应电流的反抗引起感应电流的原因原因导线运动导线运动感应电流感应电流阻碍阻碍产生产生磁通量变化磁通量变化感应电流感应电流产生产生 abF阻碍阻碍用楞次定律判断感应电流方向的步骤：用楞次定律判断感应电流方向的步骤： （1）判明穿过闭合回路内原磁场的方向；）判明穿过闭合回路内原磁场的方向；（3）按右手法则由感应电流磁场的方向来确定感应电流的方向。）按右手法则由感应电流磁场的方向来确定感应电流的方向。反向反向与与感感BBm 同向同向与与感感BBm （2）根据原磁通量的变化）根据原磁通量的变化 , m按照楞次定律的按照楞次定律的要求确定感应

16、电流的磁场要求确定感应电流的磁场的方向；的方向；9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（6 6） 例：例：感感BNSBiI感感BBiINS思思 考：考：在无限长直载流导线旁有相同大小的四个矩形线圈，分别作如图在无限长直载流导线旁有相同大小的四个矩形线圈，分别作如图所示的运动。判断回路中是否有感应电流。所示的运动。判断回路中是否有感应电流。 )(a0 V)(bV)(cV)(d0 0 0 0 9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（7 7） 例交流发电机原理：例交流发电机原理： 面积为面积为S的线圈有的线圈有N匝，放在均匀磁场匝，放在均匀磁场B中，可绕中，可

17、绕OO轴转动，若线圈转动的角速度轴转动，若线圈转动的角速度为为，求线圈中的感应电动势。求线圈中的感应电动势。解：设在解：设在t=0时，线圈平面的正法线时，线圈平面的正法线n方向与方向与磁感应强度磁感应强度B的方向平行，那么，在时刻的方向平行，那么，在时刻t，n与与B之间的夹角之间的夹角=t，此时，穿过匝线圈的此时，穿过匝线圈的磁通量为：磁通量为： tNBSNBS coscos 由电磁感应定律可得线圈中的感应电动势为：由电磁感应定律可得线圈中的感应电动势为： tNBStNBSdtddtdi sin cos 令令m=NB，则则 i=msint令令=2f，则则 i=msin2fti 为时间的正弦函数

18、，为正弦交流电，简称交流电。为时间的正弦函数，为正弦交流电，简称交流电。9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（8 8） iabcd1l2lhxdx例例:无限长直导线无限长直导线tsinii 0 共面矩形线圈共面矩形线圈abcd求求: i 已知已知:1l2lh解解: 2102lhhdxlxi tsinhlhlnli 21002 dtdmi tcoshlhlnli 21002 SdBm 9.2.19.2.1电磁感应的基本规律（电磁感应的基本规律（9 9） 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势动生电动势与感生电动势 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与

19、感生电动势（1 1） 引入：引入：cosmSSdBdSBS由由可知：引起磁通量变化的原因可知：引起磁通量变化的原因主要有两种：主要有两种：（1 1）磁场不变，回路全部或局部在稳恒磁场中运动）磁场不变，回路全部或局部在稳恒磁场中运动动生电动势；动生电动势；（2 2）回路不动，磁场随时间变化）回路不动，磁场随时间变化感生电动势；感生电动势；当上述两种情况同时存在时，则同时存在动生电动势与感生电动势。当上述两种情况同时存在时，则同时存在动生电动势与感生电动势。一、动生电动势一、动生电动势Gli a b 1.从运动导线切割磁场线导出动从运动导线切割磁场线导出动生电动势公式生电动势公式BlxBS id

20、Blxd xdBlBldtdtdt-(9-7)-(9-7) 2.从运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力从运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力导出动生电动势公式导出动生电动势公式+Bvab+动生电动势的成因动生电动势的成因导线内每个自由电子受到的洛仑兹力为导线内每个自由电子受到的洛仑兹力为:()mFeB mFFm为非静电力，它为非静电力，它驱使电子沿导线由驱使电子沿导线由a向向b移动。移动。由于洛仑兹力的作用使由于洛仑兹力的作用使 b b 端出现过剩端出现过剩负电荷，负电荷， a a 端出现过剩正电荷端出现过剩正电荷 。在导。在导线内部产生静电场线内部产生静电场E方向方向ab电子受的静电力为：电子受的静电力

21、为：eFeE 平衡时：平衡时：meFF eF此时电荷积累停止，此时电荷积累停止，ab两端形成稳定的电势差。洛仑兹力是两端形成稳定的电势差。洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因。产生动生电动势的根本原因。动生电动势的公式动生电动势的公式定义定义 为非静电场强为非静电场强kEmke FEB由电动势定义由电动势定义 l dEki 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（2 2） 运动导线运动导线abab产生的动生电动势为产生的动生电动势为()ikEdlBdl-(9-8)-(9-8) 注：对动生电动势的说明注：对动生电动势的说明 （1 1）动生电动势只存在于切割磁力线运动的导

22、体上，不动的导体上）动生电动势只存在于切割磁力线运动的导体上，不动的导体上没有动生电动势。不构成闭合回路的导体切割磁力线运动时，导体两端没有动生电动势。不构成闭合回路的导体切割磁力线运动时，导体两端只存在电势差，即只有动生电动势产生，而无电流；只存在电势差，即只有动生电动势产生，而无电流； （2 2）动生电动势的产生，并不要求导体必须构成闭合回路；）动生电动势的产生，并不要求导体必须构成闭合回路； （3 3）在磁场中运动的导体，并不都能产生动生电动势，只有运动方）在磁场中运动的导体，并不都能产生动生电动势，只有运动方向不平行于磁场的部分才出现动生电动势，而哪些运动方向平行于磁场向不平行于磁场的

23、部分才出现动生电动势，而哪些运动方向平行于磁场的部分，动生电动势为零。的部分，动生电动势为零。 动生电势的计算动生电势的计算 求动生电动势的方法主要有二种：求动生电动势的方法主要有二种： 其计算步骤可归纳为：其计算步骤可归纳为： (1)(1)不闭合导体回路：不闭合导体回路：用动生电动势公式用动生电动势公式 idBl ，9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（3 3） 应用微元分析法，将导线分成若干微元应用微元分析法，将导线分成若干微元dldl，由由sincosidBdl写出任一微元的动生电动势写出任一微元的动生电动势 id大小，式中大小，式中 ( ,),B (),d

24、 Bl 确定积分上下限，对确定积分上下限，对 id积分可得动生电动势的大小，即积分可得动生电动势的大小，即 iiLdi的方向由楞次定律确定；的方向由楞次定律确定； (2)(2)闭合导体回路：闭合导体回路：由法拉第电磁感应定律由法拉第电磁感应定律 iddt 确定确定 i的大小。即先求回路的磁通量，再求回路的磁通量对时间的的大小。即先求回路的磁通量，再求回路的磁通量对时间的变化率。的方向由楞次定律定。变化率。的方向由楞次定律定。i例例 如图，长为如图，长为L的铜棒在磁感应强度为的均匀的铜棒在磁感应强度为的均匀磁场中，以角磁场中，以角B速度速度 绕绕O轴转动。轴转动。求：棒中感应电动势的大小和方向。

25、求：棒中感应电动势的大小和方向。解：解：方法一方法一取微元取微元()dBdrB drBrdr例例9.2.2-1图图0LiidBr dr221LB 方向方向OA9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（4 4） 方法二：方法二：用法拉第电磁感应定律求解用法拉第电磁感应定律求解 问问题题把铜棒换成金属圆盘，把铜棒换成金属圆盘，中心和边缘之间的电动势是多少？中心和边缘之间的电动势是多少？设设t时刻铜棒时刻铜棒OP已转过的面积为已转过的面积为 ，其磁通量为，其磁通量为 aOPS22LBBS 因而感生动势大小为因而感生动势大小为 22212LBLBdtdi方向由楞次定律可判断为

26、方向由楞次定律可判断为OP。 均匀磁场均匀磁场 平动平动例例 已知已知:,BL求求: ()dBdl解：解：+L Bl dB00sin90cos(90)BdlsinBdlsinBdlsinB L典型结论典型结论典型结论典型结论9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（5 5） 特例特例+B+B+0 B L 0 dtdi 例例 一直导线一直导线CD在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动。在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。求：动生电动势。Bl dIablCD方向方向CD 解：解：方法一方法一()dBdl000sin90cos1802Idll02Idll

27、 02a baIdll 0ln2Iaba 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（6 6） 方法二方法二abICD)O(EFX SSdB 作辅助线，形成闭合回路作辅助线，形成闭合回路CDEFabaIx ln20 dtdi dtdxabaI)ln2(0 abalnIv 20方向方向CD v baaxdrrI 20rdr9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（7 7） 思考：思考：SdBd xdrrI 20 dtd abICD)O(EFXrdrdtxdrrI 20 做法对吗？做法对吗？dtdi 例例9.2.2-39.2.2-3如例如例9.2.

28、2-39.2.2-3图所示，导线矩形框的图所示，导线矩形框的平面与磁感应强度为平面与磁感应强度为B的均匀磁场相垂直。在此矩形框上，的均匀磁场相垂直。在此矩形框上，有一质量为有一质量为m，长为长为l的可移动的细导体棒的可移动的细导体棒MN；矩形框还矩形框还接有一个电阻接有一个电阻R，其值比导线的电阻值大得多。若开始其值比导线的电阻值大得多。若开始（t=0）时，细导体棒以速度时，细导体棒以速度0沿如图所示的矩形框运动，沿如图所示的矩形框运动，试求棒的速率随时试求棒的速率随时间变化的函数关系。间变化的函数关系。解解 ：由安培定律可得作用在棒上的安培力：由安培定律可得作用在棒上的安培力F的值为的值为

29、2 2B lFIBlR根据牛顿第二定律可得，棒的运动方程应为根据牛顿第二定律可得，棒的运动方程应为： 2 2dB lmdtR 即即 2 2dB ldtmR ，积分可得积分可得2 20lnB ltmR 所以，棒在时刻的速率为所以，棒在时刻的速率为 例例9.2.2-3图图2 20B ltmRe9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（8 8） 二、感生电动势涡旋电场二、感生电动势涡旋电场 1.感生电动势：感生电动势：由于磁场发生变化而激发的电动势。由于磁场发生变化而激发的电动势。GNS电磁感应电磁感应非静电力非静电力洛仑兹力洛仑兹力非静电力非静电力?动生电动势动生电动势感

30、生电动势感生电动势变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，称为涡旋电场或感生电场。记状的电场，称为涡旋电场或感生电场。记作。作。Ek2. 麦克斯韦假设：麦克斯韦假设：非静电力非静电力感生电动势感生电动势感生电场力感生电场力由电动势的定义可得感生电动势为由电动势的定义可得感生电动势为: :ikdEl-(9-9)-(9-9) 导体构成闭合回路时，则感生电动势为：导体构成闭合回路时，则感生电动势为： ikLdEl-(9-10)-(9-10) 由法拉第电磁感应定律得：由法拉第电磁感应定律得：iSSdddddtdtt BBS = -S-(9-11)-(9-11)

31、 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（9 9） 由由(9-10) (9-10) 和和(9-11)(9-11)式得式得感生电场与变化磁场之间的关系为感生电场与变化磁场之间的关系为 ： kLSddt BElS-(9-12)-(9-12) 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率，是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率，不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率S是以是以 L 为边界的任一曲面。的法线方向为边界的任一曲面。的法线方向应选得与曲线应选得与曲线 L的积分方向成右手螺旋关的积分方向成右手螺旋关系系(9-12)(9-12)式说明

32、式说明感生电场和感生电场和磁感应强度的变化磁感应强度的变化连在一起。连在一起。感感生电场是由变化的磁场产生的。生电场是由变化的磁场产生的。变化的磁场和它所激发的感变化的磁场和它所激发的感生电场，在方向上满足反右手螺旋关系生电场，在方向上满足反右手螺旋关系左手螺旋关系左手螺旋关系。 tB 涡涡E涡涡EtB 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1010） 由静止电荷产生由静止电荷产生由变化磁场产生由变化磁场产生线是线是“有头有尾有头有尾”的，的，库库E是一组闭合曲线是一组闭合曲线起于正电荷而终于负电荷起于正电荷而终于负电荷感感E线是线是“无头无尾无头无尾”的的感生电

33、场（涡旋电场）感生电场（涡旋电场）静电场（库仑场）静电场（库仑场）具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力0 SSdE涡涡 iSqSdE01 库库 SLSdtBl dE涡涡0 l dEL库库9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1111） 动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势特特点点磁场不变，闭合电路的磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运整体或局部在磁场中运动导致回路中磁通量的动导致回路中磁通量的变化变化闭合回路的任何部分都闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变不动，空间磁场发生变化导致回路中磁通量

34、变化导致回路中磁通量变化化原原因因由于由于S的变化引起回的变化引起回路中路中 m变化变化非静非静电力电力来源来源感生电场力感生电场力iBdl SiSdtBl dE涡涡 洛仑兹力洛仑兹力由于由于 的变化引起回的变化引起回路中路中 m变化变化B9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1212） 感生电动势的计算：感生电动势的计算：感生电动势的计算方法主要有二种：感生电动势的计算方法主要有二种： （1 1）若磁场在空间分布具有对称性且磁场中导体又不构成闭合回路时，）若磁场在空间分布具有对称性且磁场中导体又不构成闭合回路时，可利用可利用(9-12)(9-12)式首先求出空间

35、式首先求出空间Ek的分布，然后再利用的分布，然后再利用(9-9)(9-9)式求出导体上式求出导体上的感生电动势。的感生电动势。 （2 2）若导体为闭合回路，或虽不是闭合但可通过添加加辅助线构成闭合）若导体为闭合回路，或虽不是闭合但可通过添加加辅助线构成闭合回路时，则可直接利用进行求解。回路时，则可直接利用进行求解。 iddt 例：设空间有磁场存在的圆柱形例：设空间有磁场存在的圆柱形区域的半径为区域的半径为R=5cm，磁感应强磁感应强度对时间的变化率为度对时间的变化率为dB/dt=0.2T/s，试计算离开轴线试计算离开轴线的距离的距离r等于等于2cm、5cm及及10cm处处的涡旋电场。的涡旋电场

36、。 例例9.2.2-5图（图（a）例例9.2.2-5图（图（b）解：如图所示，以为半径解：如图所示，以为半径r作一圆形闭作一圆形闭合回路合回路L，根据磁场分布的轴对称性根据磁场分布的轴对称性和感生电场的电场线呈闭合曲线特点，和感生电场的电场线呈闭合曲线特点，可知可知回路上感生电场的电场线处在垂回路上感生电场的电场线处在垂直于轴线的平面内，它们是以轴为直于轴线的平面内，它们是以轴为 圆心的一系列同心圆，同一同心圆上任一点圆心的一系列同心圆，同一同心圆上任一点9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1313） 的感生电场的的感生电场的Ek大小相等，并且方向必然与回路相切

37、。大小相等，并且方向必然与回路相切。于是沿于是沿L取取Ek的线积分，的线积分，有：有： rEl dEkLk 2 dtdBrrEk22 若若rR，则则 2rB dtdBrdtdl dELk2 dtdBrEk2 若若rR，则则 2RB 22 dBErRdtkdtdBrREk22 故本题的结果为：故本题的结果为：r=2cm时，时， 131022 . 0202. 02 mVdtdBrEkr=5cm时，时， 131052 . 0205. 02 mVdtdBREkr=10cm时时 1322105 . 22 . 01 . 0205. 02 mVdtdBrREk9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生

38、电动势与感生电动势（1414） 例例： 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，已知：已知：方向如图方向如图.求：求：CD 0 tBLh、 tB BhL CDo9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1515） dtdBrE2 涡涡ldEd 涡涡 cosdldtdBr2 dldtdBh2 dtdBhLdldtdBhLCD 212 hcosr tB BhL CDrdll oiLEdl涡解解:涡涡E电动势的方向由电动势的方向由C指向指向D9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1616） tB BhL CDo用法拉

39、第电磁感应定理求解用法拉第电磁感应定理求解CODC所围面积为：所围面积为：hLS21 磁通量磁通量SBm tddBhL21 ?hLB21 9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1717） tB B CDohCD导体存在时，导体存在时，电动势的方向由电动势的方向由C指向指向D加圆弧连成闭合回路加圆弧连成闭合回路 矛盾？矛盾？CD12dtdBSdtdBhLOCD 21121 dtdBSDOC 22扇扇 12323 由楞次定理知：感生电流的由楞次定理知：感生电流的方向是逆时针方向方向是逆时针方向.9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（181

40、8） tB B CDo4dtdBSCOD 44扇扇 41 1和和 4 的大小不同，说明感生电场不是位场，的大小不同，说明感生电场不是位场，其作功与路径有关其作功与路径有关dtdBSOCD 14 的方向逆时针的方向逆时针D 4C19.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（1919） 练习练习求杆两端的感应电动势的大小和方向求杆两端的感应电动势的大小和方向 0 tBB oabcRRRddtdBSoabdo obdoaboabdoSSS 62123212 RRR dtdB)RR(221243 ca 方方向向9.2.29.2.2动生电动势与感生电动势（动生电动势与感生电动势（

41、2020） 9.2.39.2.3自感和互感自感和互感9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（1 1） 一、自感一、自感1.自感现象自感现象i当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从的磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从而在而在线圈本身线圈本身产生感应电动势，这种现象称产生感应电动势，这种现象称为为自感现象自感现象，相应的电动势称为，相应的电动势称为自感电动势自感电动势。2.自感系数自感系数式中式中L为为自感系数自感系数,简称自感或电感，它由回路的大小、形状、匝数以及简称自感或电感，它由回路的大小、形状、匝数以及周围磁

42、介质的性质决定。单位：亨利、周围磁介质的性质决定。单位：亨利、H。常用的毫亨利（常用的毫亨利（MH）与微与微亨利（亨利（H）为单位。它们之间的关系为为单位。它们之间的关系为 若回路由若回路由N匝线圈串联而成，则匝线圈串联而成，则磁链磁链mNLI -9-14因此，因此，L的意义为：的意义为：一个线圈中通有单位电流时，通过线圈自身的磁通链一个线圈中通有单位电流时，通过线圈自身的磁通链数，等于该线圈的自感系数。数，等于该线圈的自感系数。因因 I = 1 A，有有 L3611010 ()HmHH闭合回路，电流为闭合回路，电流为I，回路形状不变，没有铁磁质时，根据毕奥回路形状不变，没有铁磁质时，根据毕奥

43、-萨伐尔定萨伐尔定律，律，B I， =BS，则有：则有： mIL-9-13m3.自感电动势自感电动势LI L L的计算：的计算： IL dtdL dt)LI(d dtdLIdtdIL 若回路几何形状、尺寸不变，周围介质的磁导率不变，若回路几何形状、尺寸不变，周围介质的磁导率不变，0 dtdLLdILdt -(9-14)-(9-14) “”号表示，自感电动势号表示，自感电动势总是反抗回路中电流的变化总是反抗回路中电流的变化（不是反抗电流本身）（不是反抗电流本身） 00,LLdIIdt则；注：若:注：若:与 方向相同与 方向相同00,LLdIIdt。若若: :则则与与 方方向向相相反反: :4.4

44、.自感系数的计算自感系数的计算 （1 1）假设线圈中通有电流）假设线圈中通有电流I I，然后确定电流然后确定电流I I在线圈内产生的磁场及其分布；在线圈内产生的磁场及其分布； （2 2）计算通过线圈的全磁通即磁通链；）计算通过线圈的全磁通即磁通链； （3 3）由）由(9-14)(9-14)式，求出式，求出L L。 例：有一长直螺线管，长度为例：有一长直螺线管，长度为l，横截面积为横截面积为S，线圈总匝数为线圈总匝数为N，管中管中介质磁导率为介质磁导率为u ，试求其自感系数。试求其自感系数。9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（2 2） 9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（3 3）

45、 解：对于长直螺线管，当有电流解：对于长直螺线管，当有电流I I通通过时，可以把管内的磁场看作是均匀过时，可以把管内的磁场看作是均匀的，其磁感应强度的大小为：的，其磁感应强度的大小为：SlnIIlNB 穿过螺线管的磁通量等于穿过螺线管的磁通量等于mNBSN nIS 自感系数为自感系数为mNLN nSnSlIl令令V=Sl为螺线管的体积为螺线管的体积, ,则则VnL2 讨论：增大讨论：增大L的方法：的方法：(1)(1)n大大 ，(2)(2)u大大II2R1Rdrlr例：例：求一无限长同轴传输线单位长度的自感求一无限长同轴传输线单位长度的自感. . 已知：已知：R1 、R2rIBrIH 22 解解

46、：2mIldBdSdrr212RmRIldrr)RRln(Il122 )RRln(lL122 单位长度的自感为：单位长度的自感为：)RRln(lLLo122 例：例：求一环形螺线管的自感。已知：求一环形螺线管的自感。已知： R1 、R2 、h、NIh2R1Rrdr lNIldHNIrH 2rNIH 2rNIB 22mNIdBdShdrr2mNIdB dShdrr212RmRNIhdrdr )RRln(NIh122 221ln()2mRN IhNR )RRln(hNIL1222 9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（4 4） 二、二、 互感现象：互感现象：图图9.2.3-21.互感系数互感

47、系数一个载流回路中电流变化引起邻近另一回路中产生一个载流回路中电流变化引起邻近另一回路中产生感应电动势的现象，称为互感现象，所产生的电动势称为互感电动势。感应电动势的现象，称为互感现象，所产生的电动势称为互感电动势。线圈线圈1 1所激发的磁场通过线圈所激发的磁场通过线圈2 2的磁通量为：的磁通量为：12121IM 线圈线圈2 2所激发的磁场通过线圈所激发的磁场通过线圈1 1的磁通量为：的磁通量为：21212IM M12，M21叫叫互感系数互感系数，与线圈形状、大小、匝，与线圈形状、大小、匝数、相对位置以及周围介质的磁导率有关。理数、相对位置以及周围介质的磁导率有关。理论和实验证明：论和实验证明

48、： M12=M21，故有故有211122MIMI-(9-18) 或或211122MIMI-(9-19) 表示，两个回路的互感系表示，两个回路的互感系数在数值上等于其中一个数在数值上等于其中一个回路中的电流为一个单位回路中的电流为一个单位时，穿过另一回路所围面时，穿过另一回路所围面积的全部磁通量。积的全部磁通量。 互系数的单位：亨利（互系数的单位：亨利（H H）9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（5 5） 2.互感电动势互感电动势dtdIMdtd21212 -(9-20) dtdIMdtd12121 -(9-21) 说明：说明：(1) (1) 互感系数互感系数M在数值上等于一个线圈中的电

49、流随时间的变化率为一个在数值上等于一个线圈中的电流随时间的变化率为一个单位时，在另一个线圈中所引起的互感电动势的绝对值；单位时，在另一个线圈中所引起的互感电动势的绝对值；(2)(2)负号表明，在一个线圈中所引起的互感电动势要反抗另一线圈中电流的变化；负号表明，在一个线圈中所引起的互感电动势要反抗另一线圈中电流的变化；(3) (3) 互感系数互感系数M是表征互感强弱的物理量，是两个电路耦合程度的量度。是表征互感强弱的物理量，是两个电路耦合程度的量度。3.应用应用互感器：通过互感线圈能够使能量或信号由一个线圈方便地传递到另一个线互感器：通过互感线圈能够使能量或信号由一个线圈方便地传递到另一个线圈。

50、电工、无线电技术中使用的各种变压器都是互感器件。常见的有电力变圈。电工、无线电技术中使用的各种变压器都是互感器件。常见的有电力变压器、中周变压器、输入输出变压器、电压互感器和电流互感器。压器、中周变压器、输入输出变压器、电压互感器和电流互感器。 电压互感器电压互感器电流互感器电流互感器感应圈感应圈9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（6 6） 例例9.2.3-3图图9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（7 7） 3.互感电动势的计算互感电动势的计算（1 1）先假设某一线圈）先假设某一线圈1 1中通有电流中通有电流I1，然后确定电流然后确定电流I1产生的磁场及其分布；产生的磁场及其分

51、布；（2 2）计算）计算I1的磁场通过另一线圈的磁场通过另一线圈2 2的全磁通即磁通链的全磁通即磁通链21；（3 3）由）由(9-19)(9-19)式求出式求出M。例例9.2.3-39.2.3-3图为两同轴长直密图为两同轴长直密绕螺线管的示意图。其中，两个螺线绕螺线管的示意图。其中，两个螺线管的长度均为管的长度均为l，半径分别为半径分别为r1 1和和r2 2，且且r1 1 r2 2 ，匝数分别为，匝数分别为N1 1和和N2 2 。试。试计算它们的互感。计算它们的互感。 解：设有电流解：设有电流I1通过半径为通过半径为r1 1的螺线的螺线管，此螺线管内的磁感应强度为管，此螺线管内的磁感应强度为1

52、10101 1NBIn Il，它穿过半径为，它穿过半径为r2 2的螺线管的磁通为的螺线管的磁通为2221221211211()()mNN Brn lBr201211()n n lrI由互感计算式由互感计算式(9-19)可得，互感为可得，互感为 2212101211()Mn n lrI同理，当有电流同理，当有电流I2通过半径为通过半径为r2 2的螺线管，此螺线管内的的螺线管，此螺线管内的磁感应强度为：磁感应强度为：2202022NBIn Il，穿过半径为，穿过半径为r1 1的螺线管的的螺线管的全部磁通为全部磁通为221211212101212()()mNN Brn n lrI由由(9-19)式可

53、得式可得 2121201212()Mn n lrI由此可见，不仅由此可见，不仅 1221MMM。而且对两个大小、形状、磁介质和。而且对两个大小、形状、磁介质和相对位置给定的同轴密绕长直螺线管来说，它们的互感是确定的。相对位置给定的同轴密绕长直螺线管来说，它们的互感是确定的。例例9.2.3-49.2.3-4 如例如例9.2.3-49.2.3-4图图( (a)a)所所示，在磁导率为示，在磁导率为u u的均匀无限大的磁介的均匀无限大的磁介质中，有一无限长直导线，与一宽长质中，有一无限长直导线，与一宽长分别为分别为b和和l的矩形线圈处于同一平面的矩形线圈处于同一平面内，直导线与矩形线圈的一侧平行，内，

54、直导线与矩形线圈的一侧平行，且相距为且相距为d。求它们的互感。若将长直求它们的互感。若将长直导线与矩形线圈按如图导线与矩形线圈按如图( (b)b)放置，它们放置，它们的互感又为多少？的互感又为多少？例例9.2.3-4图图解：解： 建立如例建立如例9.2.3-49.2.3-4图（图（a a）所示的坐标系。所示的坐标系。 对对( (a)a)图，设在无限长直导线中通以恒定电流图，设在无限长直导线中通以恒定电流I，则在距长直导线为处的磁感应强度为则在距长直导线为处的磁感应强度为2IBx9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（8 8） 于是，穿过矩形线圈的磁通量为于是，穿过矩形线圈的磁通量为 lnd

55、+bmSdIIldbd =ldx22d BS由由(9-19)(9-19)式可得，它们的互感为式可得，它们的互感为 ln2mldbMId而对图而对图( (b)b)来说，仍设无限长直导线中的电流为来说，仍设无限长直导线中的电流为I，则由于无限长载流直导则由于无限长载流直导线所激发的磁场的对称性，穿过矩形线圈的磁通量为零，即线所激发的磁场的对称性，穿过矩形线圈的磁通量为零，即0 0。所以所以它们的互感为零，即它们的互感为零，即M0 0。由上述结果可以看出，无限长直导线与矩形线圈的互感，不仅与它们的形由上述结果可以看出，无限长直导线与矩形线圈的互感，不仅与它们的形状、大小、磁介质的磁导率有关，还与它们

56、的相对位置有关，这正是我们状、大小、磁介质的磁导率有关，还与它们的相对位置有关，这正是我们在定义互感时所曾指出的。在定义互感时所曾指出的。9.2.39.2.3自感和互感（自感和互感（9 9） 9.2.49.2.4电磁能电磁能9.2.49.2.4电磁能（电磁能（1 1） 一、电容器储存的电能一、电容器储存的电能 设在某时刻两极板之间的电势差为设在某时刻两极板之间的电势差为U，此时若把此时若把+dq电荷从带负电的负极板搬运到带正电的正极电荷从带负电的负极板搬运到带正电的正极板，非静电力因克服静电力而需作的功为板，非静电力因克服静电力而需作的功为 E+dq+_dqCqUdqdW 若使电容器的两极板分

57、别带有若使电容器的两极板分别带有Q的电荷，则非静电力所作的功为：的电荷，则非静电力所作的功为：202QqQWdqCC电容器带电量为电容器带电量为Q时储存的能量为时储存的能量为2211222eQWCUQUC-(9-23) 一、静电场的能量一、静电场的能量 外力克服静电场外力克服静电场力作功，把非静力作功，把非静电能转换为带电电能转换为带电体系的静电能体系的静电能1.1.对平行板电容器对平行板电容器对于极板面积为对于极板面积为S S、极板间距为极板间距为d d平板电容器，电场所占的平板电容器，电场所占的体积为体积为SdSd，电容器储存的静电能为电容器储存的静电能为dS0 q q 222211122

58、21 2eSWCUEdSE ddE V-(9-24) V=Sd电场存在电场存在的空间体积的空间体积描述电场中能量分布状况的量：描述电场中能量分布状况的量：电场能量体密度电场能量体密度定义：单位体积内的能量定义：单位体积内的能量2211222eeWDEDEV-(9-25)对于任意电场，本结对于任意电场，本结论都是成立的。论都是成立的。对于非均匀电场，若在电场中任取一体积元对于非均匀电场，若在电场中任取一体积元dV，则在则在dV的微小的微小范围内，电场可看作是均匀的，该体积元范围内，电场可看作是均匀的，该体积元dV中的电场能量为中的电场能量为212eedWdVE dV-(9-26)整个电场的能量为

59、整个电场的能量为 212eeVVWdWE dV-(9-27)积分区域遍布整个电场分布的空间积分区域遍布整个电场分布的空间 9.2.49.2.4电磁能（电磁能（2 2） 例：例： 计算球形电容器的能量计算球形电容器的能量, , 已知已知RA、RB、 qARBRq q r解：解：若电容器两极板上电荷的分布是均匀的，则若电容器两极板上电荷的分布是均匀的，则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得球壳球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得球壳间的电场强度的大小为间的电场强度的大小为204rqE 取取取半径为取半径为r、厚为厚为dr的球壳，其体积为的球壳，其体积为体积元为体积元为24dVr dr2012e

60、edWdVE dVdrr)rq(222004421 电场的总能量为电场的总能量为2208BAReVRqWdWdrr)RR(qBA11802 ABBARRRRq 02421 212qC此体积元内的电场的能量为此体积元内的电场的能量为 9.2.49.2.4电磁能（电磁能（3 3） 例：面积为例：面积为S，间距为间距为d的平板电容器，在电源充电后，两极板分别带电的平板电容器，在电源充电后，两极板分别带电Q。现断开电源后，将两极板距离拉开到现断开电源后，将两极板距离拉开到2d。求：求：(1)(1)外力克服电场力外力克服电场力所作的功；所作的功；(2)(2)两极板间的吸引力。两极板间的吸引力。解解 ：(