哈工大《现代控制理论基础》第九章线性定常系统的状态空间综合法

1、1第九章第九章 线性定常系统的状态空间综合法线性定常系统的状态空间综合法n9.1 线性反馈控制系统的结构分析 n9.2 线性系统的极点配置、状态反馈和输出反馈 n9.3 系统镇定问题 n9.4 线性系统的状态观测器 n9.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统 n9.6 线性系统的解耦 目目 录录2控制系统的分析控制系统的分析控制系统的综合控制系统的综合控制系统研究的两大课题控制系统研究的两大课题系统响应分析系统结构分析状态空状态空 间描述间描述控制系统 的设计反馈的思想状态反馈输出反馈动态补偿观测器设计解耦设计能控性能观性稳定性39.1 线性反馈控制系统的结构分析线性反馈控制系统的结构分析受控

2、对象反馈控制器闭环控制系统闭环控制系统4一一. 状态反馈的结构状态反馈的结构xAxBuyCxDu受控对象：若 ，D0则受控系统为：xAxBuyCx简记为：0,A B C5上式中：nRxrRumRyAn n矩阵Bn r矩阵Cm n矩阵Dm r矩阵6取线性状态反馈控制律uKxv其中：v1r维参考输入Krn维状态反馈增益矩阵对于单输入系统，K1 n为 维的行向量闭环系统()()xAxBuAxB KxvyCxDuCxD Kxv7()()xABK xBvyCDK xDv()()xAxB KxvAxBKxBvyCxD KxvCxDKxDv即8若 ，D0则闭环系统写为()xABK xBvyCx简记为：,KA

3、BK B C9ABCDK+vxuy状态反馈闭环系统的结构图10闭环系统的传递函数为：1( ) ssKWCIABKB可见，状态反馈矩阵 的引入，并不增加系统的维数，K但可以通过选择不同的 ，来自由地改变系统的特征K值，从而使系统获得所要求的性能。11二二. 输出反馈的结构输出反馈的结构输出反馈是经典控制理论所讨论的重点。受控对象：xAxBuyCxDu或xAxBuyCx取输出线性反馈控制律uHyv12其中：v1r维参考输入Hrm维输出反馈增益矩阵对于单输出系统，H1r为 维的列向量 将系统的输出方程代入到输出反馈控制律表达式中，得：H CxDuvHCxHDuvuHyv13整理得 1uIHDHCxv

4、代入开环系统 中，有：xAxBuyCxDu 1xAxB IHDHCxv11AB IHDHC xB IHDv 1yCxD IHDHCxv11CD IHDHC xD IHDv14若 ，D0则闭环系统写为xABHC xBvyCx简记为：,HABHC B C 可以选择输出反馈增益矩阵 ，也可以改变闭环系统的特征值，从而改变闭环系统的性能。H15ABCDH+vxuy输出反馈闭环系统的结构图16输出反馈系统的传递函数矩阵为：1( ) ssHWCIABHCB17状态反馈与输出反馈的比较状态反馈与输出反馈的比较1( ) ssKWCIABKB1( ) ssHWCIABHCB输出反馈中的 相当于状态反馈中的 ；H

5、CK由于 ，所以 可供选择的自由度小于 ；mnHK一般情况下，输出反馈相当于部分状态反馈，只有当 时，输出反馈才等价于全状态反馈；CI状态反馈效果较好，输出反馈技术实现较容易。18三三. 动态补偿器的结构动态补偿器的结构状态反馈状态反馈和和输出反馈输出反馈的的共同特点共同特点是：是：不增加新的状态变量，开环与闭环同维数；反馈增益矩阵均为常数矩阵；反馈结构为线性反馈。 在更加复杂的情况下，常常需要引入一个动态子系统来改善系统的性能。这种动态子系统称为动态补动态补偿器偿器。19动态补偿器与受控系统的连接方式分为：串联连接0,A B Cdddd,A B C-反馈连接0,A B Cffff,A B C

6、-20输出反馈动态补偿器的输出反馈动态补偿器形式为：被控系统xAxBuyCx（1）zRzSyTvuLzMyNv（2）zq维动态补偿器的状态向量q动态补偿器的阶次21vr维外部参考输入特别地，当 时，输出反馈动态补偿器就变成0q 静态输出反馈控制律。带有输出反馈动态补偿器的闭环系统结构如下图：22ACBRSL+NT+Myuxz+v带有输出反馈动态补偿器的闭环系统结构图23引入增广状态向量e xxzxAxBuAxB LzMyNvAxBLzBMCxBNvABMC xBLzBNv24zRzSyTvSCxRzTv增广系统的状态空间表达式为xABMC xBLzBNvzSCxRzTv即 xABMCBLxBN

7、vzSCRzT25eeeeeexA xB vyC x其中eABMCBLASCReBNBTeCC0进一步写为26定理定理1 被控系统（1）在动态补偿器（2）控制下等价于增广系统eeeeexA xB uyC x受输出静态反馈eeuKyGv的控制作用。其中e xxze2uuue2yyy272u2y 、 均为 维列向量q A0A00q B0B0Iq C0C0ITGNSRKML28证明证明根据增广系统和增广输出静态反馈控制律的定义，可得：e2q B0uxA0 xx0Iuz00z22BuAxBuAxuu029e22uySRTuvuyMLN22SyRyTvMyLyNv22SyRyTvMyLyNv30故2xA

8、xB SyRyTv2zMyLyNv又因为ee2q C0yxCxyC x0Iyzz31故yCx2yz则xAxB SyRzTvzMyLzNvyCx32即写为xAxBuyCxzMyLzNvuSyRzTv33四四. 闭环系统的能控性和能观性闭环系统的能控性和能观性定理定理2 状态反馈不改变受控系统 的能控性，但是不能保证系统的能观性不变。0,A B C证明证明只证能控性不变。只要证明受控系统和状态反馈闭环系统的能控性矩阵的秩相同即可。受控系统和状态反馈闭环系统的能控性矩阵分别为：3421c0nQBABA BAB21cK()()()nQBABK BABKBABKB比较这两个矩阵的各个分块：第一分块 相同

9、。B 的第二分块()ABK BABBKBcKQ由于 是一个常数矩阵，因此 的列向KB()ABK B量可表示成 的线性组合。BAB35同理， 的第三分块为cKQ2()ABKB2222A BABKBB K B2()()()A BAB KBB KABB KBKB2222AABKB KB所以 的列向量也可用2()ABKB2BABA B的线性组合来表示。36其余各个分块的情况完全类似。所以， 可以看作是由 经过初等变换而得到的，cKQc0Q而矩阵的初等变换并不改变它的秩，所以，cKQc0Q矩阵 和 的秩相同。这就证明了状态反馈不改变受控系统的能控性。37状态反馈不保持系统的能观性。举例如下：考察系统01

10、10200111yxxux则11C0120A例例138011120CA21 o1121CQCA显然有orank2nQ开环系统是能观的。39引入状态反馈0230uxv可得闭环系统01100220013011y xxxvx40011002102001300111yxxxvx即得闭环系统0110100111yxxvx41对于这个闭环系统11KC0110KA011110KKC A1142Ko1111KKKCQC A显然有Korank12n Q闭环系统是不完全能观的。43例例2考虑下述系统在引入状态反馈前后的能控和能观性。01010101uy xxx状态反馈控制律10u x440110A01 b01c解

11、解01011010 Ab01011010cA先列出相关的矩阵。10 K45先验证开环系统的能控性和能观性。c01rankrankrank210QbAbo01rankrankrank210cQcA说明开环系统既能控又能观。46引入状态反馈后01010101 AbK01000101()0010 AbK b47相应的有Kc01rankrank()rank210QbAbK b01()0100c AbK0048Ko01rankrankrank1()00cQc AbK可见，在引入状态反馈后，闭环系统的能控性保持不变，但却破坏了系统的能观性。 事实上，这反映在系统的传递函数出现了零极点对消现象。110210( )()01111ssssss WcIAb11K2101( )()0101sssssss WcIAbKb49定理定理3输出反馈不改变受控系统 的能控性和能观性。0,A B C证明证明先证闭环系统的能控性不变。输出反馈闭环系统方程为()xABHC xBu若把 看成等效的状态反馈矩阵 ，那么状态反馈HCK便保持系统的能控性不变。50再证闭环系统的能观性不变。分别写出开环系统和输出反馈闭环系统的能观性