高中函数图像大全

1、指数函数概念：一般地，函数y=aAx（a>0,且aw1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是Ro注意：L指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数。2.指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：.（I）定义域：R位点（。）即A“HJ皮（1）ZiR匕足增函数（4）6-R工是减函数规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称、但这两个函数都不具有奇偶性。-4-3-2I2342 .当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0vav1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边底大图高”；

2、在y轴左边底大图低”。Ox3 .四字口诀：“大增小减”。即：当a>1时，图像在R上是增函数；当0vav1时,图像在R上是减函数。4 .指数函数既不是奇函数也不是偶函数.比较募式大小的方法：1 .当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2 .当底数中含有字母时要注意分类讨论；3 .当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4 .对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数1 .对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(-

3、8,+8)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax(a>0,aw1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a>0,aw1).因为指数函数y=ax的定义域为(-00,+oo),值域为(0,+oo),所以对数函数y=logax的定义域为(0,+00),值域为(-OO,+OO).2 .对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a>0,aw1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x,y=log例，y=log10x,y=log1x,y=

4、log1x的草图210y=logax(a>0, a由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数W1)的图像的特征和性质.见下表.图象a>1a<1X=1K-io*ryI&gax(Oa<l)1磨。)*性质(1)x>0(2)当x=1时，y=0(3)当x>1时，y>00Vx<1时，yv0(3)当x>1时，y<00vxv1时，y>0(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数补充性质设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0vav10vbv1)当x>1时“底大图低”

5、即若a>b则y>y2当0vxv1时“底大图图”即若a>b,则yo>y2比较对数大小的常用方法有:若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一式y=ax(a>0,aw1)y=logax(a>0,aw1)定义域(-OO,+oo)(0,+00)值域(0,+8)(-OO,+OO)当a>1时，当a>1时函1(x0)0(

6、x1)奴值ax1(x0)10gax0(x1)变1(x0)0(x1)化当0vav1时，当0vav1时，情1(x0)0(x1)况xa1(x0)10gax0(x1)1(x0)0(x1)单调性当a>1时，ax是增函数；当a>1时，logax是增函数；当0vav1时，ax是减函数.当0vav1时，logax是减函数.图像y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.哥函数幕函数的图像与性质哥函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分1 1类记忆的万法.熟练掌握yx,当n2,1,一，-，3的图像和性质，列表如下.23从中可以归纳出以下结论：它们都过点1,

7、1,除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函数图像都不过第四象限.小11a-,一,1,2,3时，哥函数图像过原点且在0,上是增函数.32小1一a-,1,2时，哥函数图像不过原点且在0,上是减函数.2任何两个幕函数最多有三个公共点.yxn奇函数偶函数非奇非偶函数.yx2yx3yx1yx21yx定义域RRRx|x0x|x0奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增减在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限1在第I象限性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减J哥函数yx（xR,是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有备函数yX（XR,是常数）的图像都过点（1,1）；当2时函数yx的图像都过原

8、点（0，0）；当i时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如C2）；当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如Ci）i当2时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如7）当i时，yx的的图像不过原点（0，0）,且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）当0时，哥函数yx有下列性质：（1）图象都通过点（0,0），（1,1）；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；0i时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点（1,1）后，图象向右上方无限伸展。当0时，哥函数yx有下列性质：（1）图象都通过点（1,1）;（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3

9、）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点（1，1）后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幕函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。对号函数b函数yax（a>o,b>0）叫做对号函数，因其在（0,+8）的图象似符号"一x而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，axb2Jb（当且仅当ax-xax（bb一时取等号），由此可得函数yax-（a>0,b>0,xCR+）的性质：ax当x时，函数yax（a>0,b>0,xCR+）有最小值2旭,特别地，当a=b=1ax.

10、a时函数有最小值2。函数yaxb（a>0,b>0）在区间（0,Jb）上是减函数，在区间（出,xa；a+°°）上是增函数。bb因为函数yax(a>0,b>0)是奇函数，所以可得函数yax(a>0,b>0,xeR-)xx的性质：-b.bb当x时，函数yax(a>0,b>0,xCR)有取大值-2y,特别地，当a=b=1:axa时函数有最大值-2。函数yax-(a>0,b>0)在区间(-8,但)上是增函数，在区xa间(-，°)上是减函a奇函数和偶函数(1)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(x)

11、=(x).那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便：f(x)(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，当xW0时，显然有f(x)=f(x),但当x=0时，f(x)=f(x)=1,，f(x)为非奇非偶函数.(4

12、)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0,+8)上是增函数，试判断在(8,0)上的增减性.解设x1,x2(-0°,0),且x1Vx2V0则有x1>-x2>0,f(x)在(0,+8)上是增函数，.f(-x1)>f(-x2)又f(x)是奇函数，f(x)=-f(x)对任意x成立，=f(x1)>-f(x2).f(x1)<f(x2).f(x)在(一00,0)上也为增函数.由此可得出结论：一个奇

13、函数若在(0,+8)上是增函数，则在(8,0)上也必是增函数，即奇函数在(0,+8)上与(8,0)上的奇偶性相同.类似地可以证明，偶函数在(0,+8)和(8,0)上的奇偶性恰好相反.时，f(x)的解析式解x<0,.x>0.；.又f(x)是奇函数，f(x尸一f(x).偶函数图象对称性的拓广与应用我们知道，如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个X,都有f(x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此可拓广如下：如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在定义域丸且340他-班那么函薮V=E的图象关于直卷对称鼻(这样的函数我们不妨称之为广义偶函数)反之亦真.(a+b-x,f(x),而f(a+bx)=fa+(bx)=fb(b-x)=f(x),对称点P'(a+b-x,f)仍在函数的图象上，所以函数y二期)的图象关于直线乂二土箸对称.11反之，如符二电)的图象关于直线戈二审对称，设川+航通+瑞为图象上禽|l任一点，则它关于直缥=一的对祢点为Pfb宜，因此，£(a+=£(bX).以上拓广简记为：f(a+啰=f(b-啰O函数y=的图象关于直线第二工对称.特别电门1当好b时通