流体力学第二章基础知识b

1、主讲教师：孙 雷宗 智B3.1 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程B3.2 作用在流体微元上的力作用在流体微元上的力B3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程B3.4 纳维纳维- -斯托克斯（斯托克斯（N-SN-S）方程）方程B3.5 边界条件和初始条件边界条件和初始条件B3.6 压强场压强场B3 微分形式的基本方程B3 微分形式的基本方程微分形式的基本方程本章讨论流体力学三要素中第三要素“力”。 微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节p主要内容：微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场

2、、压强场；边界条件和初始条件等。重点：（1）不可压缩流体连续性方程； （2）纳维-斯托克斯方程； （3）压强的表达方式和单位； （4）静止和运动流体中压强分布特征。 B3.1 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 B3.1.1 流体运动的连续性流体运动的连续性 17世纪初，【英】哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多。u这么多血来自何方流向何方呢这么多血来自何方流向何方呢？ 哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。

3、直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。根据质量守恒定律，不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，称其为流体运动的连续性原理。B3.1.1 流体运动的连续性流体运动的连续性流体运动的连续性是物质质量守恒定律在流体运动中的特殊体现。血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程如图所示，设流体流过以M (x, y, z)为基点，以dx, dy, dz为边长的控制体元。在t 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为按质量守恒定律，在t时间内沿三个方向净流出控制体的总质量应等

4、于控制体内减少的质量：B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程取极限后可得利用质点导数概念，可改写为（1）（2）式均为微分形式的三维流动连续性方程。u 不可压缩流动对于不可压缩流体，由于密度恒为常数，则不可压缩流体的连续性方程为：在直角坐标系中为：B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程在柱坐标系中为:在不同条件下连续方程有不同形式： 速度散度为零意味着在空间一点邻域内流体的体积相对膨胀率恒为零，这是保证流体密度恒等于常数的运动学条件。u 可压缩流体定常流动对定常流动 ，可压缩流体定常流动的连续性方程为： 0tB3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程在

5、直角坐标系中为：思考题：思考题：连续性方程 适用于（ ），连续性方程 适用于（ ）（A）不可压缩流体；（B）不定常流体；（C）定常流体；（D）任何流体。0DDt v0uvwxyzvB3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程例题B3.1.2：不可压缩流动连续性方程（1）已知：一不可压缩平面流动的x方向速度分量为求：y方向的速度分量 v 。解：由不可压缩流动连续性方程：y方向的速度分量为：（c为常数）式中f(x)为任何仅包含x变量的函数。讨论：本例说明对不可压缩流动，任一点的速度分量不能是任意的，而是受到不可压缩流动连续性方程的约束。若设f(x)=0，该流场代表位于原点的点涡流；若 f

6、(x) =v，代表位于原点的点涡流叠加y方向速度为v的均匀流等等，他们均满足不可压缩流动条件。例题B3.1.2A：不可压缩流动连续性方程（2）已知：在收缩喷管流场中，设A1截面附近的a1点的轴向速度为 u=10.38m/s， 速度梯度为 ，a1点在a1点的上方 5mm处。求： a1点y方向的速度分量 v 。解：由不可压缩流动连续性方程：在a1点 v=0，在a1点 v=va+v, 方向如图示。1 -s86.24xu1 -s86.24xuyvyvy=5mm=0.005mm/s124. 0m005. 0s86.2486.24-1yv讨论：本例说明a1点 x方向正的速度梯度引起y方向负的速度梯度，两侧

7、质点向轴心流动。B3.2 作用在流体元上的力作用在流体元上的力B3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力p 体积力：穿越空间作用在所有流体元上的非接触力， 如:重力、惯性力、电磁力等。u 作用在流体元上的体积力(Fb)大小一般与流体元体积成正比，故名体积力。重力和惯性力正比于流体元的质量，又称质量力。u 体积力可表示为空间位置和时间的分布函数。作用在M(x, y, z)点邻域内单位质量流体元上的体积力f 为bt)z,y,(x,Ff0limB3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力u 作用在有限体积域 的流体团上的体积力合力为dbfF作用在单位体积流体元上的体积力为f 。对被考察的流体团 ，体积

8、力一般当作外力。当体积力仅为重力时，流体可称为重力流体。p 表面力：表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的接触力，如压强、粘性切应力等。 u 作用在流体元上的表面力(Fs)除了与空间位置、时间有关外，还与面积元的方位有关。作用在过M(x, y, z)点，外法线单位矢量为n的面积元A上的单位面积表面力为AtzyxAsnFp0lim),(B3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力np称为表面应力，脚标n代表面积元的方位。 u 作用在有限表面域A上的表面力合力为AAdsnpFB3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力思考题：思考题：表面应力Pn 的脚标n代表面积元 的方位， 指该面积

9、元的单位外法矢量。 Pn的方向为（ ） （A）垂直于面积元，方向与 一致；（B）垂直于面积元，方向与 相反；（C）不一定与面积元垂直。AnnnB3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力B3.2.2 重力场重力场p 重力场：在Z轴垂直向上的直角坐标系中，作用在单位质量流体之上的重力构成重力场。 g为重力加速度。重力是有势力： 设u 简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能。u 重力势梯度的负值即为单位质量流体元的重力。思考题：思考题：在重力场中设Z轴垂直向上，（1）单位体积的流体元受到的体积力大小为（ ），相应的重力势能为（ ）；（2）单位质量的流体元受到的体积力大小为（ ），相应的重力势能

10、为（ ）；（3）单位重量的流体元受到的体积力大小为（ ），相应的重力势能为（ ）。回答组合：(a) -g, gz; (b) -1, z; (c) -g,gz.（A）(1)a;(2)c;(3)b； （B）(1)c;(2)a;(3)b；（C）(1)b;(2)c;(3)a。B3.2.2 重力场重力场在静止流体中没有切向应力 ，只有法向应力，静止流体中的表面应力始终与作用面垂直。在静止流体中一点的法向应力在各个方向均相等。B3.2.3 流体应力场流体应力场p 静止流体中的应力状态)0(yzxzxy)(pppppnnzzyyxx称p为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示流体只受压。运动的无粘性流体中

11、也没有切向应力，应力状态与静止流体相似。思考题：思考题： 如下图，一圆柱可绕轴心转动，左半圆浸没于水中，右半圆暴露于空气中。判断下面的说法是否正确：由于左半圆受到水的浮力产生力矩使圆柱做顺时针转动。 （A）这种说法是正确的；（B）这种说法是错误的。B3.2.3 流体应力场流体应力场所有的表面应力均垂直于圆柱面，因此都通过轴心，无力矩。p 运动流体的应力状态：B3.2.3 流体应力场流体应力场在运动粘性流体中,一点的表面应力与作用面不垂直，即有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面的方位有关，称其为应力状态 。一点的应力状态可用通过该点三个互相垂直的面积之上三组表面应力分量完全确定。如

12、外法矢沿x轴正向的面积元 dAx 上一组应力分量为pxx (x法向) xy (y切向) xz (x切向)上式中表面应力分量的第一个脚标代表面积元的方位（即外法矢的指向），第二个脚标代表表面应力作用方向，称为应力表示约定。B3.2.3 流体应力场流体应力场同另外两个正交面积元上的两组应力分量共九个分量构成应力矩阵（张量）可以证明九个分量中只有六个是独立的 通常约定，当法向应力与外法矢n方向一致时为正（被作用的流体元受拉伸），方向相反时为负（被作用的流体元受压缩）。p 应力矩阵的常用表达式： 运动的可压缩粘性流体各方面的法向压应力可以不相等，引入平均压强 ，并认为它也等于热力学中的平衡压强，简称为

13、压强 p 。pB3.2.3 流体应力场流体应力场xxxyyyzzzpppppp 把压强从法向应力中分离出来 式中x，y，z 是运动粘性流体偏离平均压强的附加法向应力，与流体元线应变率有关。B3.2.3 流体应力场流体应力场000000 xxyxzyxyyzzxzyzpppp应力矩阵可写成：上式右边第一项称为静压强项；第二项称为“偏应力”项，由流体运动产生（静止时为零）。B3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程p 微分形式的动量方程（流体运动微分方程） 用牛顿第二定律描述流体运动，可得在直角坐标系中微分形式的动量方程如下：()()()xyxxxzxyxyyyzyzyzxzzzpuuuuuv

14、wftxyzxyzpvvvvuvwftxyzxyzpwwwwuvwftxyzxyz上式表明：单位体积流体元上的体积力及三个方向的表面应力梯度造成了单位体积流体元的加速度。如下图所示，在正方体微元三组平面上x方向的表面应力梯度构成表面应力合力。()xyxxxzxpuuuuuvwftxyzxyzB3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程流体运动微分方程适用于任何流体，对不同类型的流体将具有不同的形式。 B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 p 不可压缩牛顿流体本构关系 对于不可压缩牛顿粘性流体，将牛顿粘性定律从一维推广到三维，法向应力和切向应力分别与线应变率和角变形率成线

15、性关系（Stokes假设）。222xxyyzzuppxvppywppz ()()()xyyxxzzxyzzyvuxyuwzxwvyzp N-S方程将不可压缩牛顿流体的本构关系代入直角坐标系中微分形式的动量方程可得：B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程222222222222222222()()()()()()xyzuuuupuuuuvwftxyzxxyzvvvvpvvvuvwftxyzyxyzwwwwpwwwuvwftxyzzxyz上式称为均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程，习惯上简称为N-S方程。 B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程N-S方

16、程是本课程中占主导地位的控制方程，在不同条件下，对不同流体模型可化为不同形式。N-S方程加上连续性方程构成封闭的方程组，可在适当的边界条件和初始条件下求解。2DvfpvDt 矢量形式思考题：思考题：（A）体积力压强粘性应力； （B）体积力压强梯度粘性应力；（C）体积力压强梯度粘性应力散度。B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程N-S方程是牛顿第二定律应用于牛顿粘性流体流动中的表达式。由N-S方程可看到，引起单位体积流体元加速度的作用力是：压强和粘性应力是表面力，当它们作用在流体元某一方向上处于平衡状态时不引起该方向的加速度。只有存在梯度（粘性应力在各个方向上的作用合力是粘性

17、应力的散度）时才引起加速度。u 内流问题：出入口的速度和压强分布已知 （一般由实验测得）u 外流问题：无穷远处的速度和压强分布已知。u 两种流体交界面：界面上的速度、压强和粘性切应力应连续。p 边界条件u 固体边界粘性流体：必须满足固壁面不滑移条件（或速度连续条件）无粘流体：无需满足不滑移条件，但法向速度仍应连续。B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件两种流体交界面应满足的边界条件为：212121，ppvvp 初始条件 对定常流动，无初始条件； 对于非定常流动应知道初始时刻的速度和压强分布。B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件思考题：思考题：（A）u=常数； （B）p=常数；

18、（C） 。河水在重力作用下沿斜坡向下流动，水深为 h，液面上是大气，在用N-S方程求解速度分布 u(y)时，液面上的运动学边界条件可取为：B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件0yu212121，ppvv已知：牛顿流体（ ）在重力作用下沿斜坡（倾角为 ）做定常层流流动。液面上方为大气压（ ）。流层深h，设图中坐标系中速度、体积力、压强分别为：解：平面流动的N-S方程为：/0gp)2()()() 1 ()()(22222222yvxvypfyvvxvutvyuxuxpfyuvxuutuyx例题B3.5.1：沿斜坡的定常层流：N-S方程与边界条件求：验证是否满足N-S方程及边界条件。222

19、2110 ,sin() ,sinuuuuughygtxyxy 0 ,0 ,sinppvgxy 1sin0sinsin -sin0gggg （）-coscos00gg例题B3.5.1：沿斜坡的定常层流：N-S方程与边界条件本例中(1)式左边0 右边(2)式左边0 右边满足N-S方程。在斜坡上，y=0, u=0 在液面上，y=h,压强0yu满足不滑移条件。满足切应力为零。cos)(yhgp|y=h=0 为大气压强，满足边界条件。B3.6 压强场压强场 压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力都与压强有关，龙卷风产生强大的负压强作用，液压泵和压缩机推动流

20、体做功是正压强作用的结果。 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布p 均质流体压强一般表达式 静止流体中无惯性力和粘性力，体积力为重力，由N-S方程可得前两式表明p与x y无关，对均质流体（ =常数），由第三式积分可得：上式表明静止流体中的压强沿垂直坐标为线性分布，常数c由边界条件决定。公式 常用来表示具有自由液面的液体内的压强分布。p 均质液体压强公式 静止液体中的压强分布示意图B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布pgzc 设自由液面的坐标为z0 ，压强为p0，可得：在工程上通常用自由液面下的深度（称为淹深）h=z0-z, 表示一点的垂直位置

21、(右图)，则上式可改写为上式称为匀质静止液体中的压强公式，它表明在垂直方向，压强与淹深成线性关系；在水平方向（h=常数），压强为常数，水平面是等压强面，简称等压面。思考题：思考题： 如下图所示的一U形管，管内有两种液体处于平衡状态，试指出图中所画断面中的等压面（ ）（A）1-1面；（B）2-2面；（C）3-3面。B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布判断等压面的条件是：连通的同种流体。例题B3.6.1： 静压强分布图已知：静止液体的自由表面上方为大气压强。求：定性的画出液体中斜面和曲面上的压强分布。解：B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式与单位p 压强计示方式

22、压强公式 可作为压强计算的基础，其中 为基准压强。 ghpp00p 两个基准：绝对真空（ ）和当地大气压（ ） 三种计示方式：u绝对压强（ ）：相对于绝对真空计量之值（ ），标注为（ab）u表压强（ ）：相对于当地大气压计量之值（当低于 时为负），标注为（g）u真空度（ ）：当表压强为负时，取其绝对值（ ），标注为（v）0papabp0abpgpapvp0vp约定：除特别说明外，压强均以表压强计算。 思考题：思考题： pab, pg, pv分别表示绝对压强、表压强和真空度， pa表示大气压强。试判断下列表达式哪个是对的：（A） ；（B） ；（C） 。B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式

23、与单位vaabpppaabgpppgavpppp 压强单位 B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式与单位u 国际单位制（SI）：帕斯卡（Pa）， 1 Pa = 1 N/m2 , 1 kPa = 103 N/m2 , 1 MPa = 106 N/m2 u 物理单位制（cgs）：毫米汞柱（mmHg）单位制例题B3.6.2： 单管与U形管测压计已知：一封闭容器中充满密度为的液体。求： 用单管和U形管测压计测量内壁面上任一点A的压强 。 解：在A点处壁面上开一小孔，接液柱式测压计。(1) 若 pA 0，接单管测压计，如图。液体在压力作用下上升至h高度，液面上为大气，按下式pA = pa +gh（

24、绝）=gh（表）h=pA /g（m）(a)称h为A点的测压管高度。还可以表示为能量形式：gh=pA /gh表示重力势能，pA /称为压强势能。(b)例题B3.6.2： 单管与U形管测压计 (2) 若 pA 0，接U型管测压计，如图。U形管内有一段重液体（如汞）密度为，设其液面差为h，A点离左支管液面距离为h1 。pA +gh1+mg h= 0U形管测压计也适用于测量气体压强。1 1由等压面1-1列压强平衡方程：pA =-gh1-mg h 0用被测液体的测压管高度表示hhgphAm1U形管液面差折合成测压管高度例题B3.6.2A： U形管压差计已知：二个封闭容器A,B中分别充满密度为的流体（气体

25、或液体）。求：用U形管测量A,B两点的压强差p=pA-pA解：将U形管两支接到A,B两点，U形管内有一段重液体，密度为 m，液体差为h。取0-0线为基准面，A,B的位置为zA, zB。p A+ g(zA + h )= pB + gzB + mg hp = pA-pB = g ( zB- zA) + ( m- )g h用被测流体的测压管高度表示：由等压面1-1列压强平衡方程：hzzgpgpgphmABBA) 1()(U形管液面压强差位置差 例题B3.6.2B： 压强计示与单位已知：设水泵吸水管的绝对压强为p = 8 N/cm2，大气压强为pa=1.013105 Pa 。试用：国际单位制表示其绝对

26、压强、表压强、真空压强和真空度。 解：pv = - pg = 2.1310 4 Pa = 21.3 kPa pab = 810 4 N/m 2 (Pa) = 80 kPa或表示为p = 80 kPa (ab)p = pg = pab-pa = (810 4-1.01310 5 ) Pa = -2.1310 4 Pa = -21.3 kPa或p =2.1310 4 Pa/1.01310 5 Pa = 21% (v)绝对压强表压强真空压强真空度p =21.3 kPa (v)B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布运动流体中，影响压强分布的因素除体积力外，还有惯性力和粘性力等。p 例一

27、：圆柱绕流 惯性力和粘性力的影响 设流体对圆柱作定常平面绕流，圆柱表面的压强分布在无粘性流体和粘性流体中有不同的概念，设压强系数为020/2pppCv式中p为圆柱面上压强，p0，v0 为无穷远处压强和速度。图b为粘性流体绕流时（Re=105），由于边界层分离在圆柱后部形成尾流区（见动画），前后压强分布不对称，作用在圆柱上的压强合力不为零，形成压差阻力。 图a为无粘性流体绕流的压强系数分布图，为前后对称分布；B、D点是最大正压强点（驻点），C、E点是最大负压强点，作用在圆柱上的压强合力为零（达朗贝尔佯谬）。B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布机翼上下表面压强分布示意图，下表面以

28、正压强为主，上表面以负压强为主，压强合力形成升力。 NACA标准翼型（2412）在攻角分别为7.4度和2.8度时的压强系数分布图，可见主要以上表面负压强为主。 p 例二：机翼绕流 B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布在风洞里沿轿车中剖面测量的压强系数分布图，可见除迎风面为正压强外，其他部位大多是负压强。p 例三：汽车绕流 B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布普通型轿车在车速很高时将产生升力，使轮胎与地面咬合力减小，造成驱动效率降低，稳定性差。为了克服这些缺点，可采取如下改进措施： （A）增加轮胎的表面粗糙度；（B）改变车身形线，使高速时升力减少；（C）在轿车车身上安装产生负升力的辅助装置。B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布思考题：思考题： 答案：b,c。目前流行的楔形车身在高速运动时不仅不产生升力