第三章 离散信号傅立叶分析.

1、第三章 离散信号傅立叶分析 介绍 傅立叶分析定义了信号时域和频域之间的一种变换,这里时间和频率变量可以取连续值,也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立叶变换对. 离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本也是最重要的运算.特别是有了快速傅立叶算法，离散傅立叶变换得到了广泛应用。3.1 周期序列的周期序列的傅里叶级数傅里叶级数3.1 3.1 周期序列的傅里叶级数周期序列的傅里叶级数(DFS)(DFS)1 1 离散周期序列离散周期序列 以N为周期的离散周期信号,N为整数.同样，离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和nlNkjnjkNNee22)( )()(Nnfnf.1, 1 , 02kenjkN是

2、以基波频率 成谐波关系的复指数序列集N2为为N N的周期序列，所以展开式的周期序列，所以展开式只有有限项谐波图1(a)周期序列(b)直流分量 (c)余弦分量 (d)正弦分量 nnnxN2sin212cos2121)()(41)(4121)(2222njnjnjnjNeejeenx值其余kNNkNeNnnjkN02, 02特点:1、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。 值其余kNNkNeeeeeNNNNjkjkjkNjkNnnjk02, 0111122222102、正交性02)(NnnkmjNelNkm2 2 离散周期序列的傅里叶级数展开式离散周期序列的傅里叶级数展开式展开式NknjkkNN

3、ecnx2)(NnnjkNkNenxNc2)(1NknjkkNNecnx2)(系数的确定)()(2222)(交换求和顺序NnnmkjNkkNnNknjkknjmNnnjmNNNNNececeenx在上式右边对 求和时，只当 时为非零，所以有: nmk NcenxmNnnjmNN2)(NnnjkNkNenxNc2)(13 3 系数的性质系数的性质性质一 )( 为整数lccklNk性质二 对实数序列，具有共轭对称性，即： *kkcc性质三 的模为 的偶函数， 的相位(幅角)为 的奇函数。 kckckk说明离散周期序列的说明离散周期序列的DFSDFS的系数仍然是一个周期序列的系数仍然是一个周期序列4

4、 4 离散周期信号的频谱离散周期信号的频谱kc以以 画出的波形称为频谱图画出的波形称为频谱图,w,w称为圆周角频率称为圆周角频率kNw2 例1 求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式( N=4) 求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式例例1 1解:21)(41)(1300nNNnNnxnxNc3414120141414141)(41)(1242230kjkkjeenxenxNcjknjknNNnnjkNkNnjnjNejejnx232)4141()4141(21)(nnnxN2sin212cos2121)(例例4.24.2求周期对称脉冲序列的傅里叶级数系数 NkNNkNeeeeeeNeeeNeNenxNc

5、NNNNNNNNNNNjkjkjkNjkNjkjkjkNjkNjkNNnnjknjkNNnNk22sin)21(2sin1)()(1)1 ()1 (11)(11)()() 12(222222211221122221212112211解:NNc1210图3(a)离散周期方波序列(b)离散周期方波序列频谱图-N10N1N011.5n xN ( n ).0pi2pi-0.100.25 (1 = 2/N)ck (N1 = 2 N = 20)频谱图以 为间隔,与N有关;包络与N1有关N212,sin1 Nxx(1)当N1不变时,N增加,谱线间隔变小,幅度变小(2)当N不变时,N1变化时,包络形状发生变化

6、 周期序列的频谱是离散的,以 为周期的,只要将N个复指数序列加起来,一定可以恢复原来的时间离散信号.不存在收敛问题23.2离散时间傅立离散时间傅立叶变换叶变换3.2 3.2 非周期序列的傅里叶变换非周期序列的傅里叶变换 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换(DTFT)(DTFT)1 正变换的定义 NnnjkNkNenxNc2)(1NnnjkNNjNenxeX2)(lim)(nnjjenxeX)()()()()()()(jIjRjjjejXeXeeXeX模和相角或实部和虚部: 考虑到 时， ， N)2(1Nkk)()(nxnxNkNjNceX lim)(2 2 逆变换定义逆变换定义)2(21)(

7、1122NeNcecnxNknjkkNknjkkNNN根据序列的傅里叶级数展开式： 2)(21)(deeXnxnjj，。由于k的取值周期为N,则 的周期为 ,考虑到 时， ， N)2(1Nkk)()(nxnxNd1)(jkeXNcNk2)2(Nk2的周期也为 ,则可得2DTFTDTFT正反变换定义式正反变换定义式nnjjenxeX)()(2)(21)(deeXnxnjjDTFT和 Z变换的关系为 nnjeZnneZjenxZnxZXeXjj)()()()( 所以DTFT就是单位圆上的Z变换，变换的性质均可由Z 变换特性得到。 3 3 从频域中看非周期序列从频域中看非周期序列 0)(cos)(1

8、)(dneXnxj 离散序列的最高角频率是 ,且其频谱是周期为 的周期函数。离散序列频谱在 ， 区间上的变化规律就已描述了该序列的全部频域特性，而连续信号的全部频域特性是在( ， )区间上描述的。2时间连续的周期信号时间连续的周期信号 频率离散的傅立叶级数频率离散的傅立叶级数时间连续的非周期信号时间连续的非周期信号 频率连续的傅立叶变换频率连续的傅立叶变换时间离散的周期序列时间离散的周期序列 频率离散的周期级数频率离散的周期级数时间离散的非周期序列时间离散的非周期序列 频率连续的周期变换频率连续的周期变换4 4 常见序列的离散时间傅里叶变换常见序列的离散时间傅里叶变换 例1 方波序列 1110

9、1)(NnNnnxnnjjenxeX)()(112sin)21(sin111NeNNnnj解:若取 ,则 如图所示。 21N)(1jeX图5(a)方波序列 (b)方波序列的离散傅里叶变换 -2pi-pi0pi2pi-105X1( ej )-N10N101n x1( n )例例2 2 求单位样值序列 的傅里叶变换； )(nanxn n1)()()(nnjnnjjenenxeX解1)(Fn例例3 3 求 的傅里叶变换； 111)()(0aaeaeeaeXjnnjnnjnj例例4 4 求频域周期单位冲激函数的傅里逆叶变换。 ll )2()(2解2)(21)(deeXnxnjj22)(21denj21

10、)(212F例例5 5 求符号函数的傅里叶变换。0101)(nnnSgn解)(lim)(41nxnSgna)(lim)(lim)(4141nxFnxFnSgnFaajjaaeae11111lim1)2, 1, 0(21211111llleejj)2, 1, 0(21212)(lllenSgnFj所以:例例6 6 求单位阶跃序列的傅里叶变换。0001)(nnn解)(2121)(nSgnnjlelnSgnFFnF11)2()(21)(5 5 离散序列频谱的性质离散序列频谱的性质 性质一 周期性:)()()2(jjeXeX性质二 对实数序列,有共轭对称性: )()(*jjeXeX)()(*jjeXe

11、X或性质三 对实数序列,有: )()(*jjeXeX)()()()(jRjReXeX)()(jIjIeXeX性质四 实偶序列的频谱为实偶函数: )()(jjeXeX性质五 对虚奇序列有: )()(*jjeXeX)()()()(jRjReXeX)()(jIjIeXeX表4.1频移性质的说明6 6 序列的内插和抽取（时间尺度变换）序列的内插和抽取（时间尺度变换）),4(),2(),0()2(xxxnx（1） 序列内插和抽取的定义内插 )2, 1, 0(0)()(llMnlMnMnxnxi抽取 采样率缩M倍)()(nMxnxd, 0),2(, 0),1 (, 0),0()2/(xxxnx零内插阶跃内

12、插：等于前一采样点的值线性内插：邻近两采样值得平均值问题 实际上先内插后抽取，才能准确还原信号8 , 4 , 6 , 2 , 18 , 8 , 4 , 4 , 6 , 6 , 2 , 2 , 1 , 18 , 4 , 6 , 2 , 18 , 8 , 6 , 6 , 1 , 18 , 6 , 18 , 4 , 6 , 2 , 18 , 4 , 6 , 2 , 1)(nx)(22)(2/()()(22)(2()(nxnxnxnxnxnx个单位）（抽取个单位）内插个单位）（内插个单位）抽取结论：（1）以M 因子内插，再以M因子抽取，可以恢复原信号（2）以M 因子抽取，再以M因子内插，不能恢复原信号

13、（3）若同时需要内插与抽取，最好先进行内插（4）插值与抽取意味着抽样率的转换，要将抽样率做L/M倍转换，先做L倍内插，再做M倍抽取。 （2） 序列零内插后的频谱 MnjnnjnnjnijienxeMnxenxeX)()/()()(MjiMjijMijiieMxeMxeMxexx2)1()2() 1()() 1 ()0()(jMeX图4.15（3 3） 序列丢弃零后的频谱序列丢弃零后的频谱 )()(1MjjeXeX)()(1Mnxnx(当 时， ) Mnl 0)(lx图4.17（4 4） 序列序列“采样采样”后的频谱后的频谱 2)()(21)(djPjXjXs10)2(2)(MkMkMjPdMk

14、jjXMjXMks210)2()(1)(102)2()(1MkdMkjjXM102)2()2(1MkdMkMkjXM10)2(1MkMkjXM写成 形式的符号即为： （5 5） 序列抽取后的频谱序列抽取后的频谱 10)2()(1)(MkMkjjseXMeX10)2()(1)()(MkMkMjMjsdeXMeXjX)(jeX10)2()(1)(MkMkjjseXMeX 从滤波的角度理解连续系统频率响应和离散系统频率响应之间的关系（6 6） 连续时间与离散时间系统的频率响应连续时间与离散时间系统的频率响应sTsjjHeH/)()(sTnssjnjHT)(1若用 采样点上的样值构成一个离散序列 ,则

15、经频率变换 后, 的频谱中含有一个不失真的频谱的信息(忽略幅度因子 ); 是 经频率变换 后的周期延拓;由冲激响应不变法即由 采样点上的样值构成 可以由模拟系统 获得对应的离散系统 。)(tx)(nxsT)(nx)(txST1)(jeH)(HsT)(th)(jH)(jeH)(nh图(4.23)连续信号频谱和对应的离散序列频谱之间的关系 图连续时间系统频率响应和离散时间系统频率响应之间的关系 采样后信号的频谱采样后信号的频谱 )/2()(1)(ssnsssTjnjXTjXssTnssTsjjnjXTjXeX)(1)()(nnjjenxnxFeX)()()(sTsjjXeX/)()(理想采样后信号理想采样后信号 的频谱是的频谱是 频谱的周期延拓频谱的周期延拓 )(txs)(tx3.3周期序列周期序列DTFTDTFT3.3 3.3 周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换1 周期复指数序列 的傅里叶变换 nje0llF)2(2 1 lnjleF)2(200) 1()2()()()(1112110NccccgN2 一般周期序列的傅里叶变换3 3 傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系NnnN