高三数学第二轮复习教案数列问题的题型与方法

1、仅供个人参考高三数学第二轮复习教案数列问题的题型与方法二(3课时)一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。二、考试要求1 .理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2 .理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。3 .理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。三、复习目标1 .能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2 .能熟练地求一些特殊数列

2、的通项和前n项的和；3 .使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4 .通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.5 .在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力.6 .培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.四、双基透视

3、7 .可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质8 .判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于n>2的任意自然数，验证anan(an/an)为同一常数。(2)通项公式法：若勺="1+(n-1)d="2+(n-k)d,则仙>为等差数列；若=殖=。或，则an为等比数列。中项公式法：验证2久J二%+k(乩=%/匕N都成立。9 .在等差数列an中，有关$的最值问题一一常用邻项变号法求解：(1)当al>0,d<0时，满足区+1-°的项数m使得%取最大值."(2)当“l<0,d>0时，满足氏+1-

4、0的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。10 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。五、注意事项1 .证明数列虫n1是等差或等比数列常用定义，即通过证明an书-an=an-an口或a土=旦而得。anan4“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地2 .在解决等差数列或等比数列的相关问题时,不得用于商业用途仅供个人参考运用性质，可使运算简便。3 .对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。4 .注意一些特殊数列的求和方法。如:nan = ai +£ ak).k -25 .注意sn与an之间关系的转化。51, n=1an=&q

5、uot;，Sn-SnjL，n之26,数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.7.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.8,通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答

6、题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。六、范例分析例1.已知数列an是公差dw0的等差数列，其前n项和为Sn.ssS求证：点P

7、QT）禺（2,年），玲*）在同一条直线h上；1z口（2）过点Q1（1,a1）,Q2（2,a2）作直线12,设l1与l2的夹角为。，求证：恸84d（提常数），即证明：（1）因为等差数列an的公差dw0,所以=%+3T=a当k32(kCN)时，-V-T-Kp1pk是常数（k=2,3,，n）.所以%，璋都在过点&）且斜率为常数£的直线h上.忖|111M2 + d2 2 4 .丽 2桐忖|（2）直线l2的方程为y-a1=d（x-1），直线l2的斜率为d.dd-tan§=d1+d*2当且仅当=|d|,即|d|二点时等号成立.尸例2.已知数列。0中，Sn是其前n项和，并且Sn由

8、=4an+2（n=1,2,川）,a1 =1 ,设数列bn =an书-2an（n =1,2,）,求证：数列是等比数列；2不得用于商业用途仅供个人参考设数列册=a_,(n=1,2,)，求证：数列g是等差数列；2n求数列Qn的通项公式及前n项和。分析：由于bn和cn中的项都和an中的项有关，an中又有Sn¥=4an+2,可由Sn426n书作切入点探索解题的途径.解：由Sn.=4an我，$0拳=4%书+2,两式相减，得Sn426n中=4(an中-an)，即an书=4an书-4an.(根据bn的构造，如何把该式表示成bn卡与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)an书-2an省=

9、2(an书-2an)，又口=%+-2a门，所以bn+=2bn已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3由和得，数列bn是首项为3,公比为2的等比数列，故bn=3-2n-1.因为,=今西蚓，所以十景逢三有江三圣A3=211+1=4*又故数列%是首项为公差是;的等差数列，乙乙乙1不得用于商业用途因为%=%,又%=所以%=(%)2储.当n>2时，Sn=4an+2=2n(3n-4)+2;当n=1时，S1=a1=1也适合上式.综上可知，所求的求和公式为Sn=2n(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数

10、列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn+=4an+2得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.例3.已知数列an是首项a1>0,q>-1且qw。的等比数列，设数列bn的通项bn=an41-kan42(nCN),数列an、bn的前n项和分别为Sn,Tn.如果Tn>kSn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围.分析：由探寻Tn和Sn的关系入手谋求解题思路。解：因为an是首项a1>0,公比q>-1且qw。的等比数列，故所以an4f=an,4，an%=an.Q2bn=an由-kan=

11、an(q-k-q2)-依题意，由Tn >kSn ,得S 当q>0时，由a1>0,知a当-1vqv0时，因为a1>0,综合上面两种情况，当 q>-1Tn=b1+b2+-+bn=(a/a2+-+a°)(q-k-q2)=Sn(q-kq2).(q-kq2)>kSn,对一切自然数n都成立.>0,所以Sn>0；1-q>0,1-qn>0,所以Sn二4且qw0时，Sn>0总成立.,_曰2即k，（i+q2）<q，由式可得q-kq2>k,l+q2q2故k的取值范围是k<g,例4.（2001年全国理）从社会爰益和经济效益出

12、发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅5游业收入彳t计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会.,1一一、一一一、.比上年增加-O（I）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写4出an,b的表达式（n）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解析：第1年投入800万元，第2年投入800X（1-彳）万元，第n年投入800X（1f）1万元11i所以总投入an=800+800（1彳）+800x（1彳）n1=4000：1-（5）n1同理：第1年收入400

13、万元，第2年收入400X（1+彳）万元，第n年收入400X（1+4）一万元£5bn=400+400X（1+4）+400X（1+4）n1=1600X（4）n154（2）bn-an>0,1600（彳）n-14000X1（）n>04J化简得，5X（I）n+2X（4）n-7>04242设x=（5）n,5x27x+2>0.-x<5,x>1（舍）即（5）nv5,n而，说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将

14、“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。例5.设实数a#0,数列an）是首项为a,公比为-a的等比数列，记bn=an1g|an|(n=N),Sn=b1+b2+bn，求证：当a01时，对任意自然数n都有Sn=alga1+(1)n*(1+n+na)an】(1a)2解：an=a1qn4=a(a)n4=(1)n4an。bn=anlg|an|=(T)n4anlg|(7)nJ1an|=(-1)n"nanlg|a|Sn=alg|a|-2a2lg|a|3a3lg|a|(-1)E

15、(n-1)an"lg|a|(-1)n"nanlg|a|=a2a23a3(1)T(n1)an(-1)n4nanlg|a|仅供个人参考记S=a-2a2+3a3+(-1)n-(n-1)an_1+(_1)n,nanas=a2-2a3+(1)心(n2)an，+(-1)n-(n-1)an+(1)n,nan*+得(1+a)s=a-a2+a3+(_1)n/an,+(-1)匕an+(1)n'nan41d:a -:-1,. (1 - a)S =G a (一1尸an1S 二n J n 1a (-1) a1 -(1 - a)(1a) (-1)n 1n：；1(-1)n a2(1 a)2a+(

16、1+n+na)1)nJ1an*a1+(1+n+na)(1)n*an(1 a)2(1 a)2二Sn 二：鲁"十 J1严(1 +n +na)an说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定 Cn =2口 0,2口是等差数列，0等比数列。例6设鼠是等差数列%的前n项和，已知Jsm与:S.的等比中项为!邑，;务与的等差中项为i,求等差数列%)的通项也.解法二：设等差数列an的首项a1=a,公差为d,则其通项为+ (n-l)d.前n项和为5=na +n(n -1)根据等比数列的定义知S5w0,由此可得3* 24*d - 4a "!-d = 5a +整理

17、得由此得当% = 1时,3 22J 41 ifd + 4氐 +J 4f3ab + 5d = 0,52a + d = 2.2d = 0；-12% =1，或5 =4 -58-D =2512.5* 4-da. - 4»1232 12T-Tn-32 12Ss =5i当%".彳口时，S§ = 4均适合题意.“3212故所求的等差数列的通项为1=1,或=蓑-£口.(对给定的信息木佣鼠二则署进例琅结第塞物的性质进一步加工，有下面的解法)解法二：_3（即+亚）_3,273一22一4（a,+a4）&二U，=20+%）,1依题意，得5（即 +$5）5 2as-2=

18、21a孙 $（蚂 +%） = %,|1_|1町+§（药+药）=2.ill12即可得d = Cd =-丁.以下同解法一.例 7.设二次方程 anx2- an+1x+1=0（n C N）有两根a和 3 ,且满足6a-2 a 3 +63=3.不得用于商业用途试用an表示an书；求证：数列11是等比数列,7(3)当的=(时，求数列%的通项公式.解根据韦达定理，得Q+6=汕，。b=.由6a.2。B+68=3,得6*F=；=3,故即*二;题+：%23_20111(ati41""J1证明因为=54=5打一寸所以r=5,%3故数列(儆-,J是公比为:的等比数列.3 乙(r-(r于

19、也羽+提例8.在直角坐标平面上有一点列Px=yJP2(x2,y2厂，Pn(xn,yn)，对一切正整数n,仅供个人参考135点Pn位于函数y=3x+的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数4 2列Q。求点Pn的坐标；设抛物线列C1，C2，C3,，Cn，中的每一条的对称轴都垂直于X轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线品相切于Dn的直线的斜率为心，求：kk2k 2k3kn jkn设 S=x|x=2xn,nw N,n >1);T =y|y=4yn,n>11,等差数列n 的任一项an W SCT ,其中a1是ScT中的最大数，265(为。&l

20、t;-125 ,求An 的通项公式。53斛：(1) xn =+(n-1)m(-1) =n 2213535yn = 3 xn '二-3n -,. R (-n - -，-3n 一 一)4424 2n3 o(2)丁 Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.J.设品的方程为：y=a(x+)2212n 54把 Dn(0, n2 +1)代入上式，得 a=1, ,a 的方程为：y = x2+(2n+3)x + n2+1111/11、|xz0 =2n 3，二二一(_)knkn(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3111111111(-)(-)(-)k2k3kndkn2 5 77 92n 1 2

21、n 31、11) =2n 310 4n 6kn = yk1 k2= 1,1(2 5(3) S =x|x =-(2n+3),n w N,n ± 1,T = y | y = -(12n 5), n N, n _ 1 =y | y = -2(6n 1) -3,n N,n -1 二 S|T =T,T 中最大数 a1 =-17 .设an公差为 d ,贝U a1o = -17 +9d = (-265,-125),由此得248一 *<d < -12,又丫 an WT: d = -12m(mw N ),.d = -24,. an =7 - 24n(n N ).说明：本例为数列与解析几何的

22、综合题，难度较大(1)、(2)两问运用几何知识算出(3)的关键在于算出 SpT及求数列an的公差。例 9.数列 gn 中，a1 = 8, a4 = 2 且满足 an 七=2an4an n £ N求数列an的通项公式；设 Sn 斗aj+|a2l+|anl,求 Sn；kn ,解决1设bn =1 n(12 -an)(nW N ),Tn =b +b2 +bn(n£ N ),是否存在最大的整数 m使得对任意n w N ,均有Tn > W成立？右存在，求出 m的值；右不存在，请说明理由。 32解：(1)由题意，an2 an+ =an# an，/. an为等差数列，设公差为 d ,

23、由题意得 2 =8 +3d = d = 2 ,二 an = 8 2(n 1) =10 2n .(2)若 10-2n 20 则 n <5, n W5 时，& =|a1 | + | a2/+ | an I810-2n-2=qa2an=n=9n-n,n至6时，Sn=a+a2+a5a6a7_an故Snbn=S5 -X Sn9n - n22n -9n 4012S5) = 2 S5 Sn = n -9n 40n三5n _61n(12 -an) 2n(n 1)1(-)2 n n 11111111111Tn=2(1W (2飞)(3-4)(目不)(丁钎)n2(n 1)m*若Tn > 对任意n

24、 W N成立，即 32n , 一*、-1:(nw N )的最小值是一，n 12n>n 1m 1m -一对任息nw N成立, 16一:二 一,16 2二m的最大整数值是7。m即存在最大整数m=7,使对任意nWN，均有Tn下山.32说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。例10.如图，在y轴的正半轴上依次有点 A，A2,，An, A(0,1),A2(0,10),且| AnAn |=3|AnAn"(n =2,3,4，) y =x(x20)上依次有点B1，B2,，Bn,点B1的坐标为(且 |OBn|=|OBn| 2、.2(n =2,3,4,)用含n的式子表示|

25、AnAn 4 | ；用含n的式子表示 An, Bn的坐标；求四边形 AnAn书Bn书Bn面积的最大值。解：(1 广1 AnAnK =1，且 | A1A2 |=10_1 =9,二| AnAn 书 |=|AnAn|31 n |AA |1) 1n 4(2)由(1)得 | A1A2 | +| A2A3 | 十一十| AnAn |=9 +3+1 +(-) 31 nd = 9(-)32711、n二n -427，点An的坐标(0, 2n -4,|OBn |-|OBn|=2,2且 |OB1 |=3、. 2丁|OBn|是以3近为首项，2J2为公差的等差数列.|OBn|=3.2(n-1)2,2=(2n1)一2二B

26、n的坐标为(2n+1,2n+1)(3)连接AnBn4，设四边形AnAn由Bn由Bn的面积为0,则Sn=S.AAn1Bn1S.BnBn1Al=:(""(2n3)1221弓(1/一2322232=空十_9nlSn+一Sn=36n<0,即Sn由<Sn,二Sn单调递减.23n3n二Sn的最大值为Si =29 八 479说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知| AnAn由|为等比，| OBn |为等差，(3)利用仅供个人参考函数单调性求最值。例11.设正数数列a n为一等比数列，且 a 2=4,5版一人/'"+3解设数列勺）的公比为q，显然q?M,-

27、= 由于,0,正N,故q = 2.于是V彳=2,故州q*】=2,因此坨2宜骑+ lg2M3+lg2Mn3(n+1)+(n+2)+2nn3原式=lim m4g3n + n3n2 + n 坨2 zn寸旭(3n2 +n) 4lim 2n4g)说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力.例12.已知抛物线x2=4y,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点Pi,又过点Pi11,作斜率为一的直线交抛物线于点P2,再过P2作斜率为一的直线交抛物线于点P3,，如此继

28、241,续，一般地，过点Pn作斜率为齐的直线交抛物线于点Pn书，设点R（xn,yn）.（I）令bn=X2n+X2n，求证：数列4是等比数列.31.（n）设数列bn的前n项和为Sn，试比较一Sn十1与的大小.43n1022解：（1）因为Pn（Xn，yn）、巳*（2书，5#）在抛物线上，故xn=4,书=4y书，又因为直线PnPn+的斜率为工，即y"yn=1,代入可得2nXn1-Xn24 Xn 1 - Xn bn = X2n 1=j=%1.Xn=.X2n4)-X2nx=(X2n1,X2n)-他2口二-1一金1=3,故皿二工二bn是以'为公比的等比数歹u；2222bn444131(2

29、)Sn=(1=)=Sn+1=，故只要比较4n与3n+10的大小.34n44n方法(一)4n=(1+3)n=1+C：3+C232+IH>1+3n+n(n-1)32>1+3n+9=3n+10(n>3),2一3131当n=1时，一Sn+1A;当n=2时一Sn+1=;43n1043n10*3一1当n23,nwN时，一Sn+1<.43n10方法(二)用数学归纳法证明，其中假设n=k(k之3,kwN)时有4k>3k+10,则当n=k+1时，4k中=44k>4(3k+10)=3(k+1)+10+9k+27a3(k+1)+10.例13在数列aj中斯电二,且腕式3蚂-ajog

30、式3aMan),3io是公差为-1的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an41-an,是等I；蹶列，公比为q.|q|<b这个等比数列的所有项之和等于发(1)求数列an的通项公式；(2)计算，虫(a1+a2+-+an).分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列an的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于an的方程组.解：(1)设bn=log2(3an书-an),因为bn是等差数列，d=-1.b1=log2511丁日(3町-logj(3*历-京二阳""/丁足"瓦-1十(口-1)(-1)a即log式3a同-4)=必所以3an+-an=2q, |q

31、| v 1,设cn=2an+-an,cn是等比数列，公比为512c=2a-ad=,"-1 21-隙3-由广一=；解得q="1-q33于是,寺2由，解得 = 22&炉%=7*3+皿耳与弁G一升=211tn|(+-+1-1+-+-1-n-gl2232nJ333滑例14.等比数列an中，已知a1w0,公比q>0,前n项和为Sn,自然数b,c,d,e满足bvcwdve,且b+e=c+d.求证：Sb凡7Sd.分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正仅供个人参考确适时地应用所给的条件是成败的关键.证明当q = 1时，* Se =b

32、a1 , eax = bc a. Sc * Sa d * 5 = cd a；.al(证明不等式首选方法是差比较法，即作差一变形一判定符号，变形要有利于判定符be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因为 c<e, dve,所以 c-ev0, e-d >0,于是(c-e)(e-d) a/Q,承>0,所以<0.又同理(要比较 运用差比较法.ai1-qi-q*$(! =1-qSb Se与Sc Sd的大小，只要比较(1-qb)(1-qe) 与(1-qc)(1-qd) 的大小，仍然 )(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+

33、qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否将qc-qb用qe-qd表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e,寻求变形的途径,c=b+e-d , d、e 出现了，于是 qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd).恒等变形只有目标明确，变形才能有方向.)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd) q-d >0.(运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号 ve, q>0,当 0V q<1 时，y=qx 是减函数，qevqd, qb&g

34、t;qd,即 qe-qd < 0.因为q>0.所以)事实上，由 bvdqb-qd >0;当q>1时，y=qx是增函数，qe>qd,qbvqd,即qe-qd>0,qb-qd<0.所以无论0vqv1还是q>1,都有qe-qd与qb-qd异号，即(qe-qd)(qb-qd)<0.>0,所以SJS综上所述，无论q=1还是qw1,都有Sb-Se<Sc-Sd.说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实.根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力.(I)证明：记rn为圆。的半径,则lim (

35、出 + 劭 +A +&)(n)求l的值.(I)证明J是等比数列;例15.(2003年北京春季高考)如图，在边长为l的等边ABC中，圆。为4ABC的内切圆,圆O2与圆O外切，且与AB,BC相切，圆Q+1与圆Q外切，且与AB,BC相切，如此无限继续下去.记圆O的面积为/(即加.仅供个人参考仅供个人参考所以一 '72_ 19故MJ成等比数列.(n)解：因为&所以lim + & +A + 册）=y =132I一9说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力七、强化训练1 .设Sn和Tn分别为两个等差数列的前 n项和，若对任意nC N,都有1=

36、1与，则第一个数列的第11项与第二个嬲的第11项的比是.1k 411 + 27" ( )A. 4 ： 33 ： 2 C . 7 ： 4 D . 78 ： 712 . 一个首项为正数的等差数列中，前 时，n等于.A. 5B . 63 .若数列以中，a1=3,且an#4 .设在等比数列 n中，ai+an3项的和等于前11项的和，当这个数列的前 (C .7D . 89._* . =an (n之N ),则数列的通项an = 66,a2=128,Sn =126，求 n 及qn项和最大 )5 .根据下面各个数列an的首项和递推关系，求其通项公式，.、 * a1 =1,an 1 =an 2n(n

37、N )-n* a =1冏 1an(n N )n 11* a1 二1,an 1 = an 1 (n N )26 .数列an 的前n项和Sn =1 +ran(r为不等于0,1的常数)，求其通项公式an7 .某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2001年底全县的绿化率已达30%从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%各被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4双被沙化。3(1)设全县面积为1, 2001年底绿化面积为a1=一，经过n年绿化总面积为an书.10求证an 14a25 5(2)至少需要多少年(年取整数,lg 2 =0.3010)的努力，才能使全县

38、的绿化率达到60%8 .(2002年春招试题)已知点的序列4(k0),用cN,其中11=0,匹=刈>0),A3是线钱AA2的中点，A4是线段AA3的中点，An是线段4-34-1的中点，。(I)写出%与Q、M之间的关系式(H>3)（ii）设4=1肿1一4，计算"1,电，勺，由此推测数列M的通项公式，并加以证明。9 .（94年全国理）设an是正数组成的数列，其前n项和为并且对所有自然数n,an与2的等差中项等于$与2的等比中项.（1）写出数列a的前三项；（2）求数列an的通项公式（写出推证过程）；令bn=21%+】J(nCN),求：b+b2+bn-n.参考答案解：设这两个等差

39、数列分别为an和bn.因为所以；(%+国")=TT(bl +b2n.l)_ 包 _ 兀一£"- A K 11-1 一】丸+犯M)(2口-1)121 + b2n-l)(2n -1)7* 21 + 14* 21 + 274一.故选择A.3说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项 在联系.2 .解：依题意知.数列单调递减，公差 d<0.因为S3=S11=S3+a4+a5+ +a10+a11所以a4+a5+ +a7+a8+a10+a11=0即a4+a11= ,=a7+a8=0,故当 n=7 时，a7>0, a8<0.选择 C.解选择题注意发挥

40、合理推理和估值的作用.an与前2n-1项和S2n-1的内3 .解:cc cc2多次运用迭代,可得an =(an)-(an -2) =(anN)on 1n 1=III = (al)= 34 .解:；a2 a=128,a1an =128,又 a1 +an =66,由以上二式得ai= 2,an =64或ai =64冏=2 ；由此得 n=6,g=2 或1.2不得用于商业用途说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。5.解：（Dan+=an+2n,二20士20=2门，- an = a1 (a2 - a1), (a3 - a2) ,' (an - an J )=121222(n-1)2.=

41、1n(n-1)=n-n1（2）丁an土an又解：由题意,1a2a3.-an=a1'aa2（n+1）an由=nan对一切自然数a=1an4n成立，.nann-11nn=(n-1)an4=1a=1（3） 丁 an由1,一2=(an-2)an-2是首项为a1一2=T1,一公比为一的等比数歹u,2n-11n-4,an=2-(-)2说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。6.解：由Sn=1+ran可得当n22时Snl=1+rani,，SnSnl=r(ananv),an=ranran，an(r1)=ran，；r=1,:r=0,，m是公.r.比为的等比数列.又当n=1时，S1=1

42、十ra1r-1an匕（土尸。说明：本例复习由有关Sn与an递推式求an,关键是利用Sn与Hn的关系进行转化。7.(1)证明：由已知可得_4即an1=80%an+16%5an确定后,4an+25an中表示如下：an邛=an414%)+(1an)6%一，4(2)斛：由an+=-an+514故有an1=-一（）25两边同时取对数可得25444,4、，4、2,=(an)=(一)(a什3414n4,右an平2一.则有（一）十一525553>-54、_/4n4、ny)=(5)-)1/4n.即一之(一)25-lg2_(n_1)(2lg2g5)=(n1)(3lg2-1), lg 2.故 n 1L 、 1, 1 、 一舄二一5（巧演）二一1=-a4_*.>4,故使得上式成立的最小nwN为5,1-3lg2故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.8 .(I)解：