概率第1、2章

1、概率统计简明教程概率统计简明教程课程名称课程名称概率统计简明教程概率统计简明教程计划学时计划学时32学时学时作业要求作业要求用大张的用大张的A4白纸书写，姓白纸书写，姓名、班级和序号写在最上方名、班级和序号写在最上方章次内容讲课时数习题讲评或测验第一章随机事件 20第二章事件的概率 21第三章条件概率与事件的独立性 31第四章随机变量及其分布 51第五章二维随机变量及其分布 41第六章随机变量的函数及其分布 31第七章随机变量的数字特征 51总复习30 概率统计是研究随机现象数量概率统计是研究随机现象数量规律的学科规律的学科, , 理论严谨，应用广泛，发展迅速理论严谨，应用广泛，发展迅速. .

2、不仅高等学不仅高等学校各专业都开设了本课程校各专业都开设了本课程, ,而且在上世纪末，而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一。程之一。前前言言 概率统计可分为概率论与数理统计学，概概率统计可分为概率论与数理统计学，概率论严格地演绎研究大量随机现象地数量关系，率论严格地演绎研究大量随机现象地数量关系，数理统计学则侧重于归纳方法。它们的共同点数理统计学则侧重于归纳方法。它们的共同点都是研究随机现象地统计规律性。都是研究随机现象地统计规律性。概率论在物概率论在物理、化学、生物、生态、天文、地质、医学等理、化学、生物、生态、天文、地质、医

3、学等学科中，在控制论、信息论、电子技术、预报、学科中，在控制论、信息论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广泛。运筹等工程技术中的应用都非常广泛。 本学科的应用本学科的应用法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说说: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸

4、步难行, 无所作为无所作为.第一章第一章 随机事件随机事件第一节第一节 样本空间和随机事件样本空间和随机事件n 重点重点 1 1、随机事件、随机事件2 2、样本空间、样本空间 一般的，称具有以下三个特点的试验为一般的，称具有以下三个特点的试验为随机试验随机试验：u 试验在相同的条件下可重复进行试验在相同的条件下可重复进行u 试验的所有可能结果是已知的或者是可以确定的。试验的所有可能结果是已知的或者是可以确定的。u每次试验将会发生什么结果是事先无法预知的。每次试验将会发生什么结果是事先无法预知的。实例抛一枚硬币抛一枚硬币,观察正面或反面向上观察正面或反面向上在一条生产线上，检测在在一条生产线上，

5、检测在24小时内产出次品的数目小时内产出次品的数目 向一目标射击，直至击中为止，记录射击的次数向一目标射击，直至击中为止，记录射击的次数在标准大气压下，纯水加热到在标准大气压下，纯水加热到100 沸腾。沸腾。三角形中，任意两边之和一定大于第三边。三角形中，任意两边之和一定大于第三边。Cn 在随机试验中，产生的各种结果叫做在随机试验中，产生的各种结果叫做随机事件随机事件(random Events )，简称事件（，简称事件（Events) n 随机事件通常用大写英文字母、等表示随机事件通常用大写英文字母、等表示例： 投掷一个骰子，观察其朝上的点数。投掷一个骰子，观察其朝上的点数。 都是随机事件。

6、都是随机事件。A朝上的点数为朝上的点数为2B朝上的点数为偶数点朝上的点数为偶数点C朝上的点数不超过朝上的点数不超过4 如观察马路交叉口可能遇上的各种颜色交通灯，如观察马路交叉口可能遇上的各种颜色交通灯，这是随机试验，而这是随机试验，而“遇上红灯遇上红灯”则是一个随机事件。则是一个随机事件。 随机试验的每一个可能的结果称为这个试验的一随机试验的每一个可能的结果称为这个试验的一个个 样本点样本点 ，记作，记作 全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作记作样本空间是试验的所有可能结果所组成的集样本空间是试验的所有可能结果所组成的集合合. 样本点与样

7、本空间样本点与样本空间n样本点样本点 Sample Pointn 样本空间样本空间 Sample Space=|0 写出下列事件的样本空间写出下列事件的样本空间E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E1: 射手向一目标射击，记录射击的次数射手向一目标射击，记录射击的次数E3: 掷一颗骰子，观察向上一面出现的点数掷一颗骰子，观察向上一面出现的点数=1,2,=1,2,3,4,5,6 显然，每次试验有且只有一个含在样本空间中的显然，每次试验有且只有一个含在样本空间中的试验结果发生。试验结果发生。E2: 从四张扑克牌从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张任

8、意抽取两张。=(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,K),(Q,A),(K,A) 事件是由试验的某些可能结果构成的，因此事件事件是由试验的某些可能结果构成的，因此事件是样本空间的子集。仅含一个样本点的随机事件称是样本空间的子集。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件。为基本事件。 如前例：如前例： 投掷一个骰子，观察其朝上的点数。投掷一个骰子，观察其朝上的点数。记记 “出现点数为出现点数为j”（j1,2,3,4,5,6）j则则16, A朝上的点数为朝上的点数为2B朝上的点数为偶数点朝上的点数为偶数点C朝上的点数不超过朝上的点数不超过42A246,B 1234,C 必然事件必然事件Certai

9、nty Events “抛掷一颗骰子，出现的点数不大于抛掷一颗骰子，出现的点数不大于6”n 例例 必然事件必然事件样本空间本身也是事件,它包含了所有可能的试验结果，因此不论在哪一次试验它都发生，称为必然事件。也将它记为。不可能事件不可能事件Impossible Event “抛掷一颗骰子，出现的点数大于抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”n 例例不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数例例 随机试验随机试验n 样本空间样本空间 （1，1），（），（1，2）,（1，3），（），（1，4），），（1，5），（

10、），（1，6），），.，（，（6，1），（），（6，2），），.，（，（6，6）抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=点数之和等于点数之和等于3=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=B=点数之和大于点数之和大于1111=6=6，66C=C=点数之和不小于点数之和不小于22D=D=点数之和大于点数之和大于1212 = = =第二节第二节 事件的关系和运算事件的关系和运算用简单事件表示复杂事件用简单事件表示复杂事件事件的关系和运算事件的关系和运算事件的关系与运算事件的关系与运算事件事件事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系与事件的运算集合集合集合之间的关系与集

11、合的运算集合之间的关系与集合的运算u 事件发生必然导致事件发生事件发生必然导致事件发生 1、事件的包含、事件的包含ABBABA( (事件的样本点都是事件的样本点事件的样本点都是事件的样本点) )例如例如抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=A=出现出现1 1点点 B=B=出现奇数点出现奇数点 2、事件的相等事件的相等BAAB且A=BBAu 事件事件A A与事件与事件B B至少至少有一个发生有一个发生（或）（或）ABAB3、事件的并、事件的并(和和)121nniiAAAA=121niiAAAA=AB( 由事件由事件A A与事件与事件B B所有样本点组成所有样本点组成) )u

12、 多个事件的和多个事件的和4、事件的交、事件的交(积积)u 事件和事件事件和事件同时同时发生发生（都）（都）BAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多个事件的交多个事件的交( (由事件和事件公共的样本点组成由事件和事件公共的样本点组成) ) 5、事件的差、事件的差ABu 事件事件A A发生且事件发生且事件B B不发生不发生（由事件（由事件A A的样本点去掉事件的样本点去掉事件B B的样本点组成）的样本点组成）ABAAB A 与B 互斥ABA、 B不可能同时发生（不含公共的样本点）AB6. 事件的互斥(互不相容) A 与B 互相对立BAAB,AB注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B

13、 互斥”是不同的概念7. 事件的对立AAAB 称B 为A的对立事件(or补事件)，记为 ，可知A u 交换律交换律 ABBAABBAu 结合律结合律 ()()()A BC AB CA B CA BC AB CA B C u 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 对偶律对偶律 （德摩根律）（德摩根律）BAABBABA运算律运算律对应事件运算集合运算某射手向目标射击三次，用某射手向目标射击三次，用 表示第表示第 次次击中目标击中目标iAi试用试用 及其运算符表示下列事件及其运算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1） 三次都击中目标：三次都击中目标： 123

14、A A A（2 2） 至少有一次击中目标：至少有一次击中目标： 123AAA（3 3）至少有一次没有击中目标：）至少有一次没有击中目标： 123123AAAA A A（4 4）三次都没有击中目标：）三次都没有击中目标： 123123A A AAAA例：复合事件的表示例：复合事件的表示,kkkkkkkkAAAA可推广A,B,CA,B,C为同一样本空间的随机事件，为同一样本空间的随机事件，试用试用A A，B B，C C的运算表示下列事件的运算表示下列事件1 1） A A，B B，C C 都不发生都不发生2 2） A A与与B B发生，发生，C C不发生不发生3 3） A A，B B，C C 至少有

15、一个发生至少有一个发生4 4） 事件事件3 3）的对立事件）的对立事件作业 P5 习题一 2、 3、 4（1）（2）（3）（4） 5（1）（2）（3）（4）第二章第二章 事件的概率事件的概率排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法121ninimmmm121ninimmmm排列排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排,不同的 排法共有全排列全排列

16、(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(2)2 1!nnAn nnn !nnm种。mn可重复排列可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有!()!(1)(2)(1)!mnnCm nmn nnnmm组合组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的组合数记为mnnCm或!mmnnAC m例例1 10人中有人中有6人是男性，问组成人是男性，问组成4人组，三男一人组，三男一女的组合数。女的组合数。例例2 两线段两线段MN和和PQ不相交，线段不相交，线段MN上有上有6个个点点 ，线段，线段PQ上有上有7 个点个点 。若将每一个若将每一

17、个 和每一个和每一个 连成不作延长的线段连成不作延长的线段 ,则由这些线段则由这些线段 相交而得到的交点最多有相交而得到的交点最多有A 315个个 B 316个个 C 317个个 D 318个个126,A AA127,B BBijABijABjBiAA例例3：3封不同的信，有封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？种投信的方法？ 343164C C第一节第一节 概率的概念概率的概念历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设在 n 次试验中，事件 A 发生了

18、m 次， 频率频率nmfn则称 为事件 A 发生的 频率频率 大量试验表明，在多次重复试验中，同一事大量试验表明，在多次重复试验中，同一事件发生的频率尽管不一定相同，然而却在某一固定件发生的频率尽管不一定相同，然而却在某一固定的常数附近摆动，呈现出相对稳定的状态。随着试的常数附近摆动，呈现出相对稳定的状态。随着试验次数的增加，这种现象越显著，我们把这种验次数的增加，这种现象越显著，我们把这种“频频率稳定性率稳定性”称为统计规律性。如历史上，蒲丰、皮称为统计规律性。如历史上，蒲丰、皮尔逊等先后做过抛掷硬币的试验：尔逊等先后做过抛掷硬币的试验：德.摩 根 试 验 者 抛 掷 次 数n 出现正面的次

19、数m 出现正面的频率m/n 2048 1061 0.518 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维 尼 0.4998 14994 30000 抛掷硬币的试验抛掷硬币的试验Experiment of tossing coinu历史纪录历史纪录 概率的概率的统计定义统计定义 在大量重复试验中，若事件A发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则把这个数p称为事件 A 的概率, 记作 P(A)p.对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用 当试验次数足够大时，可以用事件当试验次数足够大

20、时，可以用事件A发生的频发生的频率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率。的概率。从频率的性质可知概率满足：从频率的性质可知概率满足： 1 0( )1;P A 21;P 12113,nnnkkkkA AAPAP A互斥，则第二节第二节 古典概型古典概型理解概率的古典定义，会计算简单的理解概率的古典定义，会计算简单的 古典概率古典概率设随机试验具有如下特征：设随机试验具有如下特征：（1）试验的可能结果只有有限个；）试验的可能结果只有有限个；（2）各个可能结果出现是等可能的。）各个可能结果出现是等可能的。则称此试验为古典（等可能）概型。则称此试验为古典（等可能）概型。 概率的概率的古典定义古典定义

21、1 n21,2 nPPPn1)()()(21 设任一事件设任一事件A，它是由，它是由 组成的，组成的，则有则有m21, 12()()()mP A12()()()mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A例例1 设有批量为设有批量为100的同型号产品，其中次品有的同型号产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取件。现按以下两种方式随机抽取2件产品件产品（a）有放）有放回抽取，即先任意抽取一件，观察后放回批中，再回抽取，即先任意抽取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；（从中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取一件。试分别抽

22、后不放回，从剩下的产品中再任取一件。试分别按这两种抽样方式求按这两种抽样方式求（1）两件都是次品的概率；）两件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。）第一件是次品，第二件是正品的概率。解解 本题为古典概型。记本题为古典概型。记A两件都是次品两件都是次品 B第第1件是次品，第二件是次品，第二 件是正品件是正品（a）30 309( )100 100100P A30 7021( )100 100100P B在方式（在方式（b）下，）下，30 2929( )100 99330P A30 707( )100 9933P B例例2 某城市电话号码升位为六位数，且第一位某城市电话号码升位为

23、六位数，且第一位为为6或或8，求，求（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；数的概率；（2）随机抽取的电话号码末位数是）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。的概率。52 9 8 7 6 5( )0.15122 10P A 452 10( )0.12 10P B例例3 （女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士称：（女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶。并且她在奶。并且她在10次试验中都正确地辨别出来，问该次试验中都正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？女

24、士的说法是否可信？分析：判断分析：判断10试验中每一次她都猜对的可能性有试验中每一次她都猜对的可能性有多大，多大，A在在10次试验中都能猜出放置牛奶和茶的先后次试验中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序次序每次试验的结果：先放牛奶后放茶；先放茶后放每次试验的结果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。牛奶。 有两种可能。有两种可能。10次试验结果的可能性（样本点总数）：次试验结果的可能性（样本点总数）：10210次都猜对的概率为：次都猜对的概率为： 1010.00097662P A 该女士猜对的概率非常小，所以她的说法是该女士猜对的概率非常小，所以她的说法是可信的。可信的。例例4（抽奖问题）设某超市有奖销

25、售，投放（抽奖问题）设某超市有奖销售，投放n张奖券张奖券只有只有1张有奖。每位顾客可抽一张。求第张有奖。每位顾客可抽一张。求第k位顾客中位顾客中奖的概率奖的概率 。1kn解解 抽奖券是不放回抽样。记抽奖券是不放回抽样。记A为所求事件的概率，为所求事件的概率，到第到第k个顾客为止试验的样本点总数为：个顾客为止试验的样本点总数为：(1)(1)n nnkA所包含的样本点数为：所包含的样本点数为：(1)(2)(1) 1nnnk于是：于是： 11 111nnkP An nnk1n第三节第三节 几何概型几何概型 古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型，下

26、面我们进一步研究样本空间为一线的概率模型，下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型几何概型。率模型几何概型。SA1、设样本空间、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为是平面上某个区域，它的面积记为 s2、向区域、向区域S上随机投掷一点，这里上随机投掷一点，这里“随机投掷一点随机投掷一点”的含义是指该点落入的含义是指该点落入S内任何部分内任何部分区域内的可能性只与这部分区区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关。区域的位置和形状无关。3、设事件、设事

27、件A是是S的某个区域，它的某个区域，它的面积为的面积为 ，则向区域，则向区域S随机随机 A投掷一点，该点落在区域投掷一点，该点落在区域A的概率为的概率为 AP AS几何概率几何概率 (*)注注 若样本空间若样本空间S为一线段或空间立体，则向为一线段或空间立体，则向S“投点投点”的相应概率仍可用的相应概率仍可用(*)式确定，但式确定，但 应理解为长度应理解为长度或体积。或体积。 例例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点报时一次，他打开收音机听电台报时，设电台每正点报时一次，他打开收音机时电台还没有报时，求他等待时间短于时

28、电台还没有报时，求他等待时间短于10分钟的概率。分钟的概率。解解 以分钟为单位，记上一次报时时刻为以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，下一次，下一次报时时刻为报时时刻为60，于是这个人打开收音机的时间必在，于是这个人打开收音机的时间必在(0,60)，记记“等待时间少于等待时间少于10分钟分钟”为事件为事件A，则，则有有(0,60),(50,60)SAS于是于是 101606P A 例例2 甲乙两人相约在甲乙两人相约在7点到点到8点之间在某地会面，先点之间在某地会面，先到者等待对方到者等待对方20分钟，过时就离开。如果每个人可分钟，过时就离开。如果每个人可在一小时内的任意时刻到达，求甲乙双方见面

29、的概在一小时内的任意时刻到达，求甲乙双方见面的概率。率。解解 记记7点为计算时刻的点为计算时刻的0时，以分钟为单位，时，以分钟为单位，x，y分分别记为甲乙到达指定地点的时刻，则样本空间为别记为甲乙到达指定地点的时刻，则样本空间为,060,060Sx yxy以以A表示事件表示事件“两人会面两人会面”，则有，则有 ,20Ax yx yS xy这是一个几何概型问题，于是：这是一个几何概型问题，于是： ( )AP AS22260405609练习练习 在区间（在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于两数之和小于6/5”的概率为的概率为。1725第四节第四节 概率的

30、公理化定义概率的公理化定义概率的公理化定义概率的公理化定义掌握概率的基本性质及概率加法定理掌握概率的基本性质及概率加法定理 数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明，就是一些不加证明而承认的前提，这些前提规定了所讨论对象的一而承认的前提，这些前提规定了所讨论对象的一些基本关系和所满足的条件，然后以之为基础，些基本关系和所满足的条件，然后以之为基础，推演出所讨论对象的进一步内容。推演出所讨论对象的进一步内容。 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ，若对每一事件，若对每一事件A，有且只有一个实数有且只有一个实数P(A)以之对应，满足如下公理：以之对应，满足如下公理：公理公理

31、1（非负性）（非负性） 0( )1P A公理公理2（规范性）（规范性） 1P 公理公理3（完全可加性）对任意一列两两互斥事件（完全可加性）对任意一列两两互斥事件12,A A 有有11knnnPAP A则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。概率的性质概率的性质q 有限可加性: 设 nAAA,21两两互斥,有niiniiAPAP11)( )1( )P AP A q q ()0P )(ABAB( )()( )()P BP ABAP AP BA （）（）（）（）（）（） ABq 若AB()( )( )P BAP BP A( )( )P AP B(包含包含)（互斥）（互斥）推广：对任意两个事件A, B, 有 ()P BA BAB-A=B-ABP(B-A)=P(B-AB)= B-A=B-ABAB( )()P BP ABP(B)-P(AB)对任意两个事件、对任意两个事件、 ，有，有 ()()P ABP ABABAn 加法定理加法定理)()()()(ABPBPAPBAP( )()P AP BA( )()P AP BAB ( )()P AP BP AB(互斥互斥)(包含包含) P ABP AP BP AB变形：变形：例例7 已知已知P(A)0.9，P(B)=0.8，试证：，试证：0.7P AB 解：由性质解：由性质4得：得：