矩阵三个初等行变换

1、复习：复习：1.1.矩阵三个初等行变换矩阵三个初等行变换2.2.逆矩阵的概念逆矩阵的概念3.3.可逆矩阵的逆矩阵的求法可逆矩阵的逆矩阵的求法初等行变换法初等行变换法)()(1 AIIA初初等等行行变变换换IAAAA 11(1)互换矩阵某两行的位置互换矩阵某两行的位置(2)用非零常数乘矩阵的某一行的所有元素用非零常数乘矩阵的某一行的所有元素(3)将矩阵的某一行乘一常数后加到另一行将矩阵的某一行乘一常数后加到另一行1.阶梯形矩阵的概念阶梯形矩阵的概念 P86定义（定义（P86) 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：（1）如果矩阵有）如果矩阵有0行，行，0 行在矩阵的

2、最下方。行在矩阵的最下方。 （2）各个非）各个非0 行的首非行的首非0元素前的元素前的0的个数随着行的增加的个数随着行的增加 而增加；而增加；(即每一行最前面连续即每一行最前面连续0的个数比前一行多的个数比前一行多) 001000000030(6) 00000210000120015302 (5) 000000000000)4(100010200031 )3(010720311 (2) 300120101(1) 下列矩阵中哪几个是阶梯形矩阵下列矩阵中哪几个是阶梯形矩阵?哪几个不是哪几个不是?(1)(3)(4)(5)是是预备知识：预备知识：定理定理 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为任何矩阵

3、都可以经过有限次初等行变换化为 阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。 000000000010 003000000010 0010000000303加加到到第第三三行行第第一一行行乘乘交交换换一一三三行行 2721-00720311 010720311 加加到到第第三三行行第第二二行行乘乘例例如如 720010311010720311 交交换换二二三三行行或或 7000103112加加到到第第三三行行第第二二行行乘乘为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵。化化矩矩阵阵例例 7336244511111251557160A . 1 交交换换一一二二行行加到第四行加到第四行第一行乘第一行乘第一行加到第三行第一行加到第三行2-

4、加到第四行加到第四行第二行乘第二行乘第二行加到第三行第二行加到第三行1-交交换换三三四四行行 95716055716055716011251 400000000055716011251 000004000055716011251A解解： 7336244511155716011251?21000000001030130110(4) 000001041013201(3) 00000211001342032121(2) 310000001100102031 (1)形形矩矩阵阵？哪哪几几个个是是行行简简化化阶阶梯梯中中哪哪几几个个是是阶阶梯梯形形矩矩阵阵 （1）（）（2）（）（3）（1）（）（3）若阶

5、梯形矩阵进一步满足：若阶梯形矩阵进一步满足：（1）各个非零行的首非零元素都是）各个非零行的首非零元素都是1；（2）所有首非零元所在列的其余元素都是）所有首非零元所在列的其余元素都是 0。 则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。2.行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵 P127任意矩阵都可以用初等行变换化成行简化阶梯形矩任意矩阵都可以用初等行变换化成行简化阶梯形矩阵，具体做法是：阵，具体做法是：（1）用初等行变换将任意矩阵化成阶梯形矩阵；）用初等行变换将任意矩阵化成阶梯形矩阵；（2）从阶梯形矩阵的最后一个非）从阶梯形矩阵的最后一个非0 行的首非行的首非 0 元开始，元开始， 用

6、初等行变换将其化为用初等行变换将其化为 1，并将其所在列的其余，并将其所在列的其余 元素化为元素化为 0，依次类推，就得到行简化阶梯形矩，依次类推，就得到行简化阶梯形矩 阵。阵。 00000211001342-032121 (2) 21000000001030130110 )1( : 1. 阶梯形矩阵阶梯形矩阵将下列矩阵化为行简化将下列矩阵化为行简化例例 21000000001030130110 (1) 解解： 00000210003011010301 交交换换三三四四两两行行交交换换一一二二两两行行 00000211001342-032121 )2( 解解： 00000211007702-0

7、1102114加加到到第第一一行行第第三三行行乘乘加加到到第第二二行行第第三三行行乘乘 000002110001011021 272721第第二二行行乘乘 00000211000106600127272加加到到第第一一行行第第二二行行乘乘 定义定义: :所有未知量的次数都是一次的方程组，所有未知量的次数都是一次的方程组，称为线性方程组。称为线性方程组。, 222111的的解解法法 cybxacybxa它的解有且只有三种情况：唯一解，无穷多解，无解。 我们在中学时，曾学过二元一次方程组就是二元线性方程组 而在许多实际问题中，经常要遇到未知量个数超过三个或方程个数与未知量个数不等的线性方程组，其是

8、否有解？在有解的情况下，是有唯一解，还是有无穷多解？如何求解？这些都是本章要讨论的问题。线性方程组线性方程组n 元线性方程组元线性方程组。，；，是是常常数数项项知知量量的的系系数数，是是未未是是未未知知量量，元元线线性性方方程程组组。其其中中称称为为 ) , 2 1 , 2 1 ( njmibaxniijj mnmnmmxnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 定义1 含有 n 个未知量、m 个方程的线性方程组；称称为为非非齐齐次次线线性性方方程程组组时时当当常常数数项项不不全全为为, 0 线性方程组分两类：线性方程组分两类：组组。时时，称称为

9、为齐齐次次线线性性方方程程当当常常数数项项全全为为 0 定义定义2：使方程组各等式都成立的未知量的一组：使方程组各等式都成立的未知量的一组取值称为该方程组的一个解。取值称为该方程组的一个解。，xxxxn称称其其为为零零解解一一定定满满足足方方程程0321 00022112222121212111nmnmmnnnmxaxaxaxaxaxaxaxaxa显然显然齐次线性方程组齐次线性方程组问题问题: (1)非齐次非齐次线性方程组有解吗线性方程组有解吗?有几解有几解?如何求出解？如何求出解？(2)齐次线性方程组在什么情况下有非齐次线性方程组在什么情况下有非 0 解解(未知量取未知量取值不全为值不全为

10、0 的解）？如何求非零解？的解）？如何求非零解？ 2121212222111211 mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa形形式式：线线性性方方程程组组的的矩矩阵阵表表示示 b X A 2121212222111211 mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa其其中中(系数矩阵系数矩阵)(常数项矩阵常数项矩阵)(未知量矩阵未知量矩阵) 。或或记记为为的的增增广广矩矩阵阵为为线线性性方方程程组组称称矩矩阵阵另另外外 Ab A , bAX ,21222221111211 mmnmmnnbaaabaaabaaa。的的矩矩阵阵形形式式和和增增广广矩矩阵阵写写出出线线性性方方程程组组例例

11、435025154 . 1 32131321321xxxxxxxxxxx ：原原方方程程组组的的矩矩阵阵形形式式为为解解： 315101151154A其其增增广广矩矩阵阵为为：(系数矩阵系数矩阵)(常数项矩阵常数项矩阵)(未知量矩阵未知量矩阵)(增广矩阵增广矩阵) 321 xxx 40214021154 151 101315 1032112111110521304211012 4321xxxx矩矩阵阵形形式式：解解：试试写写出出该该线线性性方方程程组组。矩矩阵阵为为：设设某某线线性性方方程程组组的的增增广广例例 , 1121101110352132042111012 A . 2 所以方程形式所

12、以方程形式: 12421xxx 123242xxx12343253xxxx2340 xxx123421xxxx 用矩阵方法解线性方程组的方法步骤：用矩阵方法解线性方程组的方法步骤：第一步：写出线性方程组的增广矩阵（第一步：写出线性方程组的增广矩阵（Ab）第二步：用初等行变换把增广矩阵（第二步：用初等行变换把增广矩阵（Ab）化为阶）化为阶 梯形矩阵梯形矩阵第三步：再用初等行变换把阶梯形矩阵化为行简化第三步：再用初等行变换把阶梯形矩阵化为行简化 阶梯形矩阵阶梯形矩阵第四步：从最后的行简化阶梯形矩阵中读出方程组第四步：从最后的行简化阶梯形矩阵中读出方程组 的解的解 41421137432412133

13、2352)Ab( 解解： 44213743242332352x 1. 4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxx解解线线性性方方程程组组例例 323521374324121341421 323521374324121341421 545105547084145041421 841450554705451041421 31000302339005451041421 3100039039007051010421 332439003023390054510414213 , 1 , 2 , 1 4321 xxxx因因此此原原方方程程组组的的解解为为： 310001010070510

14、10421 31000101002001050021 31000101002001010001例2.解线性方程组 488239324x432143214321xxxxxxxxxxx 488239113241111)Ab( 解解： 300001111041111第第三三个个方方程程为为矛矛盾盾方方程程因因此此原原方方程程组组无无解解。 855501111041111 43210591238831232111)Ab( 解解：例例3.3.解线性方程组解线性方程组 4325923883232432432143214321xxxxxxxxxxxxxxx 105500241212004321032111

15、00000211004321032111 00000211000101011011 00000211000101012001)( 2 21443 4241是是自自由由元元所所以以方方程程解解为为xxxxxxx 43210432502413032111 21100211004321032111 这个行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组含有三个方这个行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组含有三个方程、四个未知数，且不含有程、四个未知数，且不含有“矛盾矛盾”方程，因此它有无穷多方程，因此它有无穷多个解。我们将各行首非个解。我们将各行首非 0 0 元所在的列对应的未知量称为主元元所在的列对应的未知量称为主元

16、( (或基本未知量或基本未知量) )，而将其余未知量称为自由元，而将其余未知量称为自由元( (或自由未知或自由未知量量) )，用自由元来表示主元的解的表达式称为方程组的一般解。，用自由元来表示主元的解的表达式称为方程组的一般解。 结论：把增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵后非零行行数结论：把增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵后非零行行数少于未知数的个数，且不含有少于未知数的个数，且不含有“矛盾矛盾”方程时，原方程组有方程时，原方程组有无穷多个解。将各行首非无穷多个解。将各行首非 0 0 元所在的列对应的未知量称为主元所在的列对应的未知量称为主元元( (或基本未知量或基本未知量) )，而将其余未知量称为自由

17、元，而将其余未知量称为自由元( (或自由未知或自由未知量量) )，用自由元来表示主元的解的表达式称为方程组的一般解。，用自由元来表示主元的解的表达式称为方程组的一般解。 0000001251002620203451021)( Ab解解：例例4. 4. 求线性方程组求线性方程组 AXAX = = b b 的解，其中的解，其中 0000001251001831203536121)Ab(初等行变换初等行变换 ),( 2513132 54543542541为为自自由由元元因因此此一一般般解解为为：xxxxxxxxxxx 0000001251001310103211001.55323422:543214

18、321421的一般解的一般解求线性方程组求线性方程组例例 xxxxxxxxxxx 551323412121011:A解解 131101311021011 0000 01311021011 00 00 01-3-1-1 02 1 01107.6）xxxxxxxx为为自自由由未未知知量量方方程程组组的的一一般般解解为为43432431,(1312 00 00 01-3-1-1 02 1 011 00 00 01-3-1-1 01 2- 1-01 00000000010010101001)( 0 434241为为自自由由元元因因此此一一般般解解为为：xxxxxx 0423020430354 .643

19、21432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解齐齐次次线线性性方方程程组组例例 00004231111241133541A解：解： 00007370797013161303541 000073707970110103541 0000073000100110103541 00000000010010103041A=练习练习 P130 3P130 3（1 1，3 3）作业作业 P130 3P130 3（4 4，7 7） 4 4（2 2）2.矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义定义定义2.10 矩阵矩阵A对应的阶梯形矩阵所含非对应的阶梯形矩阵所含非0行的行数行的行数 称为矩阵称为矩阵A的秩

20、，记作秩的秩，记作秩(A) 或或 r(A)。是是唯唯一一的的。秩秩且且秩秩秩秩都都有有可可以以证证明明对对于于任任意意矩矩阵阵)A( ),A()A( ,A T 矩阵秩的求法：用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，矩阵秩的求法：用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，化后的阶梯形矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩。化后的阶梯形矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩。P86。A的秩的秩求矩阵求矩阵例例 4013154110211001 4013154110211001A解解 1010054020201001 1010054010101001 0000450010101001秩秩（A）= 3加到第四行加到第四行第一行乘第一行乘第二行、第三行第二行、第三行加到加到第一行乘第一行乘312第二行除以第二行除以第二行加到第四行第二行加到第四行加到第三行加到第三行第二行乘第二行乘4)A( , 352222321712012-07033A . 9求求秩秩设设矩矩阵阵例例 352222321712012-07033A解解： 3522223217120121