现代信号处理

1、421第七章 同态信号处理同态信号处理 l 当观察值是信号和噪声的线性叠加时，若信号和当观察值是信号和噪声的线性叠加时，若信号和噪声的频率范围不同，使用线性滤波器噪声的频率范围不同，使用线性滤波器(FIR或或IIR滤波器滤波器)l 若信号和噪声的频率范围相同或部分重叠，使用若信号和噪声的频率范围相同或部分重叠，使用维纳滤波器或卡尔曼滤波器维纳滤波器或卡尔曼滤波器l 当信号和噪声不是线性相加，而是乘法或卷积关当信号和噪声不是线性相加，而是乘法或卷积关系，不能使用线性滤波器，需要使用同态滤波器系，不能使用线性滤波器，需要使用同态滤波器 1 、广义线性的基本概念广义线性的基本概念l 同态滤波器或同态

2、系统的基础：同态滤波器或同态系统的基础： 广义线性叠加原理广义线性叠加原理l 以前论述的线性系统属于狭义线性系统以前论述的线性系统属于狭义线性系统 满足线性叠加原理满足线性叠加原理422l 狭义线性系统狭义线性系统概念可推广到概念可推广到广义线性系统广义线性系统范畴范畴l 若干个元素若干个元素x1，x2，构成一个集合构成一个集合 G，元素间，元素间定义一种运算定义一种运算 。G 被称为群需满足被称为群需满足4个条件：个条件： 封闭性：封闭性：x1x2 G 结合性：结合性：x1(x2 x3)= (x1x2)x3狭义线性系统：狭义线性系统：若设系统的变换为若设系统的变换为L ，则有，则有)()()

3、()()()(112121nxcLncxLnxLnxLnxnxL其中其中x1(n)、x2(n)是任意的两个输入，是任意的两个输入，c是任意常数是任意常数423l 群群G 构成了一个矢量空间构成了一个矢量空间 l 设群设群G 和和H 元素间的代数运算分别为元素间的代数运算分别为和和 ，元素与常数元素与常数c的运算分别为的运算分别为 和和 ，若，若G 和和H 间的间的映射映射T 有：有： Tx1(n) x2(n)= Tx1(n)O Tx2(n) Tc x(n)=c Tx(n)则称这种映射为则称这种映射为同态映射同态映射，其中，其中G 和和H 称为同态群称为同态群l 若若G和和H的元素一一对应，则称

4、的元素一一对应，则称G 和和H为为同构群同构群l 同态群同态群包含包含同构群同构群存在单位元素存在单位元素I：Ixx Ix存在逆元素：存在逆元素：xx-1x-1 xI424l 若将系统的输入和输出分别看成输入矢量空间若将系统的输入和输出分别看成输入矢量空间和输出矢量空间的矢量，输入矢量空间矢量间的和输出矢量空间的矢量，输入矢量空间矢量间的运算为运算为，矢量和标量的运算为，矢量和标量的运算为 ；输出矢量空间；输出矢量空间矢量间的运算为矢量间的运算为 ，矢量和标量的运算为，矢量和标量的运算为 ；T 看成是系统的变换，则有：看成是系统的变换，则有： Tx(n) y(n)O该系统满足广义线性叠加原理：

5、该系统满足广义线性叠加原理： Tx1(n) x2(n)= Tx1(n)O Tx2(n) Tc x(n)=c Tx(n)因此可把该系统称为因此可把该系统称为同态系统同态系统 425l 同态系统同态系统以其输入矢量空间和输出矢量空间的运以其输入矢量空间和输出矢量空间的运算来分类：算来分类：n 输入矢量空间运算为输入矢量空间运算为、输出矢量空间运算为、输出矢量空间运算为O的同态系统，称为的同态系统，称为和和O同态系统同态系统n 若若和和O是加法，是加法， 和和 是乘法，则此时的同态是乘法，则此时的同态系统就是系统就是线性系统线性系统l 线性系统线性系统可以看成是可以看成是同态系统同态系统的一个特例的

6、一个特例 例：例：若若T 表示对数变换表示对数变换ln ，代表乘法运算，代表乘法运算，O代表加法运算，代表加法运算， 代表指数运算，代表指数运算， 代表乘法运算，代表乘法运算，试分析该系统是否满足同态系统要求？试分析该系统是否满足同态系统要求？ 解：解：Tx1(n)x2(n)=lnx1(n)x2(n)=lnx1(n)+lnx2(n) =Tx1(n)OTx2(n)Tc x(n)=lnx(n)c=clnx(n)= c Tx(n)结论：该系统是同态系统结论：该系统是同态系统 426l T 表示对数变换，表示对数变换， 表示指数变换表示指数变换l 任何一个同态系统都可表示为三个子系统的级联任何一个同态

7、系统都可表示为三个子系统的级联T LTO-1x(n) y(n)x(n) y(n)-1OTx(n)T LTO-1 y(n)x(n) y(n)Ol 三个子系统都是同态系统三个子系统都是同态系统l 第一个系统第一个系统T 称为运算称为运算的特征系统的特征系统l 第三第三个个系统系统 称为运算称为运算O的特征系统的逆系统的特征系统的逆系统l 第二个系统第二个系统 L 则为线性系统则为线性系统 -1OT427 Tx1(n)x2(n)=Tx1(n)T x2(n) T c x(n)=cT x(n)l 三个子系统三个子系统均满足广义的线性叠加原理均满足广义的线性叠加原理 )( )( )(O)()()(1 -o

8、1 -o2-1o1-1o21-1onyTcnycTnyTnyTnynyT)( )( )()()()(2121nxcLnxcLnxLnxLnxnxL其中其中 )(1nxT x1(n)(2nxT x2(n)( nxT x(n)()(11nxLny)()(22nxLny)( )( nxLny)()( 11-1onynyT)()( 22-1onynyT)()( -1onynyT428l 乘法同态系统：输入、输出矢量空间矢量间的运乘法同态系统：输入、输出矢量空间矢量间的运算是乘法运算算是乘法运算(、 为乘法运算，为乘法运算， 、 为指数运算为指数运算)l 根据相乘信号的形式，分为：根据相乘信号的形式，分

9、为：n 实数乘法同态系统实数乘法同态系统n 复数乘法同态系统复数乘法同态系统 2 、乘积同态系统乘积同态系统(1)、实数乘积同态系统、实数乘积同态系统T.LT.-1x(n) y(n)x(n) y(n). .429l第一个子系统是乘法运算的特征系统第一个子系统是乘法运算的特征系统 T )()()()()()(2121nxcTnxTnxTnxTnxnxTc其中其中c c为任意常数，且有：为任意常数，且有： )()(11nxTnx)()(22nxTnx)()( nxTnxl第二个子系统是线性系统第二个子系统是线性系统 L )( )( )()()()(2121nxcLnxcLnxLnxLnxnxL同样

10、同样c c为任意常数，且有：为任意常数，且有： )()(11nxLny)()(22nxLny)( )( nxLny4210l第三个子系统是乘法运算特征系统的逆系统第三个子系统是乘法运算特征系统的逆系统 T-1 cnyTnycTnyTnyTnynyT)( )( )()()()(112111211l三个子系统中，第一个子系统三个子系统中，第一个子系统 T 将矢量间的将矢量间的乘法运算转换为加法运算，矢量和常数间的指数乘法运算转换为加法运算，矢量和常数间的指数运算转换为乘法运算。因此运算转换为乘法运算。因此 T 对应对数运算对应对数运算同样同样c c为任意常数，且有：为任意常数，且有： )()(11

11、1nyTny)()(212nyTny)( )(1nyTny)()(ln)(ln)()()()(ln)(ln)()(ln)()(21212121nxcTnxcnxnxTnxTnxTnxnxnxnxnxnxTcc4211l第三个子系统第三个子系统 T-1 将矢量间的加法运算转换为将矢量间的加法运算转换为乘法运算，矢量和常数间的乘法运算转换为指数乘法运算，矢量和常数间的乘法运算转换为指数运算。因此运算。因此 T-1 对应指数运算对应指数运算同样同样c c为任意常数，且有：为任意常数，且有： ccnxTnxnycnycTnyTnyTnynynynynynyT)()(exp)(exp)()()()(ex

12、p)(exp)()(exp)()(1121112121211)(ln)()(111nxnxTnx)(ln)()(222nxnxTnx)(ln)()( nxnxTnx4212l信号处理中，若观察值是信号和噪声的乘积，就信号处理中，若观察值是信号和噪声的乘积，就可使用乘法的同态滤波系统可使用乘法的同态滤波系统(同态滤波器同态滤波器)进行处理进行处理例：例：利用同态滤波的方法提取利用同态滤波的方法提取图像的反射图图像的反射图图像灰度值图像灰度值s(x，y)可表示为：可表示为：s(x，y)= si(x，y) sr(x，y) 其中其中si(x，y)表示照度图，表示照度图， sr(x，y) 表示反射图表示

13、反射图 根据图像特性，有：根据图像特性，有：0sr(x，y)1，0s(x，y) si(x，y)0，ln A才有意义，为此，常取才有意义，为此，常取ln |A|l 第一项第一项ln |A|的反的反Z变换为：变换为： 它对复倒谱的贡献很有规律的，且与它对复倒谱的贡献很有规律的，且与x(n)无关，无关，因此在讨论因此在讨论x(n)的复倒谱时可以忽略的复倒谱时可以忽略l 后面四项的对数可以先展开成后面四项的对数可以先展开成z-1或或z的幂级数后，的幂级数后，再求反再求反Z变换变换 000|A|ln nn0) 1(00nnMnn0,0,0|,|ln)(42311111nndnbnncnanAnxNini

14、NiniNiniNini4231l 结论：结论：复倒谱具有以下性质复倒谱具有以下性质1复倒谱的长度总是无限长的复倒谱的长度总是无限长的2复倒谱的幅度至少按复倒谱的幅度至少按1/|n|的速度衰减的速度衰减3最小相位序列在单位圆外无零点和极点，最小相位序列在单位圆外无零点和极点， 即：即：N2N40，因此其复倒谱是因果序列，因此其复倒谱是因果序列(2)、复倒谱的计算方法、复倒谱的计算方法l 复倒谱的计算方法：复倒谱的计算方法： 直接计算法、复对数求导法和递推计算法直接计算法、复对数求导法和递推计算法l 若是最小相位序列，复倒谱计算有一种简便方法若是最小相位序列，复倒谱计算有一种简便方法最小相位序列

15、复倒谱计算的简便方法最小相位序列复倒谱计算的简便方法l 复倒谱复倒谱 可表示为偶序列和奇序列之和：可表示为偶序列和奇序列之和：)( nx)()()( nxnxnxoe42322/)( )( )(, 2/)( )( )(nxnxnxnxnxnxoe最小相位序列的复倒谱是因果序列：最小相位序列的复倒谱是因果序列： 0)( , 0; 0)( , 0nxnnxn0, 00),0 ( 0),(2)( ,0, 00),(0),(2)( nnxnnxnxnnnxnnxnxoee结论：结论： 复倒谱复倒谱 可从偶序列可从偶序列 或奇序列或奇序列 和和 得到得到l 若若x(n)是实序列，则是实序列，则 也是实序

16、列也是实序列l 实序列的偶序列，其傅里叶变换是实序列本身傅里实序列的偶序列，其傅里叶变换是实序列本身傅里叶变换的实部叶变换的实部)( nx)( nxe)( nxo)0(ox)( nx4233 的傅里叶变换：的傅里叶变换： 结论：结论： 若得到若得到ln|X(ej )|，通过傅里叶反变换得出，通过傅里叶反变换得出 ，然，然后得到后得到l 实际应用中常用离散傅里叶变换代替傅里叶变换实际应用中常用离散傅里叶变换代替傅里叶变换l 具体的计算步骤具体的计算步骤a. 先计算先计算x(n)的离散傅里叶变换：的离散傅里叶变换：)(arg| )(|ln)(ln)(jjjjeXjeXeXeX)( nx 的傅里叶变

17、换：的傅里叶变换： )( nxe| )(|lnjeX)( nxe)( nx10,)()(10/2NkenxkXNnNnkjb. 得到得到 的离散傅里叶变换：的离散傅里叶变换：)( nxe4234l 采用采用N点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换，算出的点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换，算出的 (记为：记为： )是理论值是理论值 以以N为周期延拓的结果为周期延拓的结果l 由于由于 是无限长序列，因此是无限长序列，因此 也是无限长序列，以也是无限长序列，以N为为周期进行延拓必然会造成混叠周期进行延拓必然会造成混叠l 从混叠的序列算出的从混叠的序列算出的 ，只能是一种近似的解，只能是一种近似的解l

18、的幅度至少按的幅度至少按1/|n|的速度衰减，所以只要的速度衰减，所以只要N取得足够大，取得足够大，这种混叠造成的失真还是可以忽略的这种混叠造成的失真还是可以忽略的d. 最后计算复倒谱最后计算复倒谱 ：10, | )(|ln)(NkkXkXec. 通过离散傅里叶反变换计算：通过离散傅里叶反变换计算：10,)(1)(11/2NnekXNnxNkNknjee12/, 02/,0),(2/1),(2)( NnNNnnnxNnnxnxee)(nxe)( nxe)(nxe)( nx)( nxe)( nx)( nx4235直接计算法直接计算法 l 先求先求x(n)的的N点离散傅里叶变换点离散傅里叶变换X(

19、k)，k=0N-1，然后求然后求X(k)的复对数的复对数 ，最后利用离散傅里叶反，最后利用离散傅里叶反变换得到变换得到l 采用采用N点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换，算点离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换，算出的出的 是理论值是理论值 以以N为周期延拓的结果为周期延拓的结果l 由于由于 是无限长序列，以是无限长序列，以N为周期进行延拓必然为周期进行延拓必然会造成混叠会造成混叠l 好在好在 的幅度至少按的幅度至少按1/|n|的速度衰减，只要的速度衰减，只要N取取得足够大，这种混叠造成的失真还是可以忽略的得足够大，这种混叠造成的失真还是可以忽略的l 当当N不够大时，可以在不够大时，可以在x(n)序列后面补零后进行计序列后面补零后进行计算，从