高等结构动力学(云大土木系)02-单自由度系统r

1、第二章第二章 单自由度系统单自由度系统2-1 单自由度体系单自由度体系2-2 广义单自由度体系广义单自由度体系2-3 自由振动自由振动2-4 谐振反应谐振反应2-5 周期荷载的傅里叶级数解周期荷载的傅里叶级数解2-6 冲击荷载响应冲击荷载响应2-7 杜哈梅尔积分（任意荷载时域解）杜哈梅尔积分（任意荷载时域解）2-8 傅里叶变换（任意荷载频域解）傅里叶变换（任意荷载频域解）2-9 动力学的几个工程问题动力学的几个工程问题2-1 单自由度体系单自由度体系kcm( )yt( )F t单自由度单自由度体系模型体系模型 质量块质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只

2、有一个：水平位移自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力构的阻尼力 随时间变化的荷载随时间变化的荷载F(t)单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）kcm( )yt( )F t( )yt建立计算模型建立计算模型)(tFFFFSDI 取质点为隔离取质点为隔离体画平衡力系体画平衡力系建立平衡方程建立平衡方程IFDFSF)(tF直接平衡法直接平衡法，又称，又称动静法动静法，将动力

3、学问题转化为任，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。方程。直接平衡法直接平衡法根据所用平衡方程的不同，根据所用平衡方程的不同，直接平衡法直接平衡法又分为又分为刚度刚度法法和和柔度法柔度法。)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程：ymFI ycFD kyFS

4、 根据根据dAlembert原理：原理：等于弹簧刚度与位移的乘积：等于弹簧刚度与位移的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFkyycym 惯性力：惯性力：弹性力：弹性力：阻尼力：阻尼力：( )yt( )F tSFDFIF刚度法刚度法: 取质量为隔离体，通过分析所受的全部外取质量为隔离体，通过分析所受的全部外力（其中弹性力力（其中弹性力=ky），建立质量各自由度的瞬时），建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的力平衡方程，得到体系的运动方程。运动方程。关键在于求刚度关键在于求刚度k产生单位位移所需要的力（产

5、生单位位移所需要的力（kN/m）。kcm( )yt( )F t( )ytIFDFSF)(tF)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程：试用刚度法建立图示刚架的运动方程试用刚度法建立图示刚架的运动方程m 1EIEIEI2l1lPF(t) 解解 1） 确定自由度数确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。横梁刚性，柱子无轴向变形。)(ty)(tFPIFDF2SF1SF2） 确定自由度的位移参数。确定自由度的位移参数。3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！4） 列动平衡方程：列动平衡方程：1个自由度。个自由度。021 SSDIPFF

6、FFtF)()(tyymFI ycFD ylEIFS32212 其中各力的大小：其中各力的大小：位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力等效粘滞阻尼力：等效粘滞阻尼力：212li柱端发生平移柱端发生平移 y 时产生的梁时产生的梁-柱间剪力：柱间剪力：ylEIFS31112 EIl1由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFylEIlEIycymP 32311212 惯性力：惯性力：021 SSDIPFFFFtF)(弹性力弹性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFkyycymP 比较：比较：kcm( )y

7、t( )F t)(tFkyycym m 1EIEIEI2l1lPF(t)(ty)(tFylEIlEIycymP 32311212 ；k 为为（等效）刚度系数（等效）刚度系数。3231211212lEIlEIFFkSS 令：令：运动方程的形式是一样的！运动方程的形式是一样的！柔度法柔度法以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的位移协调条件建立体系的运动运动方程。方程。关键在于求柔度关键在于求柔度 单位力产生位移（单位力产生位移（m/kN）。）。 例

8、例 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程试用柔度法建立图示简支梁的运动方程q t ( )mEIl 解解 1） 确定自由度数确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移：集中质量，仅竖向位移：)(ty2） 确定自由度的位移参数：质量确定自由度的位移参数：质量 m 的位移：的位移：3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力（不体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力（不隔离隔离m，则没有弹性力）！，则没有弹性力）！1个自由度。个自由度。q t ( )DFIF4） 列质量列质量m的位移方程：的位移方程：)(DIPFFy改写成：改写成： PDIyFF 1)(ty)(tqEIlP38454

9、 p为动荷载为动荷载 q(t) 引起的质量沿引起的质量沿y方向的位移：方向的位移：其中：其中： 为自由度方向加单位力所引起的位移，即为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度柔度：EIl483 惯性力：惯性力：ymFI 阻尼力：阻尼力：ycFD PDIyFF 1由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tqlyycym851 q t ( )位移方程：位移方程：)(ty比较：比较：kcm( )yt( )F tq t ( )mEIl)(tFyycymE 1 含义：含义：等效动荷载等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！实际

10、动荷载产生的位移相等！注：这里就是说作用于注：这里就是说作用于m上的集中荷载上的集中荷载FE与均布荷载与均布荷载q（t）产）产生的生的m处位移相等处位移相等)(tqlyycym851 )(tFkyycym 令：令：)()(tqltFE85 FE(t) 定义为体系的定义为体系的等效动荷载等效动荷载或或等效干扰力等效干扰力。其通用表达式。其通用表达式 PEtF )(已经知道柔度已经知道柔度 和刚度和刚度k 之间的关系为之间的关系为：1k结论结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一 质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：质量、弹簧、

11、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：)(tFkyycymP 比较：比较：)(tFkyycymP 刚架：刚架：)(tFkyycym 基本质量弹簧体系：基本质量弹簧体系：)(tFkyycymE 表达式成为表达式成为：简支梁：简支梁：求图示结构的频率（求图示结构的频率（ ）。）。LL/2EIk练习题练习题LEIEIEILmmmmk/1/LL/2EIkL/2kP=1M1图图31313L33()22222222222984LLLLLLEIkLEIk解解1 1：画画M1 1图；由图；由M1图图求得求得 ；由；由 求得求得 。3/2319(84LmEIk)解解2 2 是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于是

12、单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。结构对称，可取半刚架计算。342EImL311212() 22223222324LLLLLLLEIEILEIEIEILmmM图图L/2L/2P=1/2P=1/22 2L/2L/2EIEIEI2-2 广义单自由度体系广义单自由度体系刚体集合型、分布柔度型刚体集合型、分布柔度型刚体集合（弹性变形局限于局部弹性元刚体集合（弹性变形局限于局部弹性元件中）件中）分布柔度（弹性变形在整个结构或某些分布柔度（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）元件上连续形成） 总之：只要可假定只有单一形式的位移，使得总之：只要可假定只有单一形式的位移，使得

13、结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。由度体系进行分析。2-2-1 广义单自由度体系：刚体集合广义单自由度体系：刚体集合刚体集合型可以将体系各个构件（部件）视为刚体刚体集合型可以将体系各个构件（部件）视为刚体（只有平动和转动），其任意点得位移、速度、（只有平动和转动），其任意点得位移、速度、加速度均可用单自由度位移、速度、加速度表示加速度均可用单自由度位移、速度、加速度表示出来。这样，其惯性力、弹性力、阻尼力也可表出来。这样，其惯性力、弹性力、阻尼力也可表示出来。示出来。采用虚位移原理来建立刚体集合型的振动方程。采用虚位移原理来建立刚

14、体集合型的振动方程。根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上全部力在虚位移上所做的虚功总和为零所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。虚位移虚位移为边界条件允许的假设微小变形。1） 确定自由度数确定自由度数: 1个自由度。个自由度。2） 体系受力分析。体系受力分析。aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZE2-1E2-1xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无重刚杆无重刚杆绞ABC)(43) (111tZkEEkfSaaaaaa2fD1p1 = 8 p

15、( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZ)(31) (212tZkGGkfS)(41) (111tZcDDdtdcfD)(22tZcfD)(2)(214)(2111tZmatZamtZmfI )(34)(4112)4(4)(41M221tZmatZaaamtZaIoI )(3222tZmfI )(81tapp1220LmI 也可以按力与虚位也可以按力与虚位移均呈三角形分布移均呈三角形分布而图乘计算虚功而图乘计算虚功W令体系产生虚位移：令体系产生虚位移：所有力在虚位移上产生的总虚功：所有力在虚位移上产生的总虚功：ZtaptZkktZcctZmmama

16、W)(316)(91169)(161)(943121212 aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZZZfD411ZfI211ZaMI411ZfS431ZfD2ZfI322ZfS312ZP321)(316)(91169)(161)(943421212taptZkktZcctZmam )()()()(*tptZktZCtZm 2*9434mamm广义质量：广义质量：21*161ccc广义阻尼：广义阻尼：21*91169kkk广义刚度：广义刚度：)(316)(*taptp广义荷载：广义荷载：简化形式：简化形式：0W令

17、：令： ，有：，有：xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无重刚杆无重刚杆绞ABCaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZNNE2-1E2-1续：增加轴力续：增加轴力N Naa4AC1Z3ZeeBN21eee虚位移：虚位移：ZaZ3ZaZ4ZaZ127轴向力所做虚功：轴向力所做虚功：eNWNZaNZ127ZaNZtaptZkktZcctZmmamaW127)(316)(91169)(161)(943121212 小变形假设：AB与CB垂直，其斜率互为倒数。CZaNZtapt

18、ZkktZcctZmmamaW127)(316)(91169)(161)(943121212 aNkkk1279116921*考虑轴向力的广义刚度：考虑轴向力的广义刚度：讨论：讨论： 轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大，轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大， 轴向力越大，广义刚度越小；轴向力越大，广义刚度越小； 广义刚度为零时广义刚度为零时（动力失稳）（动力失稳）：01279116921aNkkcrakkNcr212142827xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无无重重刚刚杆杆绞ABCN 刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为

19、约束条刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是一个真实的单自由度体系。一个真实的单自由度体系。 如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多个自由度。个自由度。 如果由假定只能产生单一的变形形式如果由假定只能产生单一的变形形式包括有一个包括有一个合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可作为一个单自由度体系来分析。作为一个单自由度体系来分析。列出图示结构的运动方程。列出图示结构的运动方程。练习题练习题

20、kEI 2mL/2L/3L/2mkEI 2mL/2L/3L/2m12my2my 1k2( ) t解：是单自由度体系。解：是单自由度体系。 以以 建立位移方程。建立位移方程。( ) t1122( )( 2)()tmymyP=1k121/2P=1k124/3112L243L12Ly243Ly14441( )( 2)()223318LLtmmmLL 叠加原理叠加原理利用弹簧受力利用弹簧受力与变形关系与变形关系特点：弹性变形在整个结构或某些元特点：弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成；件上连续形成；条件：可假定只有单一形式的位移，条件：可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动。使得结构

21、按照单自由度体系运动。解法：解法：虚功原理、哈密顿原理虚功原理、哈密顿原理2-2-2 广义单自由度体系：分布柔性广义单自由度体系：分布柔性xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N)()(),(tZxtxv假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：广义坐标广义坐标Z(t)，变形曲线，变形曲线 (x)：)(),()(tZtxvx 虚功原理：杆件产生变形时，外力所做虚功原理：杆件产生变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。的虚功等于内力所做的虚功。IEWWE2-E2-2 2：虚功原理求解：

22、虚功原理求解xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：)()(),(efftvxmtxPg )()(),(efftvxmtxPg 外力：外力：轴力轴力N、惯性力、等效荷载。、惯性力、等效荷载。惯性力：惯性力：),()(),(txvxmtxfI 考虑了这部分荷载，所以其它所有计算均以相对运动为依据。v t( )g参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N),()(),(txvxmtxfI 外力所做的虚功：外力所做的虚功：

23、惯性力：惯性力：LLIEeNdxtxvtxfdxtxvxfW0eff0),(),(),()()()(),(efftvxmtxPg 地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：轴力：轴力：NeZLdxtxvte02),( 21)(dxdxtxvdxtg),(dxtxv2),(1dx),(21dx1-),(2111),(12txvtxvdxtxv微段缩短量泰勒级数展开)()(),(tZxtxv关系式：关系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxt

24、xvLLIEeNdxtxvtxPdxtxvxfW0eff0),(),(),()(Ldxtxvte02),( 21)(Ldxxvtxve0)( ),( ),()(),(txvxmtxfI )()(),(efftvxmtxPg LdxxxmtZ02)()()( Lgdxxxmtv0)()()( )()( )(02tZdxxtNZL虚功：虚功：内力所做的虚功（弯曲势能）：内力所做的虚功（弯曲势能）：LIdxxvtxMW0)(),(),()(),(txvxEItxM)()(),(tZxtxv关系式：关系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),

25、(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvZdxxxEItZadxxxEItZLL02012)()()()()()(),(),(1),(32txvtxvtxvEIM 曲率材料力学ZdxxtNZdxxxmtvdxxxmtZWLLgLE02002)( )()()()()()()( ZdxxxEItZadxxxEItZWLLI02012)()()()()()(LgLLLdxxxmtvdxxNtZdxxxEItZdxxxmtZ0020202)()()()( )()()()()()()( )()()()(*tPtZktZktZmeffG )()()(

26、)(*tPtZktZktZmeffG *Gkkk)()()(*tPtZktZmeff LLdxxNdxxxEI0022)( )()(*GkkkLLdxxdxxxEIN0202cr)( )()(令：令：令：令：0*k0)( )()(0022LLdxxNdxxxEIxv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N)()(),(tZxtxv假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：广义坐标广义坐标Z(t)，变形曲线，变形曲线 (x)：)(),()(tZtxvx 相对位移和绝对位移的关系。相对位移和绝

27、对位移的关系。)(),(),(tvtxvtxvgtE2-E2-2 2：哈密顿原理求解：哈密顿原理求解xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )NLtdxtxvxmT02),()(21哈密顿原理：哈密顿原理：1动能：动能：未考虑了地面运动引起的惯性力，所以其它所有计算均以绝对运动为依据。21NMVVV引起的压缩势能保守力引起的弯曲势能内力2势能：势能：3无非保守力无非保守力0ncWLtLdxtxvxEIdxxEIxMV02021),()(21)()(21 LtdxtxvNtNeV022),(21向下为负值)(te0)(21t

28、tdtVT代入哈密顿公式：代入哈密顿公式：)()()()(),(),(tvtZxtvtxvtxvggt0)()()()(21*tteffGzdttPtZktZktZm 根据泛函变分原理得到与虚位移原理相同的结果：根据泛函变分原理得到与虚位移原理相同的结果：0)()()()(*tPtZktZktZmeffG E2-E2-3 3假定变形曲线：假定变形曲线：Lxx2cos1)(Ldxxxmm02*)()(刚度和质量均匀分布。刚度和质量均匀分布。LdxxxEIk02*)()(Lgdxxxmtvtp0*eff)()()()( )(364. 0)(32)(228. 034tvLmtZLEItZLmg 运动

29、方程：运动方程：LdxLxm022cos1Lm228. 0LdxLxLEI02222cos43432 LEILgdxLxtvm02cos1)( )(364. 0tvLmg xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N LGdxxNk02)( * 考虑轴向力时结构的几何刚度：考虑轴向力时结构的几何刚度：LNLEIkkkG832234*综合广义刚度：综合广义刚度：临界屈曲荷载（动力失稳）：临界屈曲荷载（动力失稳）：22cr4 LEIN LdxLxLN0222 sinLN82 2-3 自由振动自由振动tytytytytytyty

30、tytytytytytytytytytytytytytyty表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性动力特性，又称又称自振特性自振特性。定义定义 结构的动力特性结构的动力特性与结构的与结构的质量质量、刚度刚度、阻尼阻尼及其分布有关。及其分布有关。ty定义定义 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的振动称为结构的强迫

31、振动强迫振动，又称，又称受迫振动受迫振动 。ty结构的结构的自由振动与受迫振动自由振动与受迫振动固有频率固有频率 质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周周期期，单位时间内完成的循环次数称为，单位时间内完成的循环次数称为频率频率。 结构在结构在自由振动自由振动时的频率称为结构的时的频率称为结构的自振频率自振频率或或固有频率固有频率。 对大部分工程结构，结构的对大部分工程结构，结构的自振频率自振频率的个数与结构的的个数与结构的动力自动力自由度由度数数相等相等。 结构的结构的自振频率自振频率与结构的与结构的质量质量和和刚度刚度有关。有关

32、。tyT阻尼阻尼 结构在振动过程中的能量耗散作用称为结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼阻尼。 结构的结构的自由振动自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统有阻尼系统。 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。ycFD 等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：c 为阻尼系数，为阻尼系数， 为质量的速度。为质量的速度。y tyTtyT 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体

33、系最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：已经得到单自由度体系的运动方程：kcm( )v t( )p t)(tpkvvcvm （3-1） 这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。杂结构体系的广义坐标反应。 0kvvcvm 运动方程：运动方程： 等效动荷载为零的情况下的振动称为等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动自由振动。定义定义 自由振动产生的原因：自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始

34、速度初始速度 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。去掉外荷载去掉外荷载p(t)=0!kcm( )v t( )p t 齐次方程的求解：齐次方程的求解： 可设齐次方程解的形式为：可设齐次方程解的形式为： stGetv )(（3-3）02 stGekcsms)( 其特征方程为：其特征方程为： 022 smcs或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： 02 )(kcsms（3-4）stGsetv )( steGstv2 )( （3-23-2）称为（二阶常系数）称为（二阶常系数

35、）齐次方程；齐次方程； 式中式中 2=k/m， 是体系振动的是体系振动的圆频率圆频率。 根据阻尼系数根据阻尼系数c c 值的不同，解出的特征参数值的不同，解出的特征参数s s 值将具有不值将具有不同的特性。同的特性。 （3-2）0kvvcvm 2-3-1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 得：得： 特征方程：特征方程： 022s 无阻尼自由振动：无阻尼自由振动： is （3-7）titieGeGtv 21)( 引入引入Euler方程：方程： 代入代入(3-2)得：得： titeti sincos （3-9） A和和B是由初始条件决定的常数。是由初始条件决定的常数。得无阻尼得无阻尼自由振动的自由振动

36、的位移反应：位移反应： tBtAtv cossin)( （3-10）（3-5）0 kvvm 此处还要假设G也为虚数，展开后有四项，其中带虚数项不可能，舍弃，详见教材解释。也可以直接用高等数学求解结构直接写出。 设设t=0时：时：00vv )(00vv )(tBtAtv cossin)( 代入：代入：tBtAtv sincos)( 0v0B0v A0vB 代入：代入： 0vA 单自由度无阻尼体系运动方程的解：单自由度无阻尼体系运动方程的解：tvtvtv cossin)(00 （3-11） 或写成：或写成：)cos()( ttv（3-14） 位移反应：位移反应： tBtAtv cossin)( （

37、3-10）0sinsincoscos)cos( 三角关系：三角关系： 对比对比(3-11)，显然有：，显然有：0v 0v cos 0v sin 0v (3-13)成为：成为：tttv cossinsincos)( 即：即：)cos()( ttv（3-14）2020vv 00vv arctan tvtvtv cossin)(00 （3-11）)cos()( ttv（3-14） 物理意义：物理意义： 2 - -tcos( ) t-cos ty0sin ty0 . . y0. .y0 . .y0 RI t t ty0 . .y0 2 - -T= 2 T= 2 T= 2 tvtvtv cossin)(

38、00 （3-11）定义 对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。位移称为振幅。运动完成一个完整循环所需时间称为运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期自振周期，由于对应每由于对应每个角增量个角增量 2 便发生一个完整循环，自振周期就是：便发生一个完整循环，自振周期就是： ）秒秒；（弧弧度度rad/s / mk 单位时间内的循环次数称为单位时间内的循环次数称为自振频率自振频率： ）（秒；（秒； sec kmT 22 ）秒；秒；（次（次Hz/ 21 Tf T)cos()( ttv1sect 运动的角速度称为自振运动的角速度称为自

39、振圆频率圆频率：2-3-2 阻尼自由振动阻尼自由振动 对于有阻尼的单自由度体系对于有阻尼的单自由度体系 特征方程：特征方程： 022 smcs 自由振动方程：自由振动方程： 则：则： 0 c2222 mcmcs随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界临界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三种体系的运动型式。三种体系的运动型式。本课程只讲本课程只讲临界阻尼临界阻尼和和低阻尼低阻尼两种情况。两种情况。（3-2）0kvvcvm 1.1.临界阻尼临界阻尼 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记，记作

40、作cc。显然，应有。显然，应有cc/2m= ，即：，即： 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs mcc2 这时，对应的这时，对应的s 值为值为 ： 自由振动方程：自由振动方程： 临界阻尼自由振动方程的解为：临界阻尼自由振动方程的解为： mcssc221/（3-19）tetGGtv )()(21（3-20）（3-2）0kvvcvm 由初始条件：由初始条件： 0000vvvv)()( 得到临界阻尼体系反应的最终形式：得到临界阻尼体系反应的最终形式： 临界阻尼位移解：临界阻尼位移解： tetvtvtv )()(001 临界阻尼体系反应临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的不是简

41、谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。依照指数规律衰减，回复到零点。 teGtGtv 211)()( 临界阻尼临界阻尼的物理意义的物理意义是：是：在自由振动反应在自由振动反应中不出现震荡所需要中不出现震荡所需要的最小阻尼值的最小阻尼值。 速度速度 00201vvGvG tetGGtv )()(21（3-20）v0( ) tv( )+etvtvt1+00.tv0.2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs 自由振动方程：自由振动方程： 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m ，这时，特，这时，特征方程根式中

42、的值为正值，则征方程根式中的值为正值，则s 值成为值成为： 22)( s （3-2）0kvvcvm 12 )coshsinh()(tBtAetvt （3-38） 超超阻尼体系反应阻尼体系反应不是震荡的，体系的位移反应从开始时不是震荡的，体系的位移反应从开始时的的，依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较临界阻尼时更快临界阻尼时更快。v0( ) tvtv0.)coshsinh(tBtAettetvtv)1 (00确定体系阻尼比的一种方法确定体系阻尼比的一种方法)cos()( tetvtd 体系的阻尼比可以通过测试体体系的阻尼比可以通过测试体系运动的

43、衰减规律得到：系运动的衰减规律得到： 阻尼体系动力反应：阻尼体系动力反应： 体系从任一时刻经几个周期后体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：的振幅比为： d2 nTnnTtttteeeevvkknkk 取对数后：取对数后：d2 nvvnkktt lnnkkttvvn ln21 d ty(t)ettkt +nTk0kte d/ 2T)(nTtke（3-35）nkkttvvnln21 阻尼很小时阻尼很小时（泰勒级数展开函数（泰勒级数展开函数e（x）=1+x+.）： 体系阻尼的测试：体系阻尼的测试：2 2）计算阻尼比：）计算阻尼比： 确定结构体系阻尼的还有其它方法，最后一节详细介绍。确定结构体系阻尼

44、的还有其它方法，最后一节详细介绍。nkkttvv nkkttvvn ln21 kmmc 221）实测体系经过个周期后的位移幅值比：）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3 3）计算阻尼系数：）计算阻尼系数：（3-36）nknkktttvvvn 21 tv(t)et2DT=vtk+nvtktkt +nTk0 e(t +nT)ketk计算图示刚架的阻尼系数计算图示刚架的阻尼系数已知：已知： 柱子无重、刚性梁；柱子无重、刚性梁； F=90kN使大使大梁产生梁产生5mm的初位移；的初位移； 摆动摆动1周后的周后的位移位移4mm； 周期为周期为1.4s. 解解 确定梁的有效质量确定梁的有效质量:skmT4

45、0. 122 m 1EIEIEI m 1EIEIEI5mmFkTm 22 t894005. 09024 . 12 计算阻尼系数：计算阻尼系数： mc2 0355. 048. 48942 阻尼特性阻尼特性:10ln21vv 0355. 045ln21 sT40. 1 t894 m确定体系的自振频率确定体系的自振频率:Hz714. 04 . 111 Tfrad/s48. 42 f kNs/m 284 2-4 谐振反应谐振反应 单自由度受迫振动体系的运动方程：单自由度受迫振动体系的运动方程：)(tpkvvcvm 二阶常系数非齐次微分方程。二阶常系数非齐次微分方程。通解通解由由补解补解和和特特解解组成

46、：组成： )()()(tvtvtvpc 补解补解y yc c(t)由体系的自由振动反应确定：由体系的自由振动反应确定： 受迫振动：受迫振动：结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动。)cossin()(tBtAetvddtc 注意：注意：对于受迫振动体系，补解中的常数的对于受迫振动体系，补解中的常数的A A、B B 应由微应由微分方程的分方程的通解（通解（补解补解+ +特解特解）而不能仅由补解确定！而不能仅由补解确定！ 荷载荷载p(t)不同，微分方程的不同，微分方程的特解特解vp p(t)的形式是不同的。的形式是不同的。 )(tpt 谐振荷载：谐振荷载：

47、 简谐荷载作用下结构体系的运动方程：简谐荷载作用下结构体系的运动方程：tpkvvcvm sin0 0p 2p0为荷载的幅值，为荷载的幅值， 为荷载的圆频率。为荷载的圆频率。 2-4-1 无阻尼体系无阻尼体系 谐振荷载作用下谐振荷载作用下的的无阻尼体系运动方程无阻尼体系运动方程： 补解补解 齐次方程的解：齐次方程的解：tBtAtvc cossin)( 特解特解 由动力荷载引起的特别解。设：由动力荷载引起的特别解。设：tGtvp sin)( 代入代入(1)(1)式得：式得：tpkvvm sin0 tptkGtGm sinsinsin02 202011 kmkpmkpG 202201111 kpkp

48、tptGkm sinsin)(02 2011 kpG 所以特解的振幅：所以特解的振幅： ：频率比：频率比，表示荷载频率与体系自振频率的比：，表示荷载频率与体系自振频率的比： / 特解：特解： 通解：通解：tkp sin1120 )()()(tvtvtvpc 常数常数A、B 由初始条件确定。假设：由初始条件确定。假设：0)0()0( vv2011 kpA0 B 解得：解得：tBtA cossintkptBtAtv cos1sincos)(20 tGtvp sin)( 2011 kptkp sin1120 简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：)sin(sin

49、11)(20ttkptv p p0 0/ /k k = = stst: : 将荷载将荷载p p0 0 静止地放在体系上所产生的位移静止地放在体系上所产生的位移；: :动力放大系数动力放大系数，表示简谐荷载的，表示简谐荷载的动力放大效应动力放大效应；211 SinSin t t：按体系自振频率振动的反应分量：按体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应瞬态反应。 体系的动力反应由两部分组成：体系的动力反应由两部分组成： ：按荷载作用频率振动的反应分量：按荷载作用频率振动的反应分量：稳态反应稳态反应；t sin)sin(sin11)(20ttkptv 物理意义物理意义)(tvt)(tvt2 )(tvt2

50、 )sin(sin)(ttkptv 2011sin tkp 2011sintkp 201kp 2011kp 201 SinSin t t：按体系自振按体系自振频率振动的频率振动的反应分量：反应分量：瞬态反应。瞬态反应。总反应总反应 ：按：按荷载作用频荷载作用频率振动的反率振动的反应分量：稳应分量：稳态反应；态反应；t sin 动力放大系数：动力放大系数： 211 D思考：思考： =1=1时，体系的动力反应如何？时，体系的动力反应如何？)sin(sin)(0ttkptv 01.02.03.04.00123D 2-4-2 阻尼体系阻尼体系 阻尼体系运动方程：阻尼体系运动方程： 补解补解 齐次方程的

51、解：齐次方程的解： 特解特解 由动力荷载引起的特别解。设：由动力荷载引起的特别解。设：tpkvvcvm sin0 )cossin()(tBtAetvddtc （4-2）tGtGtvp cossin)(21 （4-3） 由由c=2m， 2 2= =k/m, ,上式可写作：上式可写作：tmpvvv sin202 （4-1）tmpvvv sin202 (4-5)tGtGtvp cossin)(21 (4-6) 对对v vp p(t)求导：求导：tGtGtvp sincos)(21 tGtGtvp cossin)(2221 运动方程：运动方程： 代入运动方程：代入运动方程：tGtG cossin222

52、1 tGtG sin2cos221 tGtG cossin2212 tmp sin0 变量变量t t为任意值时，等式均恒成立的条件？为任意值时，等式均恒成立的条件？ tGGGtmFGGG cos2sin222122021221 tGtG cossin2221 tGtG sin2cos221 tGtG cossin2212 tmp sin0 020222122021221 GGGmpGGG 即：即： 由此可解出系数：由此可解出系数： 22202222201212211 kpGkpG(4-7) 代入方程的特解：代入方程的特解：tGtGtvp cossin)(21 ttkptvp cos2sin)1

53、(211)(22220 )()()(tvtvtvpc 方程的通解：方程的通解：)cossin(tBtAeddt （4-8） ttkp cos2sin)1(21122220 第一项按自振频率第一项按自振频率 d 振动，由初始条件确定的自由振动反振动，由初始条件确定的自由振动反应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即瞬态反应（实际上包含初始条件和外载伴生2项自由振动）； 第二项按荷载频率第二项按荷载频率 振动，即振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义

54、不大，一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。这里主要讨论稳态反应的特性。 ttkptv cos2sin)1(211)(22220 谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为： ttvsin)(（4-9） 2222222220)2()1(2)2()1(1 kp)1(2arctan2 反应振幅：反应振幅：相位差：相位差： 2220211 kp这个强迫振动的解由这个强迫振动的解由正弦正弦和和余弦余弦两个三角函数组合而成，它同两个三角函数组合而成，它同样描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。样描述了一个简谐运动，

55、也就是位移随时间呈正弦变化。这个运动也可以用矢量表示：这个运动也可以用矢量表示： ttkptv cos2sin)1(211)(22220 ttvsin)(物理意义物理意义稳态反应：稳态反应：与外荷载同频率但存在一定与外荷载同频率但存在一定相位差相位差 ；这里的这里的相位差相位差表示表示反应的相位比荷载相位反应的相位比荷载相位所落后的角度所落后的角度。tIG1G2T=2RG2G12-2- -tttsin tG1 cosG2t sin( ) t- p p0 0/ /k k = = stst: : 荷载荷载p p0 0 产生的静位移；产生的静位移； 反应的振幅与所引起的静位移的比值称为反应的振幅与所

56、引起的静位移的比值称为动力放大系数动力放大系数： 222211 stD（4-10） 动力反应：动力反应： 动力放大系数是频率和阻尼的函数。动力放大系数是频率和阻尼的函数。 ttvsin)(反应与外荷载同相！反应与外荷载同相！( 1) ttkptv cos2sin)1()2()1(1)(22220 )1 (2arctan2 动力放大系数：动力放大系数： 222211 D01.02.03.04.00123D 0 0.15 0.20 0.25 0.30 0.50 1.0 0.70 1、阻尼比大于0.7时，放大系数几乎小于1（注意：不是绝对）；2、频率比大于3，放大系数与阻尼比几乎没有关系；)1 (2

57、arctan2 相频特性：相频特性： 01230901800 0.15 0.20 0.25 0.05 0.30 0.50 1.0 0.70 思考：相角与数学不同？2-4-3 共振反映共振反映 212arctan 222211 D 发生共振时发生共振时： 90 21 D D 的极值的极值： 动力系数与阻尼成反比！动力系数与阻尼成反比！2max121 D221 时出现极值：时出现极值： 对包括瞬态项和稳态项的一般反应方程进行讨论对包括瞬态项和稳态项的一般反应方程进行讨论： )cossin()(tBtAetvddt （4-11） ttkp cos2sin)1(21122220 共振干扰频率时（共振干

58、扰频率时（11）： 2cos)cossin()(0tkptBtAetvddt 假设体系由静止开始运动，即假设体系由静止开始运动，即0)0()0( vv ttBtekptvddt coscossin121)(20 tttekptvddt coscossin121)(20 考虑：正弦项影响小；阻尼频率与无阻尼频率几乎相等则考虑：正弦项影响小；阻尼频率与无阻尼频率几乎相等则定义反应比定义反应比： tekptvtRt cos121)()(0 无阻尼时，通过无阻尼时，通过LHospital法则得到：法则得到： ttttR cossin21)( ( )v ttt无阻尼体系阻尼体系(a)(b)( )v t2

59、1 共振可能导致结构破坏！共振可能导致结构破坏！ 在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生！接近荷载频率，防止共振发生！ 在共振区，外荷载主要由阻尼平衡！在共振区，外荷载主要由阻尼平衡！ tetRt cos121)( ttttR cossin21)( tptp sin)(0 )sin()(0 tDkptv)sin()(20 tDkptv )sin(20 tDpvmFI )cos()(0 tkptv )cos(220 tDpvmFD)sin(0 tDpFS共振时，外荷载主要由阻尼平衡！共振时，外荷载主要

60、由阻尼平衡！如果没有阻尼力，则无法平衡，如果没有阻尼力，则无法平衡，导致发散。导致发散。 惯性力惯性力 阻尼力阻尼力 外荷载外荷载 弹性力弹性力 2-5 周期荷载的傅里叶级数解周期荷载的傅里叶级数解n周期荷载周期荷载F (t)tPTpTpTp 对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。tTnbtTnaatpnPnnPn 1102sin2cos)( (5-1) PPPTPPPnTPPPnTPPtdtTntFTbtdtTntFTadttFTa000022221sin)(cos)()( 其中：其中：静荷载分量静荷载分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量周期荷载周期