正态分布及其计算

1、正态分布及其概率计算正态分布正态分布 Normal Distribution2( ,)XN 22()21( ),( 0)2xf xe 为常数 则称则称X X服从参数为服从参数为2, 正态分布， 记为n若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为 正态分布的密度函数的图形正态分布的密度函数的图形中间高中间高两边低两边低y-+21x2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 12122110.7521.25正态分布的分布函数正态分布的分布函数dxexFxx222)(21)( F(x)121 x221( )2xxxedx 标准正态分布标准正态分布n定义定义X N（0，1）分布称为标准正态

2、分布）分布称为标准正态分布 n密度函数密度函数221( )2xxen分布函数分布函数01xx 1x 1x 一般随机变量（包括一般正态分布）的分布函数一般随机变量（包括一般正态分布）的分布函数并无此性质。并无此性质。对于标准正态分布，有以下计算性质：对于标准正态分布，有以下计算性质： 200.52,XN 若若 正态分布的概率计算正态分布的概率计算设设 X 的分布密度为的分布密度为 ，分布函数为，分布函数为 f x F x我们有如下计算性质：我们有如下计算性质： 10.5F 2xF x 3P aXbF bF aba 421cPXc 2,XN 设设 正态分布的概率计算正态分布的概率计算证明性质证明性

3、质（4）：21cP Xc 证明：证明：P XcPcXc PcXc cc cc 1cc 21c 222195.45%P X 323199.73%P X 21168.26%P X 称称 为为极限误差极限误差。3 X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为为半径的区间内。半径的区间内。330.9974f(x) 正态分布的概率计算正态分布的概率计算1.5, 4 ,XN例例1 1 设设 试计算试计算3PX 解：解：313PXPX 3 1.53 1.5122 10.752.25 20.77340.98780.2388133PX 133FF 10.7512.25 2 13F例

4、例2 若若 且且 求求22,XN240.3,PX0P X 解：解：02201P X 20 20.50.3422224PX 因为因为20.8所以所以022010.2P X 例例3 设设21211.5, 4 ,0.84132xNedx求求0.51.5P解：解：0.51.51.50.5PFF10.5 1.511222 0.5 10.84130.3413 1112 例例4 4 某零件宽度某零件宽度20.9000, 0.0030,XN现规定限度是现规定限度是0.90000.0050.（1）求零件的废品率。）求零件的废品率。 （2）若要）若要求每求每 100 个产品中废品不多于一个，可允许的最大个产品中废

5、品不多于一个，可允许的最大值是多少？值是多少？解：（解：（1）正品率）正品率0.90000.0050P X 000.00502190.440.0030 （2）设废品率）设废品率0.01,p 0.0050210.99 即正品率即正品率10.90000.0050pP X查表得：查表得：0.0019400000010090.449.56故废品率故废品率例例5 设某品种苹果的重量设某品种苹果的重量161,1600 ,XN按重量大小按重量大小把苹果分成四类：把苹果分成四类： 为最小，为最小， 为中等，为中等，0020005500150010为大苹果，为大苹果， 为特大。试求中等苹果的上下限重量。为特大。试求中等苹果的上下限重量。解：设中等苹果的下限为解：设中等苹果的下限为 ，上限为，上限为 。ab则：则：1610.240aP Xa 16116110.24040aa 1610.840a查表得：查表得：127.4a 把苹果分成四类：把苹果分成四类： 为最小，为最小， 为中等，为中等，例例5 设某品种苹果的重量设某品种苹果的重量161,1600 ,XN按重量大小按重量大小0020005500150010为大苹果，为大苹果， 为特大。试求中等苹果的上下限重量。为特大。试求中等苹果的上下限重量。解：设中等苹果的下限为解：设中等苹果的下限为 ，上限为，