大学自动控制原理第二章控制系统的数学模型

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第一节第一节 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化( (选学选学) )第三节第三节 传递函数传递函数第四节第四节 系统框图及其等效变换系统框图及其等效变换第五节第五节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数第六节第六节 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用第七节第七节 控制系统的反馈特性控制系统的反馈特性( (选学选学) )第八节第八节 用用MATLAB处理系统的数学模型处理系统的数学模型( (选学选学) )数学模型：数学模型：描述系统输入、输出变量以及与内部其

2、它变量之间关系的数学表达式。数学模型的数学模型的描述方法：描述方法：输入输出描述法输入输出描述法微分方程、差分方程是基本形式，传递函数、方框图等其它模型均由它导出。状态变量描述法：状态变量描述法：状态方程建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法实验法：实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出关系确定数学模型。解析法：解析法：根据系统所遵循的基本物理定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。例例1 1 求uc与ur的微分方程1,crccdiiRluudtduuidtiCCdt即22cccrd uduLCRCuudtdt2.1.1 2.1.1 电气网络系统电气网络系统第一节

3、第一节 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的一般步骤根据基本的物理定律，列写出系统中每个元件的输入与输出微分方程式。确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式。例例2 2 试写出如图电路的微分方程解：由基尔霍夫定律列出下列方程组121112221221221()11()1rciidti RuCi dti RiidtCCi dtuC212121122122cccrd uduR R CCRCR CRCuudtdt消去中间变量i1、 i2得或写作2211232cccrd uduTTTTTuu

4、dtdt例例3 3 求外力F(t)与质量块m位移y(t)之间的微分方程解：解：由牛顿第二定律列出方程22( )( )( )( )dy td y tF tky tfmdtdt22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt式中，-为阻尼第数； -为弹簧的弹性系数； k y(t)-弹性拉力； fdy/dt-阻尼器阻力。2.1.2 2.1.2 机械位移系统机械位移系统2.1.3 2.1.3 直流调速系统直流调速系统例例4 4 试写出如图所示直流调速系统的微分方程式G-M 直流调速系统原理图直流调速系统原理图G-M 直流调速系统的框图直流调速系统的框图直流他励发电机他励直流电动

5、机放大器放大器放大器假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲线为一直线，即/iB =L。直流他励发电机直流他励发电机由电机学原理得：11euKu（1）1112BBGBBdiLi RUdtECC LiC i （2）（3）直流他励发电机电路图直流他励发电机电路图把式(3)代入(2)，则得12 ; GC LLKRR式中他励直流电动机他励直流电动机被控制量被控制量是电动机转速n控制量控制量是发电机的电动势EG和负载转矩TL。由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得直流他励电动机电路图直流他励电动机电路图21GGGdEEK Udt(4)2375aaeGeLeu adii RLC

6、nEdtGDdnTTdtTC i(4)(5)(6)eaTi和上式中消去中间变量 后得到uemCRCGD3752试中， 为电动机的机电时间常数；RLa试中， 为电动机的机电时间常数；0LT当 ，电动机空载运行至稳态时，式(7)变为)(122dtdTTCCRECndtdndtndLaLueGemam(7)GeECn10（n0为电动机的空载转速） (8)mG21RRR ,KKK ,式中测速发电机测速发电机测速发电机磁场恒定不变，输入为转速n，输出量是Ufn，则fngefnuuunu(9)(10)系统的输入量是给定电压Ug和负载转矩TL(扰动)，系统的输出量为转速n，其余中间变量消元后为nCKadtd

7、ndtnddtndemaGamGam)1 ()()(2233LLGaLaGuegeTdtdTdtTdCCRuCK)(22(11)第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化实际系统大多是非线性的，其数学模型为非线性方程，分析与求解更加复杂。非线性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设( (条件条件) )变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性系统线性化方法非线性系统线性化方法微偏法微偏法若非线性系统的函数不仅连续且各阶导数存在，在给定工作点(系统平衡工作状态对应的工作点)邻域将此非线性函数展开成泰勒级数并略去二阶及二阶以上的项，用所得线

8、性方程代替原有的非线性方程。 20220000! 21xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图所示，数学表达式为： y=f(x)在给定工作点A(x0，y0)附近展开为泰勒级数由于增量x=x-x0较小，故可略去式中的(x-x0)2项及其后面的所有的高阶项，于是得线性化方程xKyxxKyy或写为)(00000,),(0 xxxyyydxdfKxfyxx式中非线性特性的线性化非线性特性的线性化例例5 5 在推导直流他励发电机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上的磁化曲线如图所示。设发电机工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加U1，

9、求其增量电动势EG的变化规律。发电机的磁化曲线发电机的磁化曲线若发电机励磁电压很小，则工作点A的偏离较小，可以通以过A点的切线CD近似代替原有曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为BBGBBiCLiCCEURidtdiL2111010010100CECEuRiGGB(12)(13)由式(14)减(12)式，(15)减(13)式后得 式中N为励磁绕组的匝数。式(16)、(17)均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。若励磁电压增量 ，则有1u)()(0101100CEEuud

10、tdNRiiGGBB(14)(15)11CEudtdNRiGB(16)(17)在式(14)、(16)中不写作LdiB/dt，而用N d/dt表示，原因是那一段磁化曲线不是直线，即d/ LdiB常量，故用反电动势表示。把磁化曲线=f(iB)在平衡点(0,iB0)处展开成泰勒级数200 000)(! 21)()()(BBBBBBBBiiifiiififif(18)略去上式中(iB-iB0)2等高阶项，并令-f(iB0)=， (iB-iB0)= iB，则式(18)便简化为)()(00BBBBifiddiif或写作(19)于是式(16)和式(9)可化为线性化后描述系统运动的方程是增量方程式。在实际应用

11、中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和式(2)与式(3)完全相同。发电机平衡工作点不同，时间常数 和放大倍数 是不同的。由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关。0NRBLfiR2CKR)(),(0120BBifCCiNfL式中1udtidLRidtididdNRidtdNRiBBBBBBBGiCE2(20)(21)例例6 6 将某液位控制系统非线性微分方程线性化。iqhadtdhA解：解：将式中的非线性项 按泰勒级数展开为h202200)(! 21)(00hhdhhdhhdhhdhhhh略去高于一次的项得hhhhdhhdhhh000210iiqqhhadthhdA000)(令h=h0+

12、h，非线性方程用增量表示为iiqqhhhadthhdA0000)21()(000ihiqhaqhadtdhAiqhhadthdA02iqAhhAadthd120iqAhhAadtdh120增量方程式为：平衡状态下：可写为：式中，h(t)与q(t)均为平衡工作点处的增量。hhhhhh00021第三节第三节 传递函数传递函数2.3.1 2.3.1 传递函数定义传递函数定义在零初始条件下，系统(或元件)输出拉氏变换与其输入拉氏变换之比为系统传递函数。传递函数。设线性定常系统的微分方程式为mntrbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn)

13、()()()()()()()(1111011110(22)nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(23)例例7 7 以R-C电路为例R-C电路电路)()()()()()(sUsGsUsUsUsGrcrc)()()()(11tgsGLsULtUcc)()(1)()()(sGsUsUttucrr，令rcccrcuudtduRCdtduCiuuiR)()()(sUsUsRCsUrcc1111)()()(TsRCssUsUsGRCTrc)(1)()(11tueTsGLtgtT1 1、单位脉冲、单位脉冲( (冲激冲激) )响应响应g(t)2.3.2 2.3.2

14、 利用传递函数求解系统响应利用传递函数求解系统响应2 2、单位阶跃响应、单位阶跃响应若已知系统单位脉冲响应g(t)，则可用如下方式求解系统在任何输入r(t)作用下的输出响应，即)()()()()()()()()(1sRsGLtctrtgtcsRsGsC111)(1sTsLtc)()1 (1tuetTsTSssGsCssRtuttr1111)()(1)()()( 1)(，令deTdutueTtutgtTttT)(10)(11)()(1)()(或 111)(1)(212sTsLtcssRttrdeTdutueTtctTttTsin1)(sin)(1)()(10)(13 3、单位斜变函数响应、单位斜

15、变函数响应)()(1tuTeTttTdeTdutueTtctTttT)(10)(11)()(1)(或 ttrsin4 4、正弦函数响应、正弦函数响应)(1)sin(1112222tueTtTtTTarctan2.3.3 2.3.3 传递函数的基本性质传递函数的基本性质传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关传递函数只适用于线性定常系统传递函数为复变量s的有理分式，分母多项式S的最高阶次n与分子多项式s的最高阶次m满足nm传递函数不能反映非零初始条件系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点因子组成一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性

16、，对于多输入多输出系统，不能用一个传递函数表式。多输入多输出系统多输入多输出系统 阵就是该系统的传递函数sG对于多输入多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系。例例8 8 如图所示的系统解：解：由图得)()()()()()()()()()(22212122121111sUsGsUsGsYsUsGsUsGsY)()()()()()()()(212221121121sUsUsGsGsGsGsYsY)()()()()(22211211sGsGsGsGsG2.3.4 2.3.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数1 1、比例环节、比例环节特点：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号

17、的变化 方程式)()(tkrtc传递函数KsRsCsG)()()(2 2、惯性环节、惯性环节特点：特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律微分方程)()()(tKrtcdttdcT11)()()(TssRsCsG传递函数T环节的时间常数积分环节模拟电路图积分环节模拟电路图例例9 9 如图所示的积分器3 3、积分环节、积分环节特点：特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有sKsRsCsG)()()(传递函数T环节的时间常数dtduCRucr微分方程TsRCssUsUsGrc11)()()(传递函数tdrKtc0)()(微分方程4 4、微分环节、微分环节特点：特点：理想的微分环节的输出与输

18、入信号对时间的微分成正比，即1 RCT12)()()(2)()(1)()()()()()()(22222ssKsGtxdttdxdttxdKtysKsGtxdttdxKtyKssGdttdxKty纯微分一阶微分二阶微分微分环节模拟电路图微分环节模拟电路图RCsRCssUsUsGrc1)()()(传递函数RCssG)(阻尼比放大系数时间常数式中, KT 22121tanarg11sin111, 10,1, 1tTtcssRKtT则则若令5 5、振荡环节、振荡环节特点：特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttdcT微分方程12)()

19、()(22TssTKsRsCsG传递函数2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数3）直流他励电动机在变化时的传递函数三个传递函数，虽然其阻尼比和1/T所含具体内容不相同，但只要01，则都是振荡环节。如上式的传递函数在控制工程中很常见，例如1）R-L-C电路的传递函数11)()(2RCsLCssUsUrc11)()(2fsmssFsY1/1)()(2ssCsEsNmameG纯滞后环节模拟图纯滞后环节模拟图则sesRsCsG)()()(如果)()(trtc6 6、纯滞后环节、纯滞后环节其中，d为混合点与测量点之间的距离 v为混合溶液的流动速度 =d/v是混合溶液浓度变化后被检测到的延迟时间 r(t)混

20、合处溶液的浓度 c(t)测量点处溶液的浓度2.3.5 2.3.5 电气网络的传递函数电气网络的传递函数例例10 10 求如图无源网络的传递函数1)() 1)(1(212211221211122sCRCRCRsCCRRCRsCRsCCRsCRRsCCRzzzsG222111222212111)(sCCRsCRzsCRRsCRsCRz22222211111111111/1/CsRCsRsUsUsGrc121)()()(例例11 11 求如图有源网络的传递函数PI调节器调节器PD调节器调节器13232)()()()(RCsRRRRsUsUsGrc第四节第四节 系统框图及其等效变换系统框图及其等效变换

21、2.4.1 2.4.1 绘制系统方框图的一般步骤绘制系统方框图的一般步骤1、写出系统中每一个部件的运动方程式2、根据运动方程式写出传递函数，一个部件用一个方框图表示，在框中填入相应的传递函数3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入置最左端，输出置最右端例例12 12 绘制如图所示电路的方框图解：解：1）列方程 RsUsUsIcr R-C网络网络2）画出上述两式对应的方框图 sICSsUc13）将两方框图按信号流向连接得系统方框图例例13 13 绘制如图所示R-C网络方框图sCsIsIsUc1211)()()(解：解：111)()()(RsUsUsIcr212)()()(Rs

22、UsUsIccsCsIsUc22)()(2.4.2 2.4.2 方框图的等效变换方框图的等效变换1 1、串联连接、串联连接 sRsGsGsGsCsUsGsCsUsGsUsRsGsU32123122112 2、并联连接、并联连接 sGsGsGsGsGsGsGsGsG321321321321sGsRsRsRsRsCsCsCsC3 3、反馈连接、反馈连接1）负反馈连接 sHsGsGsRsC12）正反馈连接 sHsGsGsRsC14 4、引出点移动、引出点移动1）引出点后移2）引出点前移5 5、综合点移动、综合点移动1）综合点后移2）综合点前移例例1414 化简如下框图) s (G1) s (G4)

23、s (G2) s (G3) s (H) s (C) s (R+-) s (G1) s (G4) s (G2) s (G3) s (H) s (C) s (R+-+) s (G2) s (G1) s (G4) s (G2) s (G3) s (H) s (G2) s (C) s (R+-+例例15 15 求图所示系统的传递函数C(s)/R(s)GGG421HGG1G323) s (C) s (RHGG1GGGGG3243321) s (C) s (R解：解：将图中引出点A后移，然后从内回路到外回路逐步化简，其过程如图所示设系统如图所示, R(s)-参数输入, D(s)-扰动第五节第五节 控制系统

24、的传递函数控制系统的传递函数2.5.1 2.5.1 开环传递函数开环传递函数系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数，输出量C(s)与误差信号E(s)的比值称为前向通路传递函数。即)()()()()(21sHsGsGsEsB)()()()(21sGsGsEsC2.5.2 2.5.2 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数1 1、参数输入作用下的闭环传递函数、参数输入作用下的闭环传递函数( (D(s)=0)()()(1)()()()()(1)()()()()()(212121sRsHsGsGsRsHsGsGsGsGsCsGsGsGR)(1)()()(1)()()()()(1)()

25、()()(21211)(2121sGsGsGsGsGsGsHsGsGsGsGsRsCsHR单位负反馈 则上式改写为若令其中,sG,sG21sVsUsGsG的分子的分母的分子)()()()()()()()(sGsGsGsVsUsUsRsCR sEsGsGsCRR21因为2 2、扰动、扰动D(s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数( (R(s)=0) )()()()(1)()()()()(212121sRsHsGsGsGsGsEsGsGR)()()()(1)()()()()(1)()()(212212sDsHsGsGsGsCsHsGsGsGsDsCDD)()()()(11)()()()(11

26、)()(2121sRsHsGsGsEsHsGsGsRsERR)()()()(1)()()()()()(1)()()()(212212sDsHsGsGsHsGsEsHsGsGsHsGsDsEDD当系统同时受到R(s)和D(s)作用时系统总的误差为)()()()(1)()()()()(1)()()()()(2122121sDsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsCsCsCDR)()()()(1)()()()()()(11)()()(21221sDsHsGsGsHsGsRsHsGsGsEsEsEDR系统总的输出为节点：节点：表示系统变量，用“”表示；支路：支路：表示两变量间的关系，用有向线段表示

27、，箭头表示信号的传输方向，支路旁的参数为增益，表示两变量间的因果关系。例一个线性方程为第六节第六节 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用框图是描述控制系统很有用的图示法，但对于复杂的控制系统，框图简化过程仍显复杂且易出错。信号流图应用时必须先将微分方程组变成以S为变量的代数方程组，且把每个方程改写为1122xax njsXsGsXknkkjj, 2 , 1)()()(1例例16 16 设一系统的线性方程组为212 132342452532324343444535345415 - ,xa xa xa xa xxa xxa xa xxa xa xxx输入量输出量式中信号流图绘制步骤如图方程组的信号流图方程组的信号流图2.6.1 2.6.1 信号流图的术语和性质信号流图的术语和性质1 1、术语、术语1 1）节点：）节点：代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。2 2）支路：）支路：信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点3 3）输入节点或源点：）输入节点或源点：系统自变量，只有输出支路。4 4）输出节点或阱点：）输出节点或阱点：系统因变量，只有输入支路。5 5）通路：）通路：沿支路箭头方向穿