高中常见分段函数题型归纳

1、,现举例说明其求解方法分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多1.求分段函数的定义域和值域2x2x-1,0；f(x)=-2xxw(0,2);例1.求函数L3xe2,+分的定义域、值域.解析：作图，利用数形结合”易知MM的定义域为JL+"),值域为(-1，2U3.参考材料例2.求函数(CO)(工的值域.解析：

2、因为当x>0时，x2+1>1;当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是1,+8x疑,0)2.求分段函数的函数值例1.已知函数|x-1|(|x中)f(x)=1h+x2,(|x|1)求ff(2)g-1-2-金ff()=f(-=rri?解析：因为f(2)=|21|22,所以1(2)4132¥/(x)=7s3gl工例2.已知函数L-5<CO<xiT),-1).,求f联a)(a<0)的值.分析：求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0,f(a)=2a,又0<2a<1,注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段ex

3、,x<0.1练1.设9x一lnxA0.则驷(2)=V12e(x：2),f(x)=e2练2.设Ilogjx-1)(x'2).则ff(2)=3.求分段函数的最值例1.求函数4x3(x<0)f(x)=x+3(0<x<1)一x+5(x>1)的最大值.解析：当xW0时，fmax(x)=f(0)=3,当0cxW1时，fmax(x)=f(1)=4,当x>1时,x+5<1+5=4,综上有fmax(x)=4例2.设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x£R,求f(x)的最小值.分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即

4、可.=(不)2+L?+-解：当x<a时，函数f(x)=x2-x+a+12a所以若<12,则函数f(x)在(-°0,a上单调递减，从而f(x)在(-8间上的最小值为f(a尸a2+1.a>-若-/(I)=-+a则函数f(x)在(-°°,a止的最小值为-4口1与3/二X3十I一口十1=(工十一,-£1+函数./(-)=-a,则函数f(x)在a,+8止的最小值为24/(且一>-12,则函数f(x)在a,+00止的最小值为f(a)=a2+1.13a综上2时，函数f(x)的最小值是4；2时，函数f(x)的最小值是a2+1；v13ayci十-当

5、2时，函数f(x)的最小值是4,再进行大小比较，从而达到求解的目的.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值4.求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中，函数y=f(刈和y=g(刈的图象关于直线y=x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式为()A.2x 2f (x) = X Cx - 2(-1 <x<0)(0 :二 x < 2)B.2x-2 f(x_2(-1 < x<0)(0 :二 x < 2)C.f(x) =2x -2(1 <

6、x < 2)(2 :二 x < 4)D.2x -6 f(x)=t-3(1< x < 2)(2 :二 x < 4)1 -解析：当x一2,0时，y2x 1,将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得解析式为y = 3(x-2)+1-1 =2x-1,所以f(x) =2x 2(x 三1,0),当 x曰0,1时,1个单位，得解析式y=2x+1,将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移y=2(x-2)41T=2x-4,所以f(x)=行+2(x匚0，2),综上可得2x+2(-1<x<0)f(x)=«,故选A.x2(0：x三2)例2

7、.某蔬菜基地种植西红柿由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t);(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大解析：(I)由图l可得市场售价与时间的关系为300-z(0<z<200)21-300(200<1300)由图2可得种植成本与时间的函数关系为1-am班=砺"一”0)十1皿300 )。(II)设t时间的纯收益为h(t

8、),由题意得h(t)=f(t)-g(t)20011175+4(0<*200),2271025十一C200<t<300).22再求h(t)的最大值即可注：观察图1,知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。5.作分段函数的图像_11nxi例1.函数ye一|x1|的图像大致是()例2.已知函数f(x)=|x2-2x-3的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,-2x-3(工4/=卜7(T五«3),寸?-2x-3(

9、x>3)所以由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像,再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3的图象与直线y=a有且仅有3个交点,求a的值.解：f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,x"-2工*3一丁+2x+3汇3一2汗一3由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像再根据数形结合的方法求出不用写出函数解析式，更简单.6 .求分段函数得反函数例1.求函数尊> 6的反函数.解：f(x)在R上是单调减函数1. f(x)在R上有反函数y=x2+1(xw白恢函

10、数是尸(x>1),y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1),函数f(x)的反函数是5 3 (9注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可x/x/x/r/例2.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=3-1,设f(x)得反函数为y=g(x),求g(x)的表达式.解析：设x<0,则x>0,所以f(x)=3"L又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,所以f(x)=>3;因此3x-1(x0)log3(x1)(x0)f(x)=，0(x=0)g(x)=«0(x=0)1

11、一3rx<0),从而可得110g3(1-X)(X<0).例3.已知f(x)=3T。g3(x+1)(x>6)若记f'(x)为f(x)的反函数，且a-f(9)，则、.3x-6(x<6)f(a4)=.7 .判断分段函数的奇偶性例1.判断函数f (x)=x2(x -1) (x -0)2-x (x 1)(x ： 0)的奇偶性.解析：当xA0时，-x<0,f(-x)=-(-x)2(x+1)=x2(xD=f(x),当x=0时22,f(0)=f(0)=O,当x<0,-x>0,f(一x)=(-x)(-x-1)=-x(x+1)=f(x)因此，对于任意 xw R 都

12、有 f (x)= f(x),所以f(x)为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x值分类从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论.8 .判断分段函数的单调性例1.判断函数解一x3f(x)=x(x_0)-x2(x：0)的单调性.分析：由于xCR所以对于设x1>x2必须分成三类：1.当 x1>x 2>0 时贝Uf(x1)-f(x2)=*+1一(工二*1)=(x1-x2)(x1+x2)>0；2.当0>x1>x2时,则Y-(-&=g-工探/f)>o.3.当x>0>x2时，则一”一二：1'''1综上

13、所述：xCR且xi>x2时，有f(xi)-f(x2)>0。所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论解二：'2显然f(x)连续.当xn0时，f(x)=3x1*恒成立，所以f(x)是单调递增函数，当x<0时,f(x)=2x>0恒成立，f(x)也是单调递增函数，所以f(x)在R上是单调递增函数；或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.,画图知单调减区间为(一交例2.写出函数f(x)=|1+2x|*|2一7的单调减区间.-3x1(x<-3)f(x)=3x(-12；x：2)3x-1(x-2)解析：L、，9.解分段函数的方程-K(一

14、二,1例1.设函数2f(x)=10g81xx(1,二)f(x)=1,则满足方程4的x的值为小一解析：若24则2T=2：得x=2走(-号1,所以x2(舍去)，若10g81x=；则1x=814,解得x=3(1,+gc)所以x=3即为所求.例2.设函数2/f(x)=log81xx(一匚二,11f(x)=一x=(1,),则满足方程4的x的值为解析：2-x若2T则2"=2：得x=2走(*,1,所以x=2(舍去)，若log81x1x-814解得x=3e(1，+=c),所以x=3即为所求.函数f(x)=V1-x2(|x|<1)Jx|(|x|>1),如果方程f(x)=a有且只有一个实根，

15、那么a满足A.a<0B.0Wa<lC.a=1D.a>1练2:lgx-1f(x)=y设定义为R的函数P,x=1,x=0.则关于x的方程f2(x)bf(x)c=0有7个不同的实数解的充要条件是()A.b<0且c>0B.bA0且c<0练3:设函数f(x)在("，")上满足f(2-x)=f(2x)f(7-x)=f(7x)且在闭区间0万上，只有f(1)=f(3)=0(I)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(n)试求方程f(x)=°在闭区间一2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.10.解分段函数的不等式例1：设函数f(x)=2x22

16、*-1(x<0)(x>0),若“)>1,则x0得取值范围是()A.(-1,1)B.(-1，二)C.(-二，-2)一(0,二)D.(一吗一1)-(1,'二)解一：首先画出y=f(x)和y=1的大致图像，f(x0)>1时，所对应的x0的取值范围是易知(f,-1)一.(1，二)1x0解二：因为f(x0)>1,当40时，2名一1>1,解得X0<-1,当X00时，x02>1,解得*，综上x0的取值范围是(-°°,1)51,+*).故选D.2f (x)例2:设函数(x1)2(x；1)=i4，x-1(x>1),则使得f(x&q

17、uot;1的自变量x的取值范围为()A.(-：,-2 . 0,10B. S_230,1C.(-二，-2 _.1,10D. -2,031,10解析：当x <1时,f(x)(x+1)221uxW2或x之0,所以xw2或0Wx<1,当x21时，f(x)>14-71>1VxT<3x<10,所以1MxM10,综上所述，xM-2或0WxW10,故选a项.r.9.f (x)例3:设函数(x1)(x：1)(4-Jx-1(x>1),则使得f(x).的自变量x的取值范围为()A(i-230,10B.(-2u0,1C.(-231,10D.-2,031,10解析：当x<1时,f(x).u(x+1)2之1uxW2或x之0,所以xE2或0<x<1,当x±1时，f(x)之1u4vxi>1-7x13-x10,所以1Wx£10,综上所述，xE-2或0x-10,故选A项.1练1:已知f(x)t(x-0)(x<0),则不等式x+(x+2)f(x+2)-5的解集是练2:设f(x尸2ex,x：2,10