高三数学一轮专题复习平面向量的概念与线性运算(有详细答案)讲义

1、平面向量的概念与线性运算考情分析考点新知了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.了解向量的线性运算性质及其几何意义.掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.嚷回归教材Hl'llilUn-CN.-hl1.（必修4P63练习第1题改编）如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a,AD=b,贝UBE=答案：b2a.r一一一1一11斛析：BE=BA+AD+DC=a+b+a=b&a.2.(必修4P65例4改编)在ABC中，AB=c,AC=b.若点D满足BD=2D

2、C,则AD=.（用b、c表本）,一21答案：3b+3c解析：因为BD=2dC,所以AdAb=2(ACAd),即3AD=yAB+2AC=c+2b,故AD2b+1c.333.（必修4P63练习第6题改编）设四边形ABCD中，有2dC=AB且|AD|=|BC|四边形是答案：等腰梯形上1告i17.解析：AB=,DCABDC,且|AB|=2|DC|,.ABCD为梯形.又|AD|=|BC|,四边形ABCD的形状为等腰梯形.,-一_4.(必修4P66练习第2题改编)设a、b是两个不共线向量，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a2b.若A、B、D三点共线，则实数p=.答案：11r一,，解析：丁BD=BC+

3、CD=2ab,又A、B、D二点共线，存在实数入，使AB=汨D.2=2%即51'p=-1.p=一入，、知识清单1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量AB的大小叫做向量的且空(或模)，记作|AB|.(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量.规

4、定零向量的相反向量仍是零向量.2 .向量加法与减法运算(1)向量的加法 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 法则：三角形法则；平行四边形法则. 运算律：a+b=b+a；(a+b)+c=a+(b+c).(2)向量的减法 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 法则：三角形法则.3 .向量的数乘运算及其几何意义（1）实数入与向量a的积是一个向量，记作始，它的长度与方向规定如下：|入a|=|同;当入0B寸,入a与a的方向相同；当入0B2,入a与a的方向相反；当入=0时，入a=0.（2）运算律：设入、代r,则：入（a）=（xa）（入+.a=启+；入a+b）=2a十班.4.向量共线定理向量b

5、与a（aW0）共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b=后.备课札记工课中技巧求戕好心L_匕制支二-题型i平面向量的基本概念例i给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|=|b|,则a=b; 若aB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形； 在ABCD中，一定有AB=DC;若m=n,n=p,则m=p;若a/b,b/c,贝Ua/c.其中错误的命题有.（填序号）答案：解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|=|b|,由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故不正确；aB=dC,可能有A、B、C、D在一条

6、直线上的情况，所以不正确；零向量与任一向量平行，故a/b,bc时，若b=0,则a与c不一定平行，故不正确.备选变式（教师专享）设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0;若a与a0平行，则a=|a|a。；若a与的平行且|a|=1,则a=a°.上述命题中，假命题个数是.答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-|a|a0,故、也是假命题，填3.题型2向量的线性表示例2平行四边形OADB的对角线交点为C,BM=1BC,K=1oD,(CA=a,OB=

7、b,33用a、b表示OM、东、MN.Q解：BA=a-b，谛=凝=卜6也(CM=OB+BM=1a+*0D=a+b,ON=OC+CN=1OD+1(5d=2OD=2a+2b.FMN=ON-C)M=1a-：b.2633326变式训练在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设晶=a,AC=b,试用a,b表示AG.解:AG=aB + BG = AB+ ?B! = AB + 2(bA +BC)=11-2jA1 +2(aC -AB)=(1入ab2f_x+2ac=(i入a+2b.一三mf->m2 a+ (1 m)b,又AG=AC+CG=AC+mCF=AC+(CA+CB)“、二ma=

8、(1-m)AC+2AB=入 m=2,解得入=m =3AG=1a+1b.33a与b不共线.题型3共线向量例3设两个非零向量(1)若AB=a+b,Bc=2a+8b,Cd=3(a-b).求证：A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(1)证明：.AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB.AB,BD共线.又它们有公共点 B ,A、B、D三点共线.（2）解：ka+b与a+kb共线，存在实数入，使ka+b=入a+kb）,即（k入a=（入b1）b.又a、b是两不共线的非零向量，k一入=入b1=0.k21=0

9、.，k=±1.备选变式（教师专享）已知a、b是不共线的向量，AB=?a+b,AC=a+8（入代R）,当A、B、C三点共线时入、科满足的条件为.答案：入即1解析：由AB=启+b,AC=a+而（入代R）及A、B、C二点共线得AB=tAC,所以后入=3+b=t（a+曲）=ta+tb,即可得f所以入口1.J=tH题型4向量共线的应用例4如图所示，设。是4ABC内部一点，且OA+OC=-2（OB,则AOB与AOC的面积之比为.,1答案：2解析：如图所示，设M是AC的中点，则fOA+OC=2OM.一7ff又OA+OC=2OB,即O是BM的中点,_1S/AOB=SzAOM=2S/AOC,S/AOB

10、1即=2.S/AOC2备选变式（教师专享）如图，ABC中，在AC上取一点N,使AN=1AC;在AB上取一点M,使得AM=31AB;在BN的延长线上取点P,使得NP=1BN;在CM的延长线上取点Q,使得MQ=入32cM时，AP=QA,试确定入的值.解：-.>AP=NP-|lA =fiQ2(BN - CN)=2(BN+CN)=2BC,告告1心QA=MA-MQ=2BM+?MC,，2BM+AMC=2BCI Y 1 即 WC = 2MC入2,一新超推荐1 .如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O,设A&=a,痈=b,若痈=2元,.（用向量a和b表本）答案：3a+1b“r-e、r17

11、1解析：因为AC=AD+DC=AD+2AB=a+,b,又AB =2DC,所以AO=2AC=2'a+1b：=|a+1b.33、2332 .（2013四1U）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB+AD=以O,则入=答案：2解析：AB+Ab=AC=2AO,则入=2.3 .（2013江苏）设口、E分别是ABC的边AB、BC上的点，AD=1AB,BE=2DC,若23DE=入1AB+灰AC（1、不为实数）,贝U入1+%=.答案：12解析：Dl=晶+bE=3aB+1=1+2（晶aB）=（aB+|aC=*aB+mC,232363故4=一：）兀=之则%+兀=f.632一一.（.4

12、 .已知点P在4ABC所在的平面内，若2PA+3PB+4PC=3AB,则4PAB与PBC的面积的比值为.4答案：45解析：由2PA+3PB+4PC=3AB,得2PA+4PC=3AB+3BP,.2PA+4PC=3AP,I即4PC=5AP.|AP|4S/PAB|AP|4|pc|5SBC|pc|5心一题屋I教蹩室)1.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,aB+AD=品，则入=答案：2解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O,所以aB+aD=、，、，AC,又O为AC的中点，所以AC=2AO,所以AB+AD=2AO,因为AB+AD=八O,所以入=2.2 .已知平面内O

13、,A,B,C四点，其中A,B,C三点共线，且OC=xOA+yOB,则x+y=.答案：1解析：a,b,c三点共线，AC=漏，即OCOA=抚一qA,，且二。一入oa+ZOB,即x=1Z,y=入，x+y=1.3 .设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD=1AB,BE=|bC,若dE=入1晶23+4AC(1,入2为实数)，则入1+入2=.,1答案：2解析：易知DE=1AB+|bC=1>AB+%aC-/B)=-1AB+(aC,所以入1+加=；23236324 .已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求ga+gb+go；(2)若PQ过ABO的重心G,且oA=a,OB=b,OP=ma

14、,OQ=nb,求证：'+；=3.(1)解：因为GA+GB=2GM,又2GM=-GO,所以GA+GB+GO=GO+GO=0.(2)证明：因为oM=1(a+b),且G是ABO的重心，所以oG=2oM=1(a+b).由P、233G、Q三点共线，得pG/gQ,所以有且只有一个实数入，使PG=入GQ.又pG=OGOP=1(a3+b)-ma=(73-ma+1b,<GQ=oQoG=nb-3(a+b)=1a+n-3,b,所以一mh+3b=1-3a+(n-1113m=3%又a、b不共线，所以,消去入，整理得3mn=1113=个-3)111m+n，故m+n=3.1 .解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题