抛物线的简单几何性质-高中数学（课堂PPT）

1、1第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质xyo2准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形xyoFy2=2px(p0)x2=2py(p0)x2= -2py(p0)xyoFxyoFxyoFy2= -2px(p0)），（02P ），（02P ），（2P0 ），（2P0 2Px 2Px2Py 2Py3?,哪哪些些几几何何性性质质认认为为可可以以讨讨论论抛抛物物线线的的你你何何性性质质类类比比椭椭圆圆、双双曲曲线线的的几几思思考考 .102.2性质研究它的一些简单几何的标准方程我们根据抛物线抛物线有许多重要性质ppxy4范围范围1对称性对称性2 .,| ,;,上上方方和

2、和右右下下方方无无限限延延伸伸这这说说明明抛抛物物线线向向右右也也增增大大值值增增大大时时当当轴轴正正向向相相同同开开口口方方向向与与轴轴的的右右侧侧所所以以这这条条抛抛物物线线在在上上的的点点对对于于抛抛物物线线可可知知由由方方程程因因为为yxxyxyxMp0110 做做叫叫我们把抛物线的对称轴我们把抛物线的对称轴轴对称轴对称关于关于所以这条抛物线所以这条抛物线不变不变方程方程代代以以.,xyy1 .抛物线的轴抛物线的轴 1022ppxy5顶点顶点3的顶点的顶点 .,.的的顶顶点点就就是是坐坐标标原原点点因因此此抛抛物物线线时时当当中中在在方方程程叫叫做做抛抛物物线线和和它它的的轴轴的的交交

3、点点1001 xy抛物线抛物线离心率离心率4抛物线的离心抛物线的离心.,.,1 eeM由由定定义义可可知知表表示示用用叫叫做做准准线线的的距距离离的的比比到到焦焦点点的的距距离离和和它它到到抛抛物物线线上上的的点点率率1022ppxy6对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标范范 围围图图 形形xyoFx0( 0 , 0 )y=0( 0 , 0 )y=0y0 x=0y0( 0 , 0 )xyoFxyoFxyoFx0( 0 , 0 )x=07.,22, 2,1求它的标准方程并且经过点原点它的顶点在坐标轴对称已知抛物线关于例Mx .,022222 ppxyMx程为可设它的标准方所以并且经过点它的顶点在原点轴对

4、称因为抛物线关于解 .,222222 ppM即所以在抛物线上因为点.,xy42 是所求抛物线的标准方程因此 .?,准准方方程程求求出出它它们们的的标标的的抛抛物物线线有有几几条条过过点点并并且且经经对对称称轴轴是是坐坐标标轴轴顶顶点点在在坐坐标标原原点点思思考考222 M8.,4122的长段求线两点且与抛物线相交于的焦点经过抛物线的直线斜率为例ABBAFxyl;,的方程的方程线线所以可以求出直所以可以求出直的斜率为的斜率为又直线又直线坐标坐标到它的焦点到它的焦点由抛物线的方程可以得由抛物线的方程可以得分析分析ll1可以求出可以求出与抛物线的方程联立与抛物线的方程联立,;, 两点的坐标两点的坐标

5、BA式式公公离离距距间间的的两两点点用用利利. | AB可以求出可以求出但但这种方法虽然思路简单这种方法虽然思路简单,.是需要复杂的代数运算是需要复杂的代数运算9.,数形结合的方法数形结合的方法我们介绍另外一种方法我们介绍另外一种方法下面下面AABBFOxy432 .图图 .| ,.,.AAlAAFyxByxA的距离的距离到准线到准线等于点等于点知知由抛物线定义可由抛物线定义可设设中中在图在图2211432 ,|AdAA 设设. 1|, 111xdAAAFxdAA于是而,| ,12 xdBBBFB同同理理. 2|21xxBFAFAB于是得. |,ABxxBA就就可可以以求求出出的的横横坐坐标标

6、之之和和只只要要求求点点由由此此可可见见21 10AABBFOxy432 .图图 .:,101122 xlFpp准线焦点由题意可知解如 .,.BAddlBAyxByxA的距离分别为到准线设图2211432 .| ,|1121 xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知.|221 xxBFAFAB于是 1101., xyABF方程为的所以直线为由已知得抛物线的焦点11 .,xxxy412122 得代入将AABBFOxy432 .图图. 0162 xx化简得.|,822232232121 xxABxx于是由求根公式得 621 xx或由韦达定理得.,8的长是线段所以AB1213xyollll复位相离相切

7、相交相交14 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k。当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点。例 3 xyoP解：由题意， 直线l的方程为y=kx+2k+1y=kx+(2k+1)y2=4x由方程组()15xyoP可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 ()(1)当k=0时，由方程()，得y=1把y=1代入y2=4x , 得41x这时，直线l与抛物线只有一个公共点 (1/4 , 1 )(2)当k0时，方程()的判别式为=-16(2k2+k-1)16下面分三种情况讨论。 由 =0，即2k2+k-1=0 解得k=-1或k=1/2于是，当k=-1或k=1/2时，方程()只有一个解，从而方程组()只有一个解，这时，直线l与抛物线只有一个公共点17由0,即 2k2 + k -10 解得 -1k1/2于是,当-1k1/2 ,且k0时,方程()有2个解从而方程组()有2个解.这时,直线l与抛物线有2个公共点.18由0 解得 k1/2于是,当k1/2时,方程() 没有实数解,从而方程组() 没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点.19综上可得:当k=-1或k=1/2或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点当-1k1/2 ,且k0时直线l与抛物线有2