概率论特征函数与极限定理

1、特征函数特征函数 引进特征函数的目的在于有些问题用分布函引进特征函数的目的在于有些问题用分布函数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和的分布机变量和的分布. .使用特征函数就会特别方便，使用特征函数就会特别方便，在极限理论的研究中也发挥了很大作用。在极限理论的研究中也发挥了很大作用。 如以前我们讲过随机变量如以前我们讲过随机变量X XY Y的分布函数求的分布函数求法过程比较复杂，实际上经常碰到求法过程比较复杂，实际上经常碰到求X X1 1+X+X2 2+X+X3 3+ +X+Xn n 的密度函数，重复使用卷极公式，的密度函数，重复使用卷极公式

2、，非常繁杂。非常繁杂。0. 0. 复随机变量的定义复随机变量的定义iEYEXEZ),( ,),(11nnYXYX相互独立，就称复随机相互独立，就称复随机nniYXiYX,11如果如果相互独立相互独立. .变量变量YX,设设是定义在概率空间是定义在概率空间iYXZ随机变量，则随机变量，则PF,称为称为复随机变量复随机变量。上的实上的实1 1、特征函数的定义、特征函数的定义X设设的分布函数为的分布函数为)()()()(1xdxfepexdFeEetfitxiiitxitxitXi称称)(xF为为X的特征函数。的特征函数。总存在itXitxEee1对每个随机变量对每个随机变量X X（或者说每个分布函

3、数（或者说每个分布函数F(x)F(x)）, ,都有一个特征函数都有一个特征函数f(t)f(t)与之一一对应。与之一一对应。 cossinitxetxitx 2. 2. 特征函数的性质特征函数的性质)(tf设设是是X X的特征函数，则的特征函数，则)()(, 1)0()(,1)0() 10tftfftfEefXi)()(xdFeEetfitxitX)(tf2)2)特征函数特征函数在在R R上一致连续上一致连续)(tf3)3)特征函数特征函数是非负定的，即对任意实数是非负定的，即对任意实数nttt,21及复数及复数naaa,210)(1, 1njkjkjkaattf证明证明dxxpeaaaattf

4、xttinjkjknjkjkjkjk)()()(1, 11, 1 dxxpeaeadxxpeaaxitnkjxitnkkxttinjkjkjkjk)()()(11)(1, 10)()(21 dxxpeaxitnkkk4 4）ba,设设是常数，是常数，baXY)()()()(atfeEeeEetfXitbXtaiitbbaXitY)()(atfetfXibtY则则YX,5)5)随机变量随机变量相互独立，则相互独立，则)()()(tftftfYXYX)()()()(tftfEeEeeEeEeEetfYXitYitXitYitXitYitXYXitYX此性质可推广至多个此性质可推广至多个niXi,

5、2 , 1,随机变量随机变量相互独立，则相互独立，则iXXtftfiii)()(6 6）设随机变量）设随机变量nEX则它的特征函数可微分则它的特征函数可微分n n次，且次，且)0()()(kXkkfiEXnk )()()()()(xdFedtdxdFedtdtfitxkkitxkkk)()()(xdFexiitxkkkktxikkkEXixdFexif)()()()()0(0)(特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。7 7）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。绝对可积，即绝对可积，即若特征函数若特征函数)(tfdt

6、tf)(dttfexpxFitx)(21)()(相应的分布函数相应的分布函数F(xF(x）可导且导函数连续，则有）可导且导函数连续，则有)()(xdFeEetfitxitX 构成傅里叶变换对( , )XB n p), 2 , 1 , 0(nkqpCkXPknkkn参数为参数为., pnX的分布律的分布律3 3 常见的几个分布的特征函数常见的几个分布的特征函数nitknkitknnkitkknkknnknkkitkitXqpeqpeCeppCpeEetf)()()1 ()(000)(PX!kekXPk), 2 , 1 , 0(k分布律分布律参数为参数为itkknknkkitkitXekepeEe

7、tf!)(00)1(0!)(ititeekitnkeeekee)(EX0,00,)(xxexfx0密度函数密度函数参数为参数为10)1 ()()(itdxeedxxpeEetfxitxitxitX),(2NX222)(21)(xexfx密度函数密度函数参数为参数为.,2221)(ttietf特征函数特征函数)(22n2)21 ()(nittf如：二项分布，泊松分布，正态分布，卡方分布如：二项分布，泊松分布，正态分布，卡方分布均具有可加性。均具有可加性。例例题题 若若且且 相相互互独独立立则则 = =11(, ),(1,2) (, )iiinniiiiXB n pXinYXBn p 证证明明 因

8、因为为 则则 相相互互独独立立(, ),( )()(1,2)iiiinitXXB n pftpeqin = =1( )()()iinnnititYiftpeqpeq 在在由由唯唯一一性性定定理理得得到到 1(, )niiYBnp 一一 随机变量的收敛性随机变量的收敛性 二二 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1、依概率收敛、依概率收敛为随机是随机变量序列，设定义XXn，有变量，若对任意实数01limXXPnn.XXXXPnn，记作依概率收敛于则称一一 随机变量的收敛性随机变量的收敛性2、依分布收敛、依分布收敛),()(limxFxFnn分分别别是是随随机机变变量量，定定义义：设设)(

9、, 2 , 1)(xFnxFnxXnXn连连续续点点的的分分布布函函数数，若若对对及及), 2 , 1(.XXXXLnn，记记为为依依分分布布收收敛敛于于则则称称并不需要定义在共同的并不需要定义在共同的注：对于分布收敛，注：对于分布收敛，nX而而是是敛敛的的并并不不是是概概率率空空间间。实实际际上上，收收,nX.nnFX分分布布函函数数3、r-阶收敛阶收敛,2nnXEXX，有及设对随机变量定义, 0lim2XXEnn.XXn均方收敛于则称如果,2XE其中更一般地，设,rrnXEXE, 0limrnnXXE,XrXn阶收敛于则称为常数，如果0r.XXrn记作1-阶收敛又称为平均收敛，阶收敛又称为

10、平均收敛，2-阶收敛即为均方收敛。阶收敛即为均方收敛。4、以概率、以概率1收敛收敛，（简简记记为为若若定定义义1)()(lim:XXPnn.XXXXsan，记作随机变量（或几乎处处）收敛于1,1lim以概率则称随机变量序列）nnnXXXP四种收敛关系：四种收敛关系：以概率以概率1收敛或收敛或r-阶收敛阶收敛依概率收敛依概率收敛依分布收敛依分布收敛研究两类问题：研究两类问题：1,nXX11?nniiXn （大数定律大数定律）（中心极限定理中心极限定理）为相互独立的随机变量序列为相互独立的随机变量序列 ninX1（2）n充分大时，充分大时， 服从什么分布？服从什么分布？（1）是常数序列，是随机变量

11、序列，设knaX有若对任意实数, 0定义定义, 11lim1nknknaXnP, 011PnnkkaXn即服从大数定律。则称nX（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）,21nXXX量，且具有相同的数学量，且具有相同的数学 PniiXn11期望期望 ,2和方差和方差 设设为一列相互独立的随机变为一列相互独立的随机变即即11lim1niniPXn0 定理二定理二（辛钦大数定律）（辛钦大数定律） ,21nXXX, PniiXn11为一列为一列相互独立相互独立同分布同分布的的随机变量，且具有相同的数学期望随机变量，且具有相同的数学期望 即即设设11lim1niniPXn在定理一中在定理一中,去掉方差

12、存在的条件而加上相同去掉方差存在的条件而加上相同分布的条件，则有：分布的条件，则有：设事件设事件AnnA/pnnPA在每次试验中出现的概率为在每次试验中出现的概率为 p, 在在n次重复独立试验中出现的频率为次重复独立试验中出现的频率为 即即且且lim |1AnnPpn 理论上给出了在大量重复实验下理论上给出了在大量重复实验下, ,事件事件A A的的频率依概率收敛于它的概率频率依概率收敛于它的概率p.p.是随机变量序列，设kX0)(1lim12nkknXDn若服从大数定律。则kXnknkkkEXnXnP1111证明证明由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式即得所证结果即得所证结果.,)(11212nk

13、kXDn例例1 1 如何估计一大批产品的次品率？如何估计一大批产品的次品率？解解pAP )(抽取抽取n件产品，件产品， 为其中次品的件数为其中次品的件数。AnpnnPA设设A为事件为事件“任取一件为次品任取一件为次品”，记，记由伯努利大数定律知由伯努利大数定律知nnA当当n很大时，可取很大时，可取 作为次品率作为次品率 的估计值的估计值。p的随机变量，且具有数学期望和方差，的随机变量，且具有数学期望和方差， 定理定理1 1（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）,nX,21XX任意实数任意实数 ,x有有其中其中为标准正态分布的分布函数。为标准正态分布的分布函数。 )(x 设设为

14、一列相互独立相同分布为一列相互独立相同分布则对于则对于)(x 22-1e2txdtnlim111nniiiiniiXEXPxDXlim(1)nnnpPxnpp)(x 其中其中为标准正态分布的分布函数。为标准正态分布的分布函数。定理定理2 2 （德莫佛（德莫佛拉普拉斯）拉普拉斯）),(pnbn ，则对于任意实数，则对于任意实数x，有，有设设2t2-1e2xdt)(x 差，具有有限数学期望和方是独立随机变量序列，设k, 2 , 1,2kDaEkkkk即若存在记,122nkknB时使得当n, 0, 01122nkkknaEB有则对于任意的x).()(1lim1xxaBPnkkknn人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。