ch352反常积分审敛法判定

1、2009年01月05日1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2009年01月05日25.1 5.1 无穷积分无穷积分5.2 5.2 瑕积分瑕积分定积分定积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广广义积分广义积分第第5 5节节 反常（广义）积分反常（广义）积分2009年01月05日3第第

2、5节节 反常积分反常积分5.1 5.1 无穷积分无穷积分- -无穷区间上积分无穷区间上积分5.2 5.2 瑕积分瑕积分- -无界函数的积分无界函数的积分5.35.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则5.4 5.4 无界函数积分的审敛准则无界函数积分的审敛准则2009年01月05日4 adxxf)( babdxxf)(lim - -bdxxf)( - baadxxf)(lim5.1 5.1 无穷积分无穷积分( )f x dx- lim( )baabf x dx- 2009年01月05日52009年01月05日65.2 5.2 瑕积分瑕积分 badxxf)(0 0lim( )baf

3、 x dx badxxf)(0 0lim( )baf x dx - - badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(0 0lim( )caf x dx - - 0 0lim( )bcf x dx 2009年01月05日7特别地，特别地，2009年01月05日8非负被积函数的判别法非负被积函数的判别法( ) , ( )0( )( ) ,)( )xaaf xa bf xF xf t dtaf x dx 设设函函数数在在区区间间上上可可积积，且且若若函函数数在在上上有有界界，则则广广分分理理义义积积引引收收敛敛5.3 5.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则2009年01月0

4、5日9()( )( ) , 0( )( ) (),( )( )( )( )aaaaf xg xa bf xg xaxg x dxf x dxf x dxg x dx 比较判别法设函数、在 比较判别法设函数、在任何区间上可积，任何区间上可积，如果那么如果那么若收敛，则也收敛若收敛，则也收敛定理1定理1；若发散，则也发散若发散，则也发散证明证明.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收收敛敛，得得及及，由由设设上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba由引理知由引理知收敛收敛 adxxf)(2009年01月05日10( ),( ).aaf

5、 x dxg x dx 如如果果发发散散 则则必必定定发发散散( )( )aag x dxf x dx 如如果果收收敛敛，由由第第一一部部分分知知也也收收，这这与与假假设设矛矛盾盾0( )( ).f xg x例例341.1dxx 判判别别无无穷穷积积分分的的收收敛敛性性解解,111103/43434xxx , 134 p根据定理，根据定理，341.1dxx 无穷积分收敛无穷积分收敛2009年01月05日11例例2131(1);(2).xxedxedxx- - 判别无穷积分的收敛性:判别无穷积分的收敛性:2(1)xxeex-3limxxex 2009年01月05日12则则(1)当当时时，二无穷积

6、分有相同的收敛性；二无穷积分有相同的收敛性；0l (2)(2)当当时时，若若收敛，收敛，收敛；收敛；0l ( )ag x dx ( )af x dx 则则(3)(3)当时当时，若若发散，则发散，则发散发散l ( )ag x dx ( )af x dx ()( )( ) , ( )( )0 .( ) 2 lim( )xf xg xa bxaf xg xf xlg x 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式设函数、在任何区间上可积，设函数、在任何区间上可积，且当时，如果且当时，如果定理定理，2009年01月05日132111arctan1sin2xdxdxxx判别无穷积分的收敛性：判别无穷积分的

7、收敛性：（ ）；（ ）（ ）；（ ）例例2009年01月05日1421(0)lnkdx kxx 讨论无穷积分的收敛性.讨论无穷积分的收敛性.例例211,lnkdxxx 当当时时发发散散；解解111,(2)lnlnkkxxxxx当时当时111,/0()lnkkkxxxx 当时当时21lnkdxxx 收收敛敛. .21lnkdxxx 发散；发散；2009年01月05日15绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义 设无穷区间上的积分设无穷区间上的积分( )d,af xx 收敛收敛( ),af x dx 若收敛若收敛则称则称则称则称( )daf xx 绝对收敛绝对收敛；( ),af x dx 若发

8、散若发散( )daf xx 条件收敛条件收敛. .也称也称( ) ,)f xa 在在绝绝无穷区间上无穷区间上对可积对可积；( )af x dx 绝对收敛的无穷积分必定收敛绝对收敛的无穷积分必定收敛2009年01月05日16( )( )aaf x dxf x dx 如如果果收收敛敛定定理理4 4也也收收敛敛证证0( ( )( )2( ) ,f xf xf x,)(收敛收敛dxxfa ( ( )( ).af xf xdx 也收敛也收敛( )( ( )( )( )aaf x dxf xf xf xdx - - 故故收敛收敛.例例22111sincos1,sin2xxdxdxxxxdxx 判判别别无无

9、穷穷积积分分的的收收敛敛性性：（ ）绝绝对对收收敛敛；（ ）条条件件收收敛敛. .2009年01月05日17瑕积分可转化为无穷积分瑕积分可转化为无穷积分. .( ),af x设 为的瑕点设 为的瑕点由定义由定义 例如例如 badxxf)(0lim( )baf x dx 1xat令，则有令，则有 badxxf)(11201 1lim()b af adtt t - - -abtttaf12d)1(5.4 5.4 无界函数积分的审敛准则无界函数积分的审敛准则2009年01月05日18()( )( ), (0)0( )( ) (),( )( )( )( )bbaabbaaf xg xabbaf xg

10、xaxbg x dxf x dxf x dxg x dx- 比较判别法设函数、在 比较判别法设函数、在任何区间上可积，任何区间上可积，如果那么如果那么若收敛，则也收敛；若收敛，则也收敛；若发散，则若发散，则定理5定理5也发散也发散2009年01月05日19例例2101sin.xdxx 判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性解解211sin1,dxxxxx 而收敛，而收敛，2101sinxdxx 收敛，收敛，根据比较判别法根据比较判别法,2009年01月05日20则则(1)当当时时，两瑕积分有相同的收敛性；两瑕积分有相同的收敛性；0l (2)(2)当当时时，若若收敛，收敛，收敛；收敛；0l ( )

11、bag x dx ( )baf x dx 则则(3)(3)当时当时，若若发散，则发散，则发散发散l ( )bag x dx ( )baf x dx 0()( )( ), (0)( )( )( )0 . lim( )xaf xg xabbaaxbf xf xg xlg x -比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式设函数、在任何区间设函数、在任何区间上可积，且当时，上可积，且当时，如果，如果定理6定理6，在定理中若选择则有在定理中若选择则有Cauchy判判别法别法1( )()pg xxa - -2009年01月05日21例例31.lndxx 判别瑕积分的收敛性判别瑕积分的收敛性解解的的左左邻邻域

12、域内内无无界界被被积积函函数数在在点点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 - -, 01 根据比较判别法根据比较判别法,所给瑕积分发散所给瑕积分发散.2009年01月05日22类似定理类似定理4, 有下列结论有下列结论:( ) d (),baf xx a 若瑕积分为瑕点 收敛若瑕积分为瑕点 收敛例例. 判别瑕积分判别瑕积分xxxdln10的敛散性的敛散性 .解解:( )d,baf xx 收敛收敛称为绝对收敛称为绝对收敛 . 0,x 此处为瑕点此处为瑕点140limln0 ,xxx 因因14,ln1 ,xxx 的有的有故对充分小故对充分小从而从而 1

13、434lnlnxxxxx 341x 据比较法据比较法2, 所给积分绝对收敛所给积分绝对收敛 .则瑕积分则瑕积分 5.5. - -函数与函数与B-B-函数函数1. 1. - - 函数函数10( )(0)xexdx - 定义定义特点特点: 1.积分区间为无穷积分区间为无穷;2.100.x - - 当当时时被被积积函函数数在在点点的的右右领领域域内内无无界界1111201,xxIexdx Iexdx - - - - - 设设1(1)1,;I 当当时时是是定定积积分分01, 当时当时111111,xxexxex -1.I收收敛敛2009年01月05日241111201,xxIexdx Iexdx -

14、- - - - 设设1(1)1,;I 当当时时是是定定积积分分01, 当时当时111111,xxexxex -1.I收收敛敛121(2)lim()lim0,xxxxxxexe - - - 2.I也收敛也收敛10(1), (2)0.xexdx - 由由对均收敛对均收敛知知s)(s o2009年01月05日25 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：(1)( ) (0). 递递推推公公式式0( ). 当当时时，3( ) (1)(01).sin - - 余余元元公公式式2120210( )( )2.xtexdxxtetdu - - - - - - 在在中中，作作代代换换，有有 2009年01月05

15、日26证证: 0(1)dxx ex - - (分部积分分部积分)0dxxe - - - - 010dxxx exex - - - ( )注意到注意到:0(1)dxex- - 1N,n 有有(1)( )nnn (1) (1)n nn-! (1)n!n (1)( ) (0). 定定理理8 8 递递推推公公式式2009年01月05日27证证: (1)( ), (1)1 ( )0,且可证明在连续且可证明在连续0,( ) 时时0( ). 当当时时，2009年01月05日282120210( )( )2.xtexdxxtetdu - - - - - - 在在中中，作作代代换换，有有12, 当时有当时有12

16、( ) 2009年01月05日292. B- 2. B- 函数函数1110( , )(1)(0,0)pqB p qxxdxpq- - - - - 定定义义特点特点:1.1011.pxqx当时,点的为瑕点；当时,点的为瑕点；当时,点的为瑕点当时,点的为瑕点11101112(1),(1)cpqpqcIxxdxdxIxxdx- 设设(10)c由由比较判别法当比较判别法当p0, q0时，瑕积分收敛时，瑕积分收敛2009年01月05日30 B B函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：1( , )( , )B p qB q p ( ) ( )( , )(0,0).()pqB p qpqpq3 3 1110( , )(1)pqB p qxxdxx - - - - - 2 22 2 在在中中作作代代换换 = =c co os s得得212120( , )2cossinpqB p qdx - - - 2009年01月05日311110( , )(1)pqB p qxxdx- - - - - ( , )( , )B p