材料力学第6章弯曲变形

1、第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁6.6 6.6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施工学院 6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题限制限制弯曲变形弯曲变形工程中某些受弯杆件除需满工程中某些受弯杆件除需满足强度要求外，还要满足刚足强度要求外，还要满足刚度要求，变形不能过大。度要求，变形不能过大。车床主轴的变形过大会影响车床主轴的

2、变形过大会影响齿轮的啮合齿轮的啮合和和轴承的配合轴承的配合，造成造成磨损不匀磨损不匀，产生噪音产生噪音，降低寿命降低寿命以及以及影响加工精度影响加工精度。工学院 6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题吊车梁的变形过大，会吊车梁的变形过大，会使梁上小车行走困难，使梁上小车行走困难，出现爬坡现象出现爬坡现象，还会引，还会引起较严重的起较严重的振动振动。变形超过允许数值，即变形超过允许数值，即使在使在弹性范围内弹性范围内，也被，也被认为是一种认为是一种失效现象失效现象。工学院 6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题利用利用弯曲变形弯曲变形N叠板弹簧叠板弹簧应有较大

3、的变形，应有较大的变形，才能达到才能达到缓冲减振缓冲减振的作用。的作用。工学院 6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 wf x挠曲线挠曲线：在对称弯曲情况：在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线将成为下，变形后梁的轴线将成为xy平面平面(梁的纵向对称面梁的纵向对称面)内内的一条曲线，称为挠曲线。的一条曲线，称为挠曲线。挠度挠度：在挠曲线上横坐标为：在挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标，用的任意点的纵坐标，用w表示，表示，它代表它代表x处的横截面的形心沿处的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠度。方向的位移，称为挠度。挠曲线的方程式可写成：挠曲线的方程式可写成：工学院 6.2 6.2 挠曲线

4、的微分方程挠曲线的微分方程截面转角截面转角：弯曲变形中，梁：弯曲变形中，梁的横截面相对原来位置转过的横截面相对原来位置转过的角度的角度，称为截面转角。，称为截面转角。它等于它等于y轴与挠曲线法线的夹轴与挠曲线法线的夹角角( (平面假设平面假设) )。也等于。也等于x轴与轴与挠曲线切线的夹角，即挠曲挠曲线切线的夹角，即挠曲线的倾角。线的倾角。dwtandxdwarctandx(6.2)挠度挠度与与转角转角是度量弯曲变形的两个基本量，同时规定：是度量弯曲变形的两个基本量，同时规定：在图在图6.4中，中，向上的挠度向上的挠度和和反时针的转角反时针的转角为正为正(+)。工学院 6.2 6.2 挠曲线的

5、微分方程挠曲线的微分方程纯弯曲情况下，弯矩与曲率纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系间的关系(5.1):1MEI-(a) 横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以省略，省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其中，其中，M和和1/都是都是x的函数。的函数。工学院 6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程dMdsEI1ddsd,ds将图将图6.4中的微分弧段中的微分弧段ds放大，放大，如图如图6.5所示。所示。1M

6、EI考虑正考虑正负号负号工学院 6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程dwarctandxdMdsEI223/ 22d wMdxEIdw1dx挠曲线的微分方程：挠曲线的微分方程：223/ 22dddxdsd1dx挠曲线的微分方程：挠曲线的微分方程：挠曲线的微分方程：挠曲线的微分方程：工学院 6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程2dwdx22d wMdxEI223/ 22d wMdxEIdw1dx非线性方程，非线性方程，适用于弯曲变适用于弯曲变形的任意情况。形的任意情况。 dwtanfxdx小变形情况下，挠小变形情况下，挠曲线非常平坦，转曲线非常平坦，转角也非常小：角也非常

7、小：可省略！可省略！挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形22d wMdxEI将挠曲线近似微分方程将挠曲线近似微分方程积分得转角方程：积分得转角方程：dwMdxCdxEIMwdx dxCxDEI再积分得挠曲线方程再积分得挠曲线方程：其中，其中，C，D为积分常数。为积分常数。如何确定如何确定C、D？工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形积分常数积分常数C、D的确定的确定dwMdxCdxEIMwdx dxCxDEIAAAAAAAAAAAAAw0Aw00 A 1). 1). 边界条件边界条件2). 2). 连续性条件连续

8、性条件x Cx Cx Cx Cw|w|，FABC工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 w和 maxmaxww刚度条件刚度条件限制最大挠度和最大转角限制最大挠度和最大转角( (或特定截面的挠度和或特定截面的挠度和转角转角) )不超过某一规定数值，即满足刚度条件：不超过某一规定数值，即满足刚度条件：式中式中为规定的许可挠度和转角。为规定的许可挠度和转角。工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例1 1例例 6.16.1： 图示为图示为B端作用集中力端作用集中力F的悬臂梁，的悬臂梁，求其挠曲线方程。求其挠曲线方程。 yx maxwmaxFBAlx工学院6

9、.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例1 1解：建立如图所示的坐标系解：建立如图所示的坐标系x处的弯矩方程为：处的弯矩方程为：)()(xlFxMyx maxwmaxFBAlx挠曲线的微挠曲线的微分方程为：分方程为：EIwMF lx 工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例1 1C0D0AAAw0w0 2FEIwxFlxC2 积分得积分得32FFlEIwxxCxD62边界条件：边界条件：当当x=0时，时，工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例1 1转角方程和挠曲线方程分别为转角方程和挠曲线方程分别为2BBFlw2EI 3B

10、Flw3EI 2FEIwxFlx2 32FFlEIwxx62以截面以截面B处的坐标处的坐标x=l代入以上两式，得到截面代入以上两式，得到截面B的转角和挠度分别为的转角和挠度分别为:(顺时针顺时针)(向下向下)见表见表6.1（No:2）工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例2 2实例实例2：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在。试求图示简支梁在均布载荷均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。xqylxAB工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例2 2xqylx

11、AB解：解：M xqlxqx( ) 222222qlqEIwxx 2346qlqEIwxxC 341224qlqEIwxxCxD工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例2 2梁的转角方程和挠曲线梁的转角方程和挠曲线方程分别为：方程分别为：233(64)24qlxxlEI233(2)24qxwlxxlEI由边界条件：由边界条件：00;0 xwxlw时，时，得：得：3,024qlCD qABxlABxy工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例2 2最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：3max24ABqlEI4max25384lxq

12、lwwEIqABxlABxy见表见表6.1（No.10）工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 3例例6.3：试计算图示梁：试计算图示梁( (设：设：ab)的转角方程的转角方程和挠曲线方程，并求和挠曲线方程，并求wmaxmax 。FFRAFRB工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 3解：解：1). 1). 求支反力求支反力 FFRAFRBRBFaFlRAFbFl工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 32).2).分段建立分段建立弯矩方程弯矩方程和和挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程并并积分二次积分二

13、次 AC 段段 1(0)xaCB段段 2()axl11FbMxl 21112xFbEIwCl 3111116xFbEIwC xDl222()FbMxF xal 2222()FbEIwMxF xal 22222222xaxFbEIwFCl 3322222266xaxFbEIwFC xDl (i)(j)(k)(l)111FbEIwMxl 工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 33). 3). 确定四个积分常数确定四个积分常数 上述上述( (i)、( (j)、( (k)、( (l)四式中包含四个积分常数，必须有四式中包含四个积分常数，必须有四个条件求解，分别叙述如下：

14、四个条件求解，分别叙述如下： 当当 代入式代入式j得：得： 110,0 xw 10D 当当 代入式代入式l得：得： 22,0 xlw 2322()066FblFlaC lD(m)边界条件边界条件工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 3当当 时，时， 代入代入(i)、(k) ,并令两式相等，得：并令两式相等，得：12xxa12ww 12CC 当当 时，时， 代入代入( (j)、( (l)，并令两式相等，得：，并令两式相等，得： 12xxa12ww 1122C aDC aD将将 代入上式得：代入上式得： 121,0CCD 120DD 将将 代入式代入式(m)得：得：

15、2212()6FbCClbl 20D 连续性条件连续性条件工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 34). 4). 将求得的四个常数代回将求得的四个常数代回( (i)、(j)、(k)、(l)等四等四式，得转角方程和挠曲线方程：式，得转角方程和挠曲线方程：AC段段 1(0)xa 2221136FbEIwlbxl (o) 2221116FbxEIwlbxl (p)CB段段 2()axl 222222233()6FblEIwlbxxalb (q) 22232222()6FblEIwlbxxxalb (r)工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例

16、3 35). 5). 最大转角最大转角BAFab lb6EIl 在在(o)式中令式中令x1=0, 在在(q)式中令式中令x2=l, 得梁得梁在在A, B两端的截面转角分别为：两端的截面转角分别为：BFab la6EIl当当ab时，时， 为最大转角。为最大转角。工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 36). 6). 最大挠度最大挠度和和 分别代入分别代入式式(o)可得：可得： 最大挠度发生在最大挠度发生在 处，先看处，先看AC段的转角方程，将段的转角方程，将由于由于 A截面和截面和C截面之间转角由负变正，所以截面之间转角由负变正，所以AC0 10,x 1xa 22

17、(1),()63ACFblbFababEIEIll 0,0,AC 段内必有一个截面的转角为零段内必有一个截面的转角为零。故梁的最大挠度必在故梁的最大挠度必在AC段内段内。以以 代入式代入式( (o) )并令其为零：并令其为零： 10 xx 2220(3)06FbxlbEIl ，解得：解得： 2203lbx 将将 代入式代入式( (p p) )可得：可得： 2203lbx 322max19 3FbwlbEIl 工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 3上面得到最大挠度表达式为：上面得到最大挠度表达式为： 梁跨度中点的挠度为：梁跨度中点的挠度为： 222|(34)48

18、lxFbwlbEI 现在来讨论现在来讨论跨度中点挠度跨度中点挠度和和最大挠度最大挠度之间的误差。显然，当之间的误差。显然，当F作用点移至跨度中点时，最大挠度就是跨度中点的挠度，其误作用点移至跨度中点时，最大挠度就是跨度中点的挠度，其误差为零。差为零。F作用点越靠近支座作用点越靠近支座B，两者的误差就越大。现考虑误，两者的误差就越大。现考虑误差最大时，即差最大时，即F作用点无限接近支座作用点无限接近支座B，上面式中，上面式中b00。b2 2为高阶为高阶小量，可忽略不计，两式为：小量，可忽略不计，两式为： 7). 7). 讨论讨论 322max19 3FbwlbEIl F工学院6.3 6.3 用积

19、分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 322max10.06429 3FblFblwEIEI 222|30.062548lFbFblwlEIEI 比较上述结果可知，如用跨度中点的挠度来代比较上述结果可知，如用跨度中点的挠度来代替最大挠度，其最大误差仅为替最大挠度，其最大误差仅为2.65%。 因此，在简支梁中，不论受什么荷载作用，只因此，在简支梁中，不论受什么荷载作用，只要挠曲线上要挠曲线上无拐点无拐点，最大挠度值都可用跨度中点的，最大挠度值都可用跨度中点的挠度来代替，其精度能够满足工程计算的要求。挠度来代替，其精度能够满足工程计算的要求。 -参见表参见表6.1 No:96.1 No:9

20、工学院6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形实例实例3 38). 8). 思考思考积分法有何优缺点积分法有何优缺点？ 优点优点缺点缺点可以求得转角和挠度的普遍方程！可以求得转角和挠度的普遍方程！ 如果梁上载荷复杂，写出弯矩方程时分段如果梁上载荷复杂，写出弯矩方程时分段愈多，积分常数也愈多，特别是当只需确定某愈多，积分常数也愈多，特别是当只需确定某些特定截面的转角和挠度，而不需求出转角和些特定截面的转角和挠度，而不需求出转角和挠度的普遍方程时，积分法显得过于累赘！挠度的普遍方程时，积分法显得过于累赘！6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形计算弯曲变形的计算弯曲变形的叠加法叠加

21、法 叠加法叠加法：先分别计算每一种载荷单独作用时所引起的先分别计算每一种载荷单独作用时所引起的梁的变形（挠度或转角），然后求出各种载荷作用下梁的变形（挠度或转角），然后求出各种载荷作用下变形的变形的代数和代数和，即得到这些载荷共同作用下的变形。，即得到这些载荷共同作用下的变形。 当梁上同时受几种载荷作用时，用积分法计算弯当梁上同时受几种载荷作用时，用积分法计算弯曲变形的方法十分复杂，不够简练，特别是只需确定曲变形的方法十分复杂，不够简练，特别是只需确定个别截面的转角和挠度时，积分法更是显得累赘。个别截面的转角和挠度时，积分法更是显得累赘。用叠加法计算弯曲变形的前提用叠加法计算弯曲变形的前提：1

22、). 1). 弯曲变形很小弯曲变形很小；2). 2). 材料服从胡克定律材料服从胡克定律。6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例1实例实例：用叠加法求用叠加法求CABw、6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例1解：解：1). 求求wCCw 53844qlEIPlEI348mlEI216( (表表6.1 No:10)6.1 No:10)( (表表6.1 No:8)6.1 No:8)( (表表6.1 No:5)6.1 No:5)6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例1AqlEI324PlEI216mlEI3( (表表6.1 No:10)6.1 No:10)

23、( (表表6.1 No:8)6.1 No:8)( (表表6.1 No:5)6.1 No:5)2). 2). 求求A A6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例1BqlEI324PlEI216ml6EI( (表表6.1 No:10)6.1 No:10)( (表表6.1 No:8)6.1 No:8)( (表表6.1 No:5)6.1 No:5)3). 3). 求求B B6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例2实例实例：如图所示的悬臂梁，其抗弯刚度如图所示的悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。FBA2/ l2/ lqC6.4 用叠加法

24、求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例2 BFwBFFBAFBA2/ l2/ lqC23BFBFFlFl,w2EI3EI 查表6. 1 N o: 2 解：解：1).1).在在F作用下作用下 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例2FBA2/ l2/ lqCwBqwCqBAqC2).2).在在q作用下作用下 33Cq44Cqq(l / 2)ql6EI48EIq(l / 2)qlw8EI128EI 查表6. 1N o: 4 3BqCq4BqCqCqql48EIl7qlww2384EI 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例23).3).在在F和和q共同共同作用下作用下 F

25、BA2/ l2/ lqC23BBFBqFlql2EI48EI 34BBFBqFl7qlwww3EI384EI 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例3实例实例： 用叠加法求图示梁用叠加法求图示梁端的转角和挠度。端的转角和挠度。6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例3解：解：设想将梁沿截面设想将梁沿截面B分成两分成两部分，部分，AB部分为简支梁，部分为简支梁，BC部分为悬臂梁。在部分为悬臂梁。在AB部分除部分除集中力集中力P外，还有截面外，还有截面B上的上的剪力剪力P=qa=qa和弯矩和弯矩m=qa=qa2 2/2/2, ,剪剪力力P直接传递于支座直接传递于支座B上，

26、不上，不引起变形。引起变形。223Bqa2aqa (2a)qa216EI3EI12EI ( (表表6.1No:86.1No:8) )( (表表6.1No:66.1No:6) )6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形实例实例333CBqaqa6EI4EI 44CBqa5qawa8EI24EI 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁F F图图6.146.14( (w wB B) )F F F FRByRByF FF FRAyRAyF FRByRByF FRAyRAyF F( (w wB B) )F FRByRByF FRByRByF FRAxRAxF FRAxRAx超静定梁超静定梁：约束反

27、力数目多于静约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为超静定力平衡方程数目的梁称为超静定梁。两者数目的差称为超静定次梁。两者数目的差称为超静定次数。数。静定基静定基：指将超静定梁上的多余约束指将超静定梁上的多余约束除去后所得到的除去后所得到的“静定基本系统静定基本系统”。相当系统相当系统：在静定基上加上外载荷以及在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与超静定梁多余约束力，便得到受力和变形与超静定梁完全相同的相当系统。将相当系统与超静定完全相同的相当系统。将相当系统与超静定梁相比较，梁相比较，在多余约束处，寻求变形协调条在多余约束处，寻求变形协调条件件，进而得到求解超静定问题所需的补

28、充方，进而得到求解超静定问题所需的补充方程。程。 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁F F图图6.146.14( (w wB B) )F F F FRByRByF FF FRAyRAyF FRByRByF FRAyRAyF F( (w wB B) )F FRByRByF FRByRByF FRAxRAxF FRAxRAx如图如图6.146.14所示，车削工件的左端由卡所示，车削工件的左端由卡盘夹紧，为减少细长工件的变形，提盘夹紧，为减少细长工件的变形，提高加工精度，右端由尾顶针顶住，计高加工精度，右端由尾顶针顶住，计算简图为算简图为( (b b) )。此为一次超静定问题，。此为一次超静定

29、问题，图图( (c) c)为静定基。图为静定基。图( (d d) )为相当系统，为相当系统，支座反力由支座反力由F FRByRBy表示，静力平衡方程表示，静力平衡方程为为: : xRAxyRAyRByARByAF0,F0F0,FFF0M0,FaFlM0 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁在多余约束在多余约束B处建立变形协调条件处建立变形协调条件 F F图图6.146.14( (w wB B) )F F F FRByRByF FF FRAyRAyF FRByRByF FRAyRAyF F( (w wB B) )F FRByRByF FRByRByF FRAxRAxF FRAxRAx23RB

30、y23FaaF32llRBy32RByBBFFFlFaw3la ,w6EI3EI RByBBBFFwww0分别利用分别利用表表6.1No:36.1No:3和和No:2No:2, ,求出求出于是，超静定梁就相当于在于是，超静定梁就相当于在F F和和F FRByRBy共同作用下的悬臂梁。共同作用下的悬臂梁。 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁F F图图6.146.14( (w wB B) )F F F FRByRByF FF FRAyRAyF FRByRByF FRAyRAyF F( (w wB B) )F FRByRByF FRByRByF FRAxRAxF FRAxRAx进一步的计算与静

31、定梁一致，利进一步的计算与静定梁一致，利用平衡方程可解得用平衡方程可解得FRAy和和MA，画，画出其弯矩图出其弯矩图( (g g) )，并进行，并进行强度及变强度及变形计算形计算。这种用变形叠加法求解超静定梁的这种用变形叠加法求解超静定梁的方法，也称为方法，也称为变形比较法变形比较法。本例表明本例表明：由于增加了支座由于增加了支座B，超静定梁的强度和刚度都得到超静定梁的强度和刚度都得到了提高，但超静定梁也容易引了提高，但超静定梁也容易引起装配应力，如图起装配应力，如图6.156.15所示。所示。 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁实例实例实例实例：梁的受力如图所示，梁的受力如图所示，试绘

32、出其内力图。试绘出其内力图。34RCF l5ql048EI384EIF FRCRCF FS S解：解：1). 1). 将中间支座将中间支座C去掉，以简去掉，以简支梁作为静定基（支梁作为静定基（b b）。在静定）。在静定基上作用均布载荷基上作用均布载荷q和多余约束和多余约束力力F FRCRC，成为原超静定梁的相当，成为原超静定梁的相当系统。系统。2). 2). 相当系统在点相当系统在点C的挠度应为的挠度应为零零, ,根据此变形条件可写出求解根据此变形条件可写出求解超静定梁的超静定梁的补充方程式补充方程式：RC5qlF8 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁实例实例F FRCRCF FS S3).3).利用静力平衡条件求得利用静力平衡条件求得其他支座反力（其他支座反力（d d）2maxqlM32RA