附送南理工本校自控chapter

1、第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数2-3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数2-4 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图第二章 控制系统的数学模型数学模型数学模型v 控制系统的控制系统的数学模型数学模型是描述系统内部各物理量是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式。（或变量）之间关系的数学表达式。v 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态数学模型和动态数学模型。（静态模型是数学模型和动态数学模型。（静态模型是t 时时系统的动态模型。

2、）系统的动态模型。）v 建立控制系统数学模型的方法：分析法和实验法。建立控制系统数学模型的方法：分析法和实验法。v 数学模型的形式数学模型的形式时间域：微分方程、差分方程、时间域：微分方程、差分方程、 状态方程状态方程复数域：传递函数、结构图复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性频率域：频率特性第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v 根据系统运动机理建立系统数学模型的基本步骤：根据系统运动机理建立系统数学模型的基本步骤： 确定系统中各元件的输入输出物理量；确定系统中各元件的输入输出物理量； 根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的根据物理定律或化学定律（机

3、理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素并原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素并适当简化；适当简化； 确定原始方程中中间变量与其他因素的关系；确定原始方程中中间变量与其他因素的关系； 消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。v 数学模型的标准形式：与输入量有关的项写在方数学模型的标准形式：与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量按降幂排列。方程两端变量按降幂排列。 第二章 控制系统的数学模型传递函数传递函数v 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性控制系

4、统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型。能的数学模型。v 用拉普拉斯（用拉普拉斯（Laplace）变换求解线性系统的微）变换求解线性系统的微分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模型型传递函数。传递函数。v 传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。影响。v 传递函数是经典控制理论中最基本和最要的概念。传递函数是经典控制理论中最基本和最要的概念。第二章 控制系统的数学模型传递函数的定义传递函数的定义v 线性定常

5、系统的线性定常系统的传递函数传递函数，定义为零初始条件，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。换之比。 三要素三要素线性定常系统线性定常系统零初始条件零初始条件输出与输入的拉氏变换之比输出与输入的拉氏变换之比零初始条件的含义零初始条件的含义输入量及其各阶导数在输入量及其各阶导数在t =0时刻均为时刻均为0；输出量及其各阶导数在输出量及其各阶导数在t =0时刻均为时刻均为0。第二章 控制系统的数学模型线性系统的基本特性线性系统的基本特性v 线性系统的重要性质：线性系统的重要性质：叠加原理叠加原理，包含可叠加性，包含可叠加性和齐次性

6、。和齐次性。 可叠加性：可叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；出之和； 齐次性：齐次性：外作用的数值增大若干倍，其输出亦相外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。应增大同样的倍数。 由此，在对线性系统进行分析和设计时，将外作由此，在对线性系统进行分析和设计时，将外作用分解成各种典型输入信号的组合，分别求出相用分解成各种典型输入信号的组合，分别求出相应的输出响应后进行叠加以获得系统的整体输出。应的输出响应后进行叠加以获得系统的整体输出。第二章 控制系统的数学

7、模型例例1 1 电学系统电学系统RLC无源网络无源网络解：系统微分方程解：系统微分方程)()(d)(dd)(d00202tututtuRCttuLCi11)()(20RCsLCssUsUi系统传递函数（零初始条件下拉氏变换）系统传递函数（零初始条件下拉氏变换）第二章 控制系统的数学模型例例2 2 机械力学系统机械力学系统弹簧弹簧-质量质量-阻尼器机械位移系统阻尼器机械位移系统其中：其中：f 是阻尼系数是阻尼系数 K 是弹簧系数是弹簧系数解：系统微分方程解：系统微分方程 系统传递函数（零初始条件下拉氏变换）系统传递函数（零初始条件下拉氏变换）)()(d)(dd)(d22tFtKxttxfttxm

8、KfsmssFsX21)()(第二章 控制系统的数学模型nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(njjmiinmpszsKpspspsazszszsb11210210)()()()()()(传递函数的形式传递函数的形式) 1() 12)(1() 1() 12)(1(2222122221sTsTsTsTassssbjnim零点零点极点极点根轨迹增益根轨迹增益K = bm /an 增益；增益； i、Tj 时间常数。时间常数。第二章 控制系统的数学模型传递函数的性质传递函数的性质v传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变传递函数概念仅适用于线性定常系统，

9、具有复变函数的所有性质；函数的所有性质；v传递函数是复变量传递函数是复变量 s 的有理真分式，即的有理真分式，即 nm；v由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是均为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数；成对的共轭复数；注：一般在复数平面上的零极点分布图中，用注：一般在复数平面上的零极点分布图中，用“o”表表示零点，用示零点，用“”表示极点。表示极点。nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(第二章 控制系统的数学模型传递函数的性质传递函数的性质v传递

10、函数只取决于系统或元件的结构和参数，与传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关；输入量的形式无关；v传递函数与微分方程有相通性；传递函数与微分方程有相通性；注：在零初始条件下，微分方程的算符注：在零初始条件下，微分方程的算符 d/dt 和传递函和传递函数多项式中的复数数多项式中的复数 s 可以相互置换。可以相互置换。v传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；v传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系。传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系。第二章 控制系统的数学模型传递函数列写的大致步骤传递函数列写的大致步骤v方法一：方法一：列写系统中各元件

11、的微分方程列写系统中各元件的微分方程 消去中间变量消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比求输出与输入拉氏变换之比v方法二：方法二：列写系统中各元件的微分方程列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换在零初始条件下求拉氏变换 整理变换后的方程组，消去中间变量整理变换后的方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式整理成传递函数的形式第二章 控制系统的数学模型2-2 典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数pppKRRsUsUsG)()()(12v 电位器：是一种把线位移或角位移变换为电压量电位器：是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置。

12、的装置。 线位移线位移ppRRtutu)()(12第二章 控制系统的数学模型角位移角位移其中：其中： E 电位器电源电压；电位器电源电压； max 电位器最大工作角。电位器最大工作角。pKEssUsGmax)()()(pKEttumax)()(第二章 控制系统的数学模型角位移角位移pKssUsG)()()(一对相同的电位器可以组成误差检测器。一对相同的电位器可以组成误差检测器。 )()()()()()(2121tKttKtututupp第二章 控制系统的数学模型直流电动机直流电动机)()(d)(dtuKtttTammmm1)()(sTKsUsmmam)(d)(dd)(d22tuKttttTam

13、mmm) 1()()(sTsKsUsmmam第二章 控制系统的数学模型放大器放大器aaKRRsUsUsG01)()()(01)()(RtuRtua减速器减速器iZZssmc1)()(21第二章 控制系统的数学模型测速发电机测速发电机ttKtKtutttd)(d)()(ttKssU)()(sKssUtt)()(第二章 控制系统的数学模型位置随动系统原理图位置随动系统原理图第二章 控制系统的数学模型无源网络无源网络1111)()(111111sCRsCRsCsUsUi)()(d)(d1111tututtuCRi第二章 控制系统的数学模型无源网络无源网络1)(1)()(22211122121sCRC

14、RCRsCCRRsUsUic) 1)(1()()(2211sCRsCRKsUsUic第二章 控制系统的数学模型有源网络有源网络sCRsCRsUsUrc10111)()()(d)(dd)(d1110tuttuCRttuCRrrc第二章 控制系统的数学模型2-3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数dlekkkklbicjjjjisTsTsTssssKsG 1122 1122) 12() 1() 12() 1()(v 环节：环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。组或元件的一部分称为一个环节。v 系统传递函数可写为：系统传递函

15、数可写为：传递函数表达式中包含以下六种不同的因子：传递函数表达式中包含以下六种不同的因子：121 ,11 ,1 , 12 , 1 ,2222TssTTsssssK第二章 控制系统的数学模型v比例环节比例环节v一阶微分环节一阶微分环节v二阶微分环节二阶微分环节v积分环节积分环节v惯性环节惯性环节v二阶振荡环节二阶振荡环节各典型环节名称各典型环节名称K1s1222sss111Ts12122TssT第二章 控制系统的数学模型各典型环节名称各典型环节名称v延迟环节延迟环节惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节与延迟环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅

16、由于惯性输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；性输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始后在延迟环节从输入开始后在0 时间内没有输出，时间内没有输出，但但 t =之后，输出完全等于输入。之后，输出完全等于输入。se第二章 控制系统的数学模型2-4 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图 控制系统的结构图与信号流图是系统数学模型控制系统的结构图与信号流图是系统数学模型的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件间的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。换过程。第二

17、章 控制系统的数学模型1、系统结构图的组成系统结构图的组成v特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。确。第二章 控制系统的数学模型1、系统结构图的组成系统结构图的组成v信号线信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。在直线旁标记信号的时间函数或象函数。v引出点引出点（或测量点）：表示信号引出或测量的位（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。全相同。第二章 控制系统的数学模型1、系统结构

18、图的组成系统结构图的组成v比较点比较点（综合点、相加点）：表示两个以上的信（综合点、相加点）：表示两个以上的信号进行加减运算。号进行加减运算。v方框方框（或环节）：表示对信号进行的数学变换，（或环节）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。方框中写入元部件或系统的传递函数。)()()(sUsGsC第二章 控制系统的数学模型2、系统结构图的绘制系统结构图的绘制v 建立步骤建立步骤列出各环节（元件）的传递函数；列出各环节（元件）的传递函数；根据各环节之间的信号流向，用图的形式连接起根据各环节之间的信号流向，用图的形式连接起来。来。例例1 1 无源网络无源网络第二章 控制系统的

19、数学模型2)()(RsIsUo)()()(21sIsIsI111)()(RsUsICssUsI)()(12)()()(1sUsUsUoi例例1 1 无源网络无源网络第二章 控制系统的数学模型例例1 1 无源网络无源网络将上面各元部件的结构图进行综合将上面各元部件的结构图进行综合第二章 控制系统的数学模型例例2 2 电压测量装置电压测量装置第二章 控制系统的数学模型例例2 2 电压测量装置电压测量装置比较电路比较电路)()()(21sEsEsE)()(sEsU)()(sUKsUAa 调制器调制器 放大器放大器第二章 控制系统的数学模型例例2 2 电压测量装置电压测量装置两相伺服电机两相伺服电机s

20、mmMssCM)()(sUCMaMs)()(2ssfssJMmmmmmsCfsJCsUsmmmam)()()(2) 1(sTsKmm第二章 控制系统的数学模型例例2 2 电压测量装置电压测量装置绳轮传递绳轮传递测量电位计测量电位计)()(srsLm)()(12sLKsE第二章 控制系统的数学模型例例2 2 电压测量装置电压测量装置将上面各环节（元件）综合将上面各环节（元件）综合第二章 控制系统的数学模型3、结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化v方框图的基本连接方法只有三种：方框图的基本连接方法只有三种：串联串联、并联并联、反馈反馈。v由方框图求系统传递函数的由方框图求系统传递函数的基本

21、思路基本思路：利用等效：利用等效变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。变换成可以运算的简单回路。v简化原则：简化原则：变换前后变量关系保持等效。变换前后变量关系保持等效。v注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。第二章 控制系统的数学模型3、结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化（1）串联连接）串联连接 （2）并联连接）并联连接第二章 控制系统的数学模型3、结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化（3）反馈连接）反馈连接 （4）比较点合并）比较点合并第二章 控制

22、系统的数学模型3、结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化（5）比较点前移）比较点前移 （6）比较点后移）比较点后移第二章 控制系统的数学模型3、结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化（7）引出点前移）引出点前移 （8）引出点后移）引出点后移第二章 控制系统的数学模型例例sCRsCRsCRsUsUrc212211) 1)(1(1)()(第二章 控制系统的数学模型4、信号流图和梅逊增益公式信号流图和梅逊增益公式v信号流图起源于梅逊（信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点节点和和支路支

23、路组成的一种信号传递网络。组成的一种信号传递网络。节点节点：表示方程式中的变量或信号，是所有进入：表示方程式中的变量或信号，是所有进入该节点的信号的代数和，用该节点的信号的代数和，用“ ”表示。表示。支路支路：连接两个节点的定向线段，信号在支路上：连接两个节点的定向线段，信号在支路上沿箭头单向传递。沿箭头单向传递。支路增益支路增益：表示方程式中两个变量的因果关系。：表示方程式中两个变量的因果关系。第二章 控制系统的数学模型名词术语名词术语源节点源节点（输入节点）：只有输出没有输入，一般（输入节点）：只有输出没有输入，一般代表系统的输入变量。代表系统的输入变量。阱节点阱节点（输出节点）：只有输入

24、没有输出，一般（输出节点）：只有输入没有输出，一般代表系统的输出变量。代表系统的输出变量。混合节点混合节点：既有输入又有输出的节点。：既有输入又有输出的节点。第二章 控制系统的数学模型名词术语名词术语 前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点的传递中，：信号从输入节点到输出节点的传递中，每个节点只通过一次的通路。每个节点只通过一次的通路。 前向通路总增益前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘积，：前向通路上各支路增益的乘积，一般用一般用pk表示。表示。 回路回路：起点与终点在同一节点，且信号通过每一：起点与终点在同一节点，且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。节点不多于一次的闭合通路。

25、回路增益回路增益：回路中所有支路增益的乘积，用：回路中所有支路增益的乘积，用La表表示。示。 不接触回路不接触回路：回路之间没有公共节点。：回路之间没有公共节点。第二章 控制系统的数学模型梅逊增益公式梅逊增益公式nkkkpP1P 系统总传递函数；系统总传递函数；n 前向通路总数；前向通路总数；pk第第k条前向通路的传递函数条前向通路的传递函数（通路增益）；（通路增益）；流图特征式；流图特征式；第二章 控制系统的数学模型 La所有不同回路的传递函数之和；所有不同回路的传递函数之和； Lb Lc 每两个互不接触回路传递函数乘积之和；每两个互不接触回路传递函数乘积之和； Ld Le Lf 每三个互不接触回路传递函数乘积之每三个互不接触回路传递函数乘积之和；和；k 与第与第k条前向通路对应的余因子式，等于流图条前向通路对应的余因子式，等于流图特征式中去掉与第特征式中去掉与第k条前向通路接触的所有回路的条前向通路接触的所有回路的回路增益后的余项式。回路增益后的余