高中数学必修2立体几何考题(附答案)

1、高中数学必修2立体几何考题13.如图所示，正方体ABCDAiBiCiDi中，M、N分别是A1B1,B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解析：（1）由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN/AC,因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法（即由条件入手，经过推理、演算、变形等），如第（1）问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错

2、误，从而否定假设，则两直线是异面的.解：（1）不是异面直线.理由如下：.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MN/A1C1.又A1A/D1D,而D1D触C1C, A1A统CC,.,.四边形A1ACC1为平行四边形. A1A/AC,得到MNIIAC, A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线.理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则BC平面CC1D1,CC平面CC1D1. BC?平面CC1D1,这与在正方体中BCL平面CC1D1相矛盾，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.为AB的中点，N为14.如下图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C

3、1D1中，MBB1的中点，。为面BCC1B1的中心.过。作一直线与AN交于P,与CM交于Q（只写作法，不必证明）；（2）求PQ的长（不必证明）.解析：（1）由ON/AD知，AD与ON确定一个平面o又0、C、M三点确定一个平面&如卜图所示）. 三个平面%3和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面. DA与CM必相交，记交点为Q. 0Q是“与3的交线.连结0Q与AN交于P,与CM交于故OPQ即为所作的直线.14（2）解二角形APQ可得PQ=2.3Q,/ ABC = 90 °,15 .如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=B1B

4、=a,D、E分别为BBi、ACi的中点.求异面直线BBi与ACi所成的角的正切值;(2)证明：DE为异面直线BBi与ACi的公垂线；(3)求异面直线BBi与ACi的距离.解析：(i)由于直三棱柱ABCAiBiCi中，AAi/BBi,所以/AiACi就是异面直线BBi与ACi所成的角.又AB=BC=BiB=a,/ABC=90°,所以AiCi='J2a,tanZAiACi=,即异面直线BBi与ACi所成的角的正切值为V2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACCiAi中，过点E作AAi的平行线MMi分别交AC、AiCi于点M、Mi,连结BM,BiMi,则BBi糠MMi.又D、E分别

5、是BBi、MMi的中点，可得DE触BM.在直三棱柱ABCAiBiCi中，由条件AB=BC得BM，AC,所以BML平面ACCiAi,故DEL平面ACCiAi,所以DELACi,DE±BBi,即DE为异面直线BBi与ACi的公垂线.解法二：如图，延长CiD、CB交于点F,连结AF,由条件易证D是CiF的中点，B是CF的中点，又E是ACi的中点，所以DE/AF.在4ACF中，由AB=BC=BF知AFLAC.在直三棱柱ABCAiBiCi中，AAi，平面ABC,所以AF±AAi,故AFL平面ACCiAi,故DEL平面ACCiAi,所以DELACi,DE±BBi,即DE为异面

6、直线BBi与ACi的公垂线.(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BBi与ACi的距离，由于AB=BC=a,/ABC=90°,所以DE=-a.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离.证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直.本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行.16 .如图所示，在正方体ABCDAiBiCiDi中，O,M分别是BDi,A

7、Ai的中点.求证：MO是异面直线AAi和BDi的公垂线;(2)求异面直线AAi与BDi所成的角的余弦值；AAi与BDi的距离.(3)若正方体的棱长为a,求异面直线解析：(i)证明：.。是BDi的中点，.O是正方体的中心，.OA=OAi,又M为AAi的中点，即OM是线段AAi的垂直平分线，故OMAAi.连结MDi、BM,则可得MB=MDi.同理由点。为BDi的中点知MOLE即MO是异面直线AAi和BDi的公垂线.(2)由于AAi/BBi,所以/BiBDi就是异面直线AAi和BDi所成的角.在Rt"BiDi中,设BBi=i,则BDi=V3,所以cos/BiBDi=骞，3故异面直线AAi与

8、BDi所成的角的余弦值等于半.(3)由(i)知，所求距离即为线段MO的长，由于0人=%0=当2,AM=|,且OMAM,所以OM=32a.i3.如图所示，正方体ABCDAiBiCiDi中，侧面对角线ABi,BCi上分别有两点E、F,且BiE=CiF,求证：EF/ABCD.证明：解法一：分别过E、F作EMXAB于M,FNLBC于N,连结MN.BBi,平面ABCD,BBi±AB,BBiXBC,EM/BBi,FN/BBi,EM/FN.又BiE=CiF,EM=FN,故四边形MNFE是平行四边形，EF/MN,又MN在平面ABCD中，所以EF/平面ABCD.解法二：过E作EG/AB交BBi于G,连

9、结GF,则BE=BG,BiABiBBiE=CiF,BiA=CiB,CiF_BiGCiB=BiB'FG/BiCi/BC.又EGAFG=G,ABABC=B,平面EFG/平面ABCD,而EF?平面EFG,.EF/平面ABCD.i4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDPD=DC.过BD作与PA平行的平面，交侧棱PC于点E,又作DFLPB,交(i)求证：点E是PC的中点；(2)求证：PBL平面EFD.证明：(i)连结AC,交BD于O,则。为AC的中点，连结EO.PA/平面BDE,平面FACA平面BDE=OE,，FA/OE. 点E是PC的中点;(2)PDL底面ABCD且

10、DC?底面ABCD,PDXDC,4PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， DEXPC,，底面ABCD,PB于点F.又由PDL平面ABCD,得PDBC；底面ABCD是正方形，CD±BC,BC，平面PDC.而DE?平面PDC.BC,DE.由和推得DEL平面PBC.而PB?平面PBC, DEXPB,又DF，PB且DEADF=D,所以PBL平面EFD.15.如图，li、12是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在li上，C在l2上，AM=MB=MN.的中心.连结 BH ,ABC内的射影H是正三角形ABCCB=CD, ADBD,点E、F分别是 AB、BD的中点.求证AC

11、XNB;(2)若/ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.证明：(1)如图由已知l2±MN,l2±li,MNAli=M,可得12,平面ABN.由已知MN±1i,am=mb=MN,可知AN=NB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的射影，ACXNB.(2)RtACNARtACNB,.AC=BC,又已知/ACB=60°,因此ABC为正三角形.RtAANBRtACNB,NC=NA=NB,因此N在平面/NBH为NB与平面ABC所成的角.在RtANHB中，13AB-,HB3,16cos/NBH=后石=3.-2-AB16.如图，在四面体ABCD

12、中，求证：(1)直线EF/平面ACD;(2)平面EFCL平面BCD.命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力.证明：(1)在4ABD中，:E、F分别是AB、BD的中点，所以EF/AD.又AD?平面ACD , EF?平面ACD,直线 EF/平面 ACD.(2)在4ABD中，ADXBD,EF/AD,EFXBD.在BCD中，CD=CB,F为BD的中点，CFXBD.EF?平面EFC,CF?平面EFC,EF与CF交于点F,二.BD，平面EFC.又BD?平面BCD,.平面EFCL平面BCD.13.如图，在四锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，P

13、AL平面ABCD,且PA=2AB.(1)求证：平面PAC,平面PBD;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.解析：(I)证明：PAXBD.ABCD为正方形,.BDL平面PAC,PA，平面ABCD,AC±BD.又BD在平面BPD内，平面PACL平面BPD.(2)在平面BCP内作BN，PC,垂足为N,连结DN,RtAPBCRtAPDC,由BN±PC得DN,PC;/BND为二面角B-PC-D在4BND中，BN=DN=春,BD=>/2a,cos/BND=6a2+5a2-2a25"13a15.I4.如图，已知上，点F在CCi上,ABCDAiBiCiDi是棱长为3的正方体

14、，点E在AAiG在BBi上，且AE=FCi=BiG=I,H是BiCi的中点.求证：E、B、F、Di四点共面；(2)求证：平面AiGH/平面BEDiF.证明：连结FG.AE=BiG=I,.BG=AiE=2,BG糠AiE,AiG糠BE.CiF触BiG,，四边形CiFGBi是平行四边形.FG触CiBi触DiAi,，四边形AiGFDi是平行四边形.AiG触DiF,DiF触EB,故E、B、F、Di四点共面.43(2)H是BiCi的中点，BiH=2.BiG3又BiG=1，一BiH=2.一FC2又£?=三，且/FCB=ZGBiH=90°,BC3BiHGACBF,BiGH=ZCFB=ZFB

15、G,HG/FB.又由(i)知AiG/BE,且HGAAiG=G,FBABE=B,，平面AiGH/平面BEDiF.i5,在三棱锥P-ABC中，FA上面ABC,ABC为正三角形，D、E分别为BC、AC的中点，设AB=PA=2.(i)求证：平面PBEL平面PAC;(2)如何在BC上找一点F,使AD/平面PEF,请说明理由；对于(2)中的点F,求三棱锥BPEF的体积.解析：(i)证明：.PAL面ABC,BE?面ABC, PAXBE. ABC是正三角形，E为AC的中点， BEXAC,又PA与AC相交,BE，平面PAC,，平面PBE，平面PAC.AD/平面 PEF.、,，_ _ _ 1ABXAD, M 为

16、CE 的中点，AF = AB= BC= FE =QAD.(3)解： VbPEF= Vp BEF =、SaBEF PA='X工X虫X3X 2=必 33 222416. (2009天津，19)如图所示，在五面体 ABCDEF中，FAL平面 ABCD , AD / BC / FE,(2)证明：因为 DC = DE且M为CE的中点，所以 DMLCE.连结 MP,则 MPLCE.又 MPADM=M,故CEL平面 AMD.而CE?平面CDE ,所以平面 AMD，平面 CDE.(3)设Q为CD的中点，连结 PQ, EQ.因为CE = DE,所以EQ，CD.因为PC= PD,所 以PQLCD,故/ E

17、QP为二面角 ACDE的平面角.由(1)可得，EPXPQ , EQ=26a, PQ = ¥a.于是在 RtEPQ 中，cos/EQP = PQ = W3 EQ 3、'3所以二面角A- CD-E的余弦值为 33.13. (2009 重庆)如图所示，四棱锥 P- ABCD 中，ABXAD, AD ± DC, PAL底面 ABCD, FA= AD = DC=1AB= 1 , M 为 PC 的中点，N 点在 AB 上且 AN= 1NB.23j.(2)解：过N点作NQ/AP交BP于点Q, NFXCB于点F.连结QF ,过N点作NH，QF于H ,连结MH ,易知 QN上面 AB

18、CD,QNXBC,而 NFXBC,BC±W QNF , BCXNH ,而 NHXQF , . NH，平面 PBC ,(2)解：取DC的中点F,则点F即为所求. E, F分别是AC, DC的中点，EF / AD,又AD?平面PEF, EF?平面PEF,(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)求证：平面AMD，平面CDE;(3)求二面角 ACD E的余弦值.解答：(1)解：由题设知，BF/CE,所以/ CED (或其补角)为异面直 线BF与DE所成的角.设P为AD的中点，连结EP, PC.因为FE触AP, 所以FA触EP.同理，AB触PC.又FAL平面 ABCD ,所以EPL平面

19、 ABCD. 而PC, AD都在平面 ABCD内，故 EPXPC, EP，AD.由AB，AD,可得 PCXAD.i FA= a,贝U EP=PC = PD=a, CD = DE = EC=g.故/ CED = 60°.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 60°.(1)求证：MN/平面FAD;(2)求直线MN与平面PCB所成的角.解析：(1)证明：过点 M作ME / CD交PD于E点，连结AE.1- AN=3NB, 11- AN=4AB=2DC = EM.又 EM / DC / AB,EM 触 AN, .AEMN为平行四边形，MN / AE, MN /平面 FAD. /N

20、MH为直线MN与平面PCB所成的角.通过计算可得mn=ae=¥，Qn=3，nf=3/2,KlllQNNFONNFJ6 .NH=.=J,Qf：qn2+nf24 .sin/NMH=叫=也，/NMH=60。，MN2 直线MN与平面PCB所成的角为60°.14.（2009广西柳州三模）如图所示，已知直平行六面体AD=BD=a,E是CCi的中点，AiD±BE.(1)求证：AiD，平面BDE;(2)求二面角B-DE-C的大小.扉析：(1)证明：在直平行六面体ABCDAiBiCiDi中,AAi,平面ABCD,AAiXBD.又BDXAD,.BDL平面ADDiAi,即BDXAiD.

21、又AiDBE且BEABD=B,AiDL平面BDE.(2)解:如图，连BiC,则BiC±BE,易证RtABCERtABiBC,.CP器，又;E为CCi中点,1cBC2=2BB2.BBi=-72BC=V2a.取CD中点M,连结BM,则BM,平面CCiDiC,作MN，DE于N,连NB,由三垂线定理知：BNXDE,则/BNM是二面角BDEC的平面角.在RtBDC中，BM=BD-BC-=乎a,DC2RtACED中，易求得MN=¥0°a,RtABMN中，tan/BNM=MMN=V5,B-DE-C的大小为arctan/5.15.如图，已知正方体ABCDAiBiCiDi中，E为A

22、B求直线BiC与DE所成的角的余弦值；（2）求证：平面EBiDL平面BiCD;求二面角E-BiC-D的余弦值.解析：（1）连结AiD,则由AiD/BiC知，BiC与DE所成的角即为AiD与DE所成的角.ABCDAiBiCiDi中,AD±BD,5连结AiE,由正万体ABCD-AiBiCiDi,可设其棱长为a,则AiD=42a,AiE=DE=j"a,cos/AideAiD2+DE2-AiE2.102AiDDE5直线BiC与DE所成角的余弦值是头0(2)证明取BiC的中点F,BiD的中点G,连结BF,EG,GF.CD，平面BCCiBi,且BF?平面BCCiBi,DCXBF.又BF

23、XBiC,CDABiC=C,.BF,平面BiCD.i-i又GF就CD,BE触CD,GF触BE,四边形BFGE是平行四边形,BF / .GE? ，平面 连结GE,.GE，平面BiCD.平面EBiD,EBiDL平面BiCD.EF.CDXBiC,GF/CD,GFXBiC.又GE，平面BiCD,EFXBiC,EFG是二面角EBiCD的平面角.设正方体的棱长为a,则在EFG中，i3GF=a,EF=a，cos/ EFG =FG_3一_13，一面角E-BiC-D的余弦值为.i6.(2009全国n,i8)如图所示，直三棱柱ABCAiBiCi中，AB±AC,D、E分别为AAi、BiC的中点，DEL平面

24、BCCi.(i)求证：AB = AC;(2)设二面角 ABD C为60°,求BiC与平面BCD所成的角的大小.解析：(i)证明：取BC中点F,连结EF, i .一-贝U EF触2BiB,从而 EF触DA.连结AF ,则ADEF为平行四边形，从而 AF / DE.又DEL平面BCCi,故AFL平面BCCi,从而AFXBC,即AF为BC 的垂直平分线，所以 AB = AC.(2)解：作AGXBD,垂足为 G,连结CG.由三垂线定理知CG± BD,故/ AGC 为二面角A-BD-C的平面角.由题设知，/ AGC = 60°.设AC = 2,则 AG =翕又 AB=2,

25、BC =2也，故 AF=亚.由 AB AD=AG BD 得 2AD =哀 MaD2+22, 解得 AD = V2,故 AD= AF.又ADAF,所以四边形 ADEF为正方形.因为 BCXAF, BCXAD, AFAAD=A,故 BCL平面 DEF,因此平面 BCD，平面 DEF.连结 AE、DF,设 AEADF = H,则 EHXDF , EHL平面 BCD.连结CH,则/ECH为BiC与平面BCD所成的角.1因ADEF为正万形，AD=42,故EH=1,又EC=2biC=2,所以/ECH=30。，即BiC与平面BCD所成的角为30°.13.在正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，底面边

26、长为2y2,侧棱长为4,AB、BC的中点.(1)求证：平面BiEF,平面BDDiBi;(2)求点Di到平面BiEF的距离d.分析：(1)可先证EFL平面BDDiBi.(2)用几何法或等积法求距离时，可由将点进行转移：Di点到平面BiEF的距离是B点到它的距离的4倍，先求B点到平面BiEF的距离即可.EF±BD解答：(1)证明:? EFL平面 BDDiBi?平面BiEF,平面 EF± BiBBDDiBi.(2)解：解法一：连结EF交BD于G点.BiDi=4BG,且BiDi/BG,Di点到平面BiEF的距离是B点到它的距离的4倍.利用等积法可求.1由题思可知，EF=2AC=2,

27、BiG=yi7.S；ABiEF=2EFBiG=1x2X17=V17，11SBEF=2BEBF='X/x避=1.VB-BiEF=VBi-BEF,设B到面BiEF的距离为hi,则;X07><'=；X1X4,33417h1117.16i7二点Di到平面BiEF的距离为h=4hi=1；,1解法一：如图，在正万形BDDiBi的边BD上取一点G,使BG=4BD,连结BiG,过点Di作DiHBiG于H,则DiH即为所求距离.可求得口小二号手(直接法).14.如图直三棱柱ABCAiBiCi中，侧棱CCi=2,/BAC=90°,AB=AC=y2,M是BC的中点，N是CCi中

28、点.求：(1)二面角BiANM的大小；(2)Ci到平面AMN的距离.解析：(1);/BAC=90°,AB=AC=V2,M是棱BC的中点，AMXBC,BC=2,AM=1.AM，平面BCCiBi.E、F分别为棱DBi Di / BD,平面AMN，平面作BiHXMN于H,，BiH，平面AMN.又由三垂线定理知，CiNBCC1B1.HRXAN 于 R,连结 BiR,BiR± AN.Bi-AN- M的平面角.MN=42, BiM =，5=BiN,BiRH是二面角由已知得AN=V3,则BiH=322,又RtMMNsRhrn,H=HN,RH=6'AMAN6.14RH17-BiR=

29、7飞，/B1RH=B；R=14.，二面角BiANM的大小为arccos.(2);N是CCi中点，Ci到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离.设C到平面AMN的距离为h,由VcAMN=VNAMC得;x；MNh=；X；AMMC.3232,h2.15.(2009北京海淀一模)如图所示，四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，且AB/CD,/(1)求证：BCXPC;(2)求PB与平面PAC所成的角的正弦值；求点A到平面PBC的距离.解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD中,.AB/CD,/BAD=90°,AD=DC=2,/ADC=90°,且AC=2

30、取AB的中点E,连结CE,由题意可知，四边形ABCD为正方形,.AE=CE=2.11又.BE=2AB=2.-.CE=2AB,ABC为等腰直角三角形，ACXBC.又PAL平面ABCD,且AC为PC在平面ABCD内的射影,BC?平面ABCD,由三垂线定理得，BCXPC.(2)由(1)可知,BCXPC,BCXAC,PCAAC=C,BC，平面PAC.PC是PB在平面PAC内的射影，/CPB是PB与平面PAC所成的角.又CB=2寸2,PB2=PA2+AB2=20,PB=2V5,sin/CPB=BB=¥°,即PB与平面PAC所成角的正弦值为*10由(2)可知，BCL平面PAC,BC?平

31、面PBC,平面PBCL平面PAC.过A点在平面PAC内作AF，PC于F,.AFL平面PBC,AF的长即为点A到平面PBC的距离.在直角三角形PAC中，RA=2,AC=22,PC=28AF=236.即点A到平面PBC的距离为236.16.(2009吉林长春一模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PAL底面ABCD,PA=2,/PDA=45°,点E、F分别为棱AB、PD的中点./(1)求证：AF/平面PCE;/次(2)求二面角E-PD-C的大小；/叫(3)求点A到平面PCE的距离./解析：(1)证明：如图取PC的中点G,连结FG、EG,FG为4PCD的中位线，1一-FG=2CD且

32、FG/CD.又.底面四边形ABCD是正方形，E为棱AB的中点，1 1 AE=2CD且AE/CD,AE=FG且AE/FG. 四边形AEGF是平行四边形，AF/EG.又EG?平面PCE,AF?平面PCE,.AF/平面PCE.(2)解：PAL底面ABCD, PAXAD,PAXCD.又AD，CD,PAAAD=A,CD，平面PAD.又AF?平面PAD, CDXAF.又PA=2,/PDA=45°,PA=AD=2. F是PD的中点，AFXPD.又CDAPD=D, .AF,平面PCD. AF/EG,EG,平面PCD.又GFXPD,连结EF,则/GFE是二面角EPDC的平面角.在RtAEGF中，EG=

33、AF=>/2,GF=1, .tan/GFE=GE=呢 二面角EPDC的大小为arctan/2.设A到平面PCE的距离为h,由Vapce=Vpace,即1X1PCEGh=：PA1AE3232CB,得h箸, 3 点A到平面PCE的距离为*613.(2009陕西，18)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1,AC=AA=，3,/ABC=60°.(1)求证：ABXAiC;(2)求二面角AAiCB的大小.解析：(1)证明：.三棱柱ABCAiBiCi为直三棱柱，ABAAi,在ABC中，AB=I,AC=a/3,/ABC=60°,由正弦定理得/ACB=30°,.

34、/BAC=90°,即ABXAC.AB,平面ACCiAi,又AiC?平面ACCiAi,/.ABXAiC.(2)解：如图，作 AD,AiC交AiC于D点，连结BD ,由三垂线定理知 BDXAiC,/ADB为二面角 A AiCB的平面角.在 RtAAiC 中，AD =AAi AC V3x V3 亚AiC在 RtABAD 中，tan/ADB =季AB6AD= 3 'ADB = arctan半，即二面角 A AiCB 的大小为 arctad亭.33I4.如图，三棱柱 ABC AiBiCi的底面是边长为 a的正三角形，侧面 垂直于底面，/ AiAB=60 °, M是AiBi的中

35、点.(I)求证：BMXAC;(2)求二面角 BBi CiAi的正切值；求三棱锥M AiCB的体积.解析：(I)证明：.ABBiAi是菱形，/. . M是AiBi的中点，BMXAiB又平面 AAiBiB,平面 AiBiCi? BML平面 AiBiCi.AiAB=60 ? AiBiB是正三角形,ABBiAi是菱形且 BMXAiCi ? BM ±AC.又 AC/ AiCi(2)过M作ME ± BiCi且交于点 . BM，平面 AiBiCi, AiBiCi 中，ME=MBi sin60 .tan/ BEM=MB-=2, ME所求二面角的正切值是2.(3)VM - AiCB= TVB

36、i - AiCB=IVA-AiCB=却AABC/xgx *a2 当a =3a3.2222 342 I6I5. (2009广东汕头一模)如图所示，已知 BCD中，/BCD=90°, BC=CD=I, AB±平面 BCD, Z ADB =60°, E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 AC = AF= ?(0<<i).E,? BEXBiCi, .Z BEM为所求二面角的平面角,乎a, RfBMBi 中，MB = MBitan60=乎a,(i)求证：不论 入为何值，总有 EFL平面ABC;(2)若入=I,求三棱锥A-BEF的体积.解析：(1)证明：AB，

37、平面BCD, ABXCD.又.在BCD中，/BCD=90°, BCXCD. .又ABnBC=B, .CD,平面ABC.又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且差=黑=乂0<«1),ACAD不论入为何值，都有EF/CD, 平面ABC.(2)在4BCD中，/BCD=90°,BC=CD=1,BD=建.又,AB，平面BCD, ABXBC,ABXBD.又.在RtABD中，/ADB=60°,AB=BDtan60=逆，由(1)知EFL平面ABC,VaBEF=VFABE1=3SAABEEF11=§X2SAABCEFg2x"V6尊故三棱锥

38、A-BEF的体积是26.16.在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为2禽的菱形，/ADC为菱形的锐角.(1)求证：PAXCD;(2)求二面角PABD的大小；(3)求棱锥PABCD的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E,由PEXCD,得PEL平面ABCD,连结AC、AE.ADCDsinZADC=23,AD=CD=2,-3sin/ADC=2,即/ADC=60°,.ADC为正三角形，CDXAE.CDPA(三垂线定理).(2)解:AB/CD,ABXPA,ABXAE,丁./PAE为二面角PABD的平面角.在RtPEA中，PE=A

39、E,，/PAE=45°.即二面角PABD的大小为45°.(3)分别计算各侧面的面积：PD=DA=2,PA=V6,.cos/PDA=：sin/PDA=乎.SPCD=V3,s¥ab=2abpa=22啦V3=V6,1空pad=SApbc=/PDDAsin/PDA=15r-SpABCD侧=43+6+>/T5.13.把地球当作半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°,A、B两点的球面距离是3R,A点在东经20,求B点的位置.解析：如图，求B点的位置即求B点的经度，设B点在东经a,A、B两点的球面距离是3R./AOB=，因此三角形AOB是等边三角形，AB=

40、R,3又/AOiB=a20(经度差)2问题转化为在AOiB中借助AOi=BOi=AOcos45=+r,求出/AOiB=90°,则a=110°,同理：B点也可在西经70°,即B点在北纬45°东经110或西经70°.14.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为497cm2和400Ticm2,求球的表面积和体积.解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为若。1、O2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知设球半径为R,=兀C2B2=49ti,O2B=7cm,同理O1A=20cm.设。1=xcm,则OO2=(x+9)cm

41、.在RtAOO1A中，R2=x2+202,在RtOOzB中，R2=(x+9)2+72,x2+202=72+(x+9)2,解得x=15cm.1.R=25cm,1-S球=25007icm2,V<4兀262詈5333AO1、BO2,则AO1/BO2.OO1±AO1,OO2±BO2,15.设A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为3,点A与B、.一兀一、，一,、，、c两点间的球面距离均为5，。为球心，求：(1)/AOB、/BOC的大小；(2)球心O到截面ABC的距离.“一一一一.,.兀解析：(1)如图，因为球。的半径为1,B、C两点间的球面距离为3点A与B

42、、C两点间的球面距离均为多所以/BOC=3,/AOB=/AOC=工2'(2)因为BC=1,AC=AB=V2,所以由余弦定理得cos/BAC=4,sinZBAC=,设4'截面圆的圆心为。1,连结AO1,则截面圆的半径r=AO1，由正弦定理得r=鼻耳,所以OO1=k2夸16.如图四棱锥A-BCDE中，ADL底面BCDE,ACXBC,AEXBE.(1)求证：A、B、C、D、E五点共球；(2)若/CBE=90°,CE=V3,AD=1,求B、D两点的球面距离.解析：(1)证明：取AB的中点P,连结PE,PC,PD,由题设条件知AEB、ADB>ABC都是直角三角形.fi1故

43、PE=PD=PC=2AB=PA=PB.所以A、B、C、D、E五点在同一球面上.(2)解：由题意知四边形BCDE为矩形，所以BD=CE=<3,在RtADB中，AB=2,AD=1,2./DPB=120,D、B的球面距离为-it.317.(本小题满分10分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SAL底面ABCD,E是SC上一点.(1)求证：平面EBDL平面SAC;(2)假设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离；解析：(1)二.正方形ABCD,BDXAC,又SAL平面ABCD,SAXBD,贝UBDL平面SAC,又BD?平面BED,平面BED，平面SAC.11-1(2)设ACABD=O

44、,由二垂线定理得BD±SO.AO=-AC=2V2AB=222=2,SA=4,I/Ic_cITTT11LI.则SO=,SJ+AO2r16+2=3#,SkBSD=2BDS0=22v23，2=6.设A到面BSD的距离为 h,则 Vs abd= Va bsd ,114.即3sABDSA=3SABSDh,解得h=-3，即点A到千面SBD的距曷18.(本小题满分 12分)如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AAi = 2AB =4,点 E 在 CiC 上且 CiE=3EC.(1)证明AiC,平面 BED;(2)求二面角 Ai-DE-B的大小.解析：依题设知AB = 2, CE=1,(1

45、)证明：连结 AC交BD于点F,则BDXAC.由三垂线定理知，BDXAiC.在平面AiCA内，连结 EF交AiC于点G,由于鬻=Cf=故 RtAA1ACsRtFCE, /AAiC=/CFE, / CFE 与/ FCAi 互余.于是 AiCXEF.AiC与平面BED内两条相交直线 BD、EF都垂直.所以AC平面BED.(2)作GHDE,垂足为 H,连结 AiH.由三垂线定理知AiH XDE,故/ AiHG是二面角 AiDE B的平面角.EF=、CF2+CE2 =V3,CEXCF 2CG=-=卞.EF ；3EG = ICE2-CG2 =33.EH GHg瞌境.又 AiC=AA2+AC2 =2

46、74; AiG = AiCCG =5/63 ，tan/AiHG =AiGHG5 .；5.所以二面角AiDEB的大小为arctan5/5.i9.(本小题满分i2分)如图，四棱锥SABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD=90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC，底面ABCD.(i)由SA的中点E作底面的垂线EH,试确定垂足H的位置；(2)求二面角EBCA的大小.解析：作SO,BC于O,则SO?平面SBC,又面SBC,底面ABCD,面SBCA面ABCD=BC, .SO,底面ABCD又SO?平面SAO,面SAOL底面ABCD,作EHAO,，EH，底面ABCD即H为垂足，由

47、知，EH/SO,又E为SA的中点，H是AO的中点.(2)过H作HF±BC于F,连结EF,由(i)知EHL平面ABCD,EHXBC,又EHAHF=H,，BC，平面EFH,BCXEF, /HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角.在等边三角形SBC中，.SO,BC,.O为BC中点，又BC=2. .SO=22-i2=0EH=2SO=i23,又HF=2AB=i,-32，J3,EH2 在RtEHF中，tanZHFE=HFi/HFE=arctan更2.即二面角 E BCA的大小为arcta20.(本小题满分i2分)(20i0唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,AB=i,AAi=2,N是AiD的中点，MCBBi,异面直线MN与AiA所成的角为90°.求证：点M是BBi的中点;(2)求直线MN与平面ADDiAi所成角的大小;(3)求二面角A-MN-Ai的大小.解析：(1)取AAi的中点P,连结PM,PN.N是AiD的中点，AAiXPN,又.AAiMN,MNAPN=N,AAiirnPMN.PM?面PMN,.AA1，PM,.PM/AB,点M是BBi的中点.(2)由知/